Questa è bella

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

Moderatore: tutor

andrea84
Messaggi: 203
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Trento

Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Altra soluzione al problema di ma_go:
<BR>
<BR>dunque x^2/y-1 +y^2/x-1> x^2/x-1+y^2/y-1 (riarrangiamento)
<BR>ora per M.Q>=M.A
<BR>x^2/x-1+y^2/y-1>=(x/(sqrt(x-1))+y/(sqrt(y-1)))^2/2 ora dimostriamo che
<BR>x/(sqrt(x-1))+y/(sqrt(y-1))>4 (1)
<BR>abbiamo che
<BR>x/(sqrt(x-1))>2 e y/(sqrt(y-1))>2 come è facile verificare svolgendo i conti da cui elevando al quadrato e dividendo per 2 la (1) abbiamo la tesi.
<BR>
<BR>Ciao<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: andrea84 il 31-12-2003 14:18 ]
Andrea 84 alias Brend

Avatar utente
talpuz
Moderatore
Messaggi: 873
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa

Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-12-31 13:53, lordgauss wrote:
<BR>2) molto nota... Prove that 0 <= yz + zx + xy - 2xyz <= 7/27, where x, y and z are non-negative real numbers satisfying x + y + z = 1
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Per provare la prima, osserviamo che essa è equivalente a
<BR>xy+yz+xz>=2xyz
<BR>
<BR>Per la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica
<BR>xy+xz+yz>=3*radcubica(x<sup>2</sup>y<sup>2</sup>z<sup>2</sup>)
<BR>
<BR>Quindi se
<BR>3*radcubica(x<sup>2</sup>y<sup>2</sup>z<sup>2</sup>)>=2xyz (1)
<BR>
<BR>siamo più che a posto
<BR>
<BR>Elevando la (1) al cubo e semplificando (se almeno uno tra x,y,z è nullo la disuguaglianza è ovvia), si vede che essa è vera se xyz<=27/8, che è sempre verificata: infatti il prodotto massimo di n numeri di cui è data la somma viene raggiunto quando gli n numeri sono uguali. Quindi (ricordando che x+y+z=1) xyz<sub>max</sub>=1/9<27/8
<BR>
<BR>Per la seconda parte, notiamo che possiamo fattorizzare a xy+yz+xz-2xyz in questo modo
<BR>
<BR>xy+yz+xz-2xyz=[4(xy+yz+xz)-8xyz-1]/4+ 1/4=[(1-2x)(1-2y)(1-2z)]/4 +1/4 (provare per credere!!)
<BR>
<BR>per AM-GM quindi
<BR>(1-2x)(1-2y)(1-2z)<=[(1-2x+1-2y+1-2z)/3]<sup>3</sup>=1/27
<BR>
<BR>ergo
<BR>xy+yz+xz-2xyz<=28/27*4=7/27
<BR>
<BR>la prima mi sta facendo dannare <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 01-01-2004 19:33 ]
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

andrea84
Messaggi: 203
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Trento

Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Ciao a tutti!
<BR>
<BR>siano x,y,z reali positivi dimostrare che vale:
<BR>
<BR>sqrt(x^2+y^2-xy)+sqrt(y^2+z^2-yz)>=sqrt(x^2+z^2+zx)
<BR>
<BR>P.S: esistono due dimostrazioni una decisamente brutale(quella che ho trovato io) e un\'altra molto MOLTO carina <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>vediamo chi le trova entrambe
<BR>
<BR>A presto
<BR>
<BR>Andrea 84 alias Brend
Andrea 84 alias Brend

andrea84
Messaggi: 203
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Trento

Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

up!!!
<BR>
Andrea 84 alias Brend

Avatar utente
talpuz
Moderatore
Messaggi: 873
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa

Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-12-30 21:46, ma_go wrote:
<BR>ovviamente la cosa si può migliorare a S>1007, e mi pare ragionevole supporre che sia anche S>1008, però.. qui si fermò talpuz.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>tal dig, negli ultimi passaggi hai dimenticato l\'1/2 davanti alla sum 1/i
<BR><IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>io credo che si arrivi forse forse a 1002<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 02-01-2004 22:19 ]
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

andrea84
Messaggi: 203
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Trento

Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Dai non farete mica cadere nel dimenticatoio questa discussione...
Andrea 84 alias Brend

ihsahn
Messaggi: 12
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Contatta:

Messaggio da ihsahn » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>sqrt(x^2+y^2-xy)+sqrt(y^2+z^2-yz)>=sqrt(x^2+z^2+zx)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Allora, consideriamo 4 punti nel piano, A B C D, in modo che ADB = pi/3, BDC = pi/3 (e quindi ADC = 2/3 pi).
<BR>
<BR>Consideriamo il triangolo di vertici ABC, chiamiamo AB = a, BC = b e AC = c, e AD = x, BD = y e CD = z.
<BR>
<BR>Per il teorema del coseno applicato al triangolo BAD si ha
<BR>
<BR>a<sup>2</sup> = x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> - 2 xycos(pi/3)
<BR>ossia
<BR>a = sqrt( x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> - xy)
<BR>allo stesso modo, considerando il triangolo BDC
<BR>b = sqrt(y<sup>2</sup> + z<sup>2</sup> - yz)
<BR>e considerando il triangolo ADC
<BR>c = sqrt(x<sup>2</sup> + z<sup>2</sup> - 2 xz cos(2/3 pi))
<BR>c = sqrt(x<sup>2</sup> + z<sup>2</sup> + xz)
<BR>ma poichè a b e c sono lati di un triangolo, vale
<BR>a + b >= c,
<BR>sostituendo si ha la tesi.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ihsahn il 03-01-2004 21:25 ]

andrea84
Messaggi: 203
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Trento

Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Bravo!
<BR>Questa è la dimostrazione carina carina!
<BR>Ora tocca a quella brutale... chi ci prova?
Andrea 84 alias Brend

ihsahn
Messaggi: 12
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Contatta:

Messaggio da ihsahn » 01 gen 1970, 01:33

Non ho ancora trovato una dimostrazione diversa.. intanto propongo un nuovo esercizio:
<BR>
<BR>Prove that for x,y > 0,
<BR> x/(x<sup>4</sup> + y<sup>2</sup>) + y/ (y<sup>4</sup> + x<sup>2</sup>) <= 1 / xy
<BR>
<BR>(Russia, 1995)

Avatar utente
talpuz
Moderatore
Messaggi: 873
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa

Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

x<sup>4</sup> + y<sup>2</sup>>= 2x<sup>2</sup>y
<BR>y<sup>4</sup> + x<sup>2</sup>>= 2xy<sup>2</sup>
<BR>[AM-GM]
<BR>x/(x<sup>4</sup> + y<sup>2</sup>) + y/ (y<sup>4</sup> + x<sup>2</sup>) <= x/(2x<sup>2</sup>y) + y/(2xy<sup>2</sup>)= 1/2xy + 1/2xy = 1/xy
<BR>
<BR>avete dato un\'occhiata alla prima proposta da lordgauss??<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 04-01-2004 19:08 ]
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

andrea84
Messaggi: 203
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Trento

Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Altra soluzione:
<BR>
<BR>x^2y/(x^4+y^2)+xy^2/(y^4+x^2)<=1
<BR>
<BR>riscriviamo il tutto come :
<BR>
<BR>(x^2/y+y/x^2)^(-1) +(y^2/x+x/y^2)^(-1)<=1
<BR>
<BR>per MA>=MG abbiamo
<BR>
<BR>x^2/y+y/x^2>=2 quindi (x^2/y+y/x^2)^(-1)<=1/2 (1)
<BR>y^2/x+x/y^2>=2 quindi (y^2/x+x/y^2)^(-1)<=1/2 (2)
<BR>
<BR>sommando la (1) e la (2) si ha la tesi
Andrea 84 alias Brend

Avatar utente
talpuz
Moderatore
Messaggi: 873
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa

Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>
<BR>avete dato un\'occhiata alla prima proposta da lordgauss??
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

andrea84
Messaggi: 203
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Trento

Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

L\'induzione non porta da nessuna parte?
Andrea 84 alias Brend

Biagio
Messaggi: 535
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Piacenza

Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-12-31 13:53, lordgauss wrote:
<BR>
<BR>1) x_i >= 1 per ogni i. Dimostrare che
<BR>sum(i=1...n) 1/(1+x_i) >= n/(1+GM(x_i)),
<BR>ove con GM(x_i) si intende la media geometrica degli n numeri x_1,...,x_n.
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>dividendo per n e passando ai reciproci si ottiene:
<BR>n/sum(i=1...n)(1/(1+x_i))<=1+(x1x2...xn)<sup>1/n</sup>
<BR>ma per la disuguaglianza tra media armonica e media geometrica:
<BR>n/sum(i=1...n)(1/(1+x_i))<=((x1+1)(x2+1)...(xn+1))<sup>1/n</sup>
<BR>ora bisogna dimostrare che
<BR>((x1+1)(x2+1)...(xn+1))<sup>1/n</sup><=1+(x1x2...xn)<sup>1/n</sup>
<BR>il che secondo me è vero ma per adesso non mi viene in mente nulla, vedete un pò..
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 05-01-2004 01:12 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 07-01-2004 21:17 ]

andrea84
Messaggi: 203
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Trento

Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Rilancio:
<BR>
<BR>x,y,z>1 reali tali che x^(-1)+y^(-1)+z^(-1)=2
<BR>dimostrare che:
<BR>
<BR>sqrt(x+y+z)>=sqrt(x-1)+sqrt(y-1)+sqrt(z-1)
<BR>
<BR>ciao <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
Andrea 84 alias Brend

Bloccato