Questa è bella

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

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germania2002
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Messaggio da germania2002 » 01 gen 1970, 01:33

@esponenti: mi hanno risposto a me, e ioc ome buon ambasciatore rispondo a te.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Code:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><PRE>
<BR>
<BR><sup>n</sup>
<BR></PRE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode End -->[addsig]
"un uomo deve migliorare di qualcosa il mondo, se si vuole sentire realizzato..."
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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

soluzione alternativa all\'ultima di ma_go:
<BR>
<BR>a+b+c=abc (1)
<BR>
<BR>Per la disuguaglianza tra media aritmetica e quadratica risulta
<BR>
<BR>[1/sqrt(a<sup>2</sup>+1)+1/sqrt(b<sup>2</sup>+1)+1/sqrt(c<sup>2</sup>+1)]/3<=sqrt([1/ (a<sup>2</sup>+1)+1/(b<sup>2</sup>+1)+1/(c<sup>2</sup>+1)]/3) (2)
<BR>
<BR>ora cerchiamo di massimizzare il secondo membro e di far vedere che è sempre <=1/2
<BR>
<BR>consideriamo fissato il prodotto abc: se sviluppiamo il numeratore della frazione sotto radice e facciamo un po’ di conti, vediamo che esso è massimo quando la somma a+b+c è minima.
<BR>
<BR>Inoltre è noto che se il prodotto di n numeri è assegnato, la loro somma è minima quando essi sono uguali. Imponendo a=b=c nella (1) ricaviamo facilmente che la somma minima si ha per a=b=c=sqrt(3), e sostituendo tutto ciò nella (2) abbiamo la tesi
<BR>
<BR>nessuno fa l\'esercizio? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
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ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

io l\'ho fatta in modo diverso... ora, vedete un po\' voi... c\'è una soluzione che mi pare più semplice. e non richiede \"esercizi\"... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>sia
<BR>S=1+[1/(1+1/3)]+[1/(1+1/3+1/6)]+...+[1/(1+1/3+1/6+...+1/1993006]
<BR>dove i denominatori sono le somme parziali della serie
<BR>sum[k=1->n]2/k(k+1)
<BR>per n da 1 a 1996 (in pratica sono le somme degli inversi dei primi n numeri triangolari)
<BR>dimostrare che S>1001
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>questo nessuno lo guarda? è carino... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>
<BR>ma_go, + semplice della seconda?
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ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

talpuz, m\'hai provocato!!
<BR>dunque, consideriamo i termini della sommatoria:
<BR>abbiamo
<BR>2/(k²+k) = 2[1/k - 1/(k+1)].
<BR>la somma ai denominatori, quindi, telescopizza:
<BR>sum[k=1,..,i] 2/(k²+k) = 2(sum[k=1,..,i] 1/k - sum[k=1,..,i] 1/(k+1)) =
<BR>2(sum[k=1,..,i] 1/k - sum[k=2,..,i+1] 1/k) = 2(1-1/(i+1)) = 2i/(i+1).
<BR>ora, la somma di cui noi dobbiamo trovare una minorante è:
<BR>S = sum {1/sum[k=1,..,i] 2/(k²+k)} = sum {1/[2i/(i+1)]} =
<BR>= (1/2) sum 1+1/i = 998 + (1/2)sum 1/i.
<BR>ora, sum 1/i > (1/2<sup>k+1</sup>)*(2<sup>k+1</sup>-2<sup>k</sup>) =
<BR>(1/2<sup>k+1</sup>)*(2<sup>k</sup>) = 1/2. (per ovvi motivi)
<BR>
<BR>quindi, per induzione (euler, che non ha ancora fatto sentire la sua voce in questo thread, mi perdonerà se salto qualche passaggio...), sum > i/2.
<BR>ora, poiché nel nostro caso 1996 > 2<sup>7</sup> = 128,
<BR>sum 1/i > sum 1/i > 6/2 = 3.
<BR>ma quindi la nostra somma S risulta
<BR>S = 998 + sum 1/i > 998+3 = 1001.
<BR>ovviamente la cosa si può migliorare a S>1007, e mi pare ragionevole supporre che sia anche S>1008, però.. qui si fermò talpuz.
<BR>
<BR>ps. il metodo con cui ho fatto io quella di febiz mi pare più semplice e più olimpica, poi potrei sbagliarmi.. vedremo.. trovala, è quasi ovvia! basta trovare una piccola cosuccia, cui siamo così vicini!

ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

rilancio estremale sovietico:
<BR>dimostrare che, dati x,y > 1, si ha:
<BR>x²/(y-1)+y²/(x-1) >= 8.
<BR>
<BR>non difficile, abbastanza standard...

ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

rilancio bis, stesso commento:
<BR>x,y,z reali positivi, dimostrare che:
<BR>(x+y+z)²/3 ≥ xsqrt(yz) + ysqrt(zx) + zsqrt(xy)

Tamaladissa
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Messaggio da Tamaladissa » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-12-31 11:06, ma_go wrote:
<BR>rilancio bis, stesso commento:
<BR>x,y,z reali positivi, dimostrare che:
<BR>(x+y+z)²/3 ≥ xsqrt(yz) + ysqrt(zx) + zsqrt(xy)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>al posto di sqrt(yz),sqrt(zx),sqrt(xy) mettiamo le rispettive medie aritmetiche e otteniamo:
<BR>x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>+z<sup>2</sup>>=xy+yz+xz
<BR>che è sempre vera per il buon vecchio riarrangiamento.
<BR>il tutto se non ho sbagliato i conti
<BR>
<BR>sono Biagio...ma NON è il mio nick, è di mio cug.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Tamaladissa il 31-12-2003 12:17 ]

ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

si, ok.
<BR>giusta.
<BR>io l\'avevo fatta in un altro modo

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-12-30 21:46, ma_go wrote:
<BR>ps. il metodo con cui ho fatto io quella di febiz
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>chi/cosa è febiz? a me quella risultava una coreana...
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

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Messaggio da Fede_HistPop » 01 gen 1970, 01:33

febiz è un simpatico abitante di #olimpiadi su ircnet, che ogni tanto si mette a fare radio, e che seldom si mette a fare esercizi con me o Marco. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
Co-founder and leader of Historiae Populorum.
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-12-31 10:56, ma_go wrote:
<BR>rilancio estremale sovietico:
<BR>dimostrare che, dati x,y > 1, si ha:
<BR>x²/(y-1)+y²/(x-1) >= 8.
<BR>
<BR>non difficile, abbastanza standard...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>beh, io la faccio in un modo alternativo.. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>il primo membro è formato da due addendi \"simmetrici\" nelle due variabili
<BR>se riusciamo a minimizzarne uno, tenendo una delle due variabili fisse, allora il valore che lo minimizza farà lo stesso anche per l\'altro addendo
<BR>
<BR>per trovare il valore minimo del primo membro possiamo quindi porre x=y, ottenendo x<sup>2</sup>/(x-1)>=4 che, visto che x>1 si riduce a (x-2)<sup>2</sup>>=0, of course sempre verificata
<BR>
<BR>funziona?
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lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Ultimo di marco: a=x-1, b=y-1. Allora
<BR>
<BR>(a+1)²/b + (b+1)²/a >= (a+1)²/a + (b+1)²/b [riarrangiamento] =
<BR>= (a+1/a) + (b+1/b) + 4 >= 8 [AM-GM].
<BR>
<BR>
<BR>Questo per lasciare spazio alle seguenti:
<BR>
<BR>1) x_i >= 1 per ogni i. Dimostrare che
<BR>sum(i=1...n) 1/(1+x_i) >= n/(1+GM(x_i)),
<BR>ove con GM(x_i) si intende la media geometrica degli n numeri x_1,...,x_n.
<BR>
<BR>2) molto nota... Prove that 0 = yz + zx + xy - 2xyz = 7/27, where x, y and z are non-negative real numbers satisfying x + y + z = 1
<BR>

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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-12-31 13:53, lordgauss wrote:
<BR>0 <= yz + zx + xy - 2xyz <= 7/27
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>così va meglio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

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