Questa è bella

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

Moderatore: tutor

ma_go
Site Admin
Messaggi: 1906
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

ok,dai...
<BR>ritorniamo sulla prima,quella per cui talpuz ha usato la brute force:
<BR>
<BR>(xy+yz+zx)[(x+y)<sup>-2</sup>+(y+z)<sup>-2</sup>+(z+x)<sup>-2</sup>]>=9/4
<BR>
<BR>ora,presentiamo prima un paio di lemmi:
<BR>se abbiamo un polinomio P(t) = [t-(x+y)][t-(y+z)][t-(z+x)] = t³+3at²+3bt+c, le disuguaglianze di newton e maclaurin ci dicono rispettivamente che ac<=b² e a >= b<sup>1/2</sup> >= c<sup>1/3</sup>.
<BR>
<BR>ora, per le formule di viète, o radici relazioni-coefficienti, (che si ottengono quasi banalmente sviluppando a sinistra e raccogliendo opprtunamente P(t))
<BR>3a = 2(x+y+z)
<BR>3b = x²+y²+z²+3(xy+yz+zx)
<BR>c = (x+y)(y+z)(z+x)
<BR>
<BR>dunque,ora viene il bello:
<BR>facendosi un po\' di conti, si \"vede\" che il primo fattore del prodotto della disuguaglianza si può scrivere come (27a²-24b)/4, mentre il secondo si può scrivere come 9b²/c²-6a/c.
<BR>ora, il primo membro della nostra disuguaglianza si è trasformato in
<BR>[(27a²-24b)/4][9b²/c²-6a/c] = (9/4)[9a²-8b][3b²-2ac]/c²
<BR>in cui
<BR>ac<=b²,
<BR>a >= b<sup>1/2</sup> >= c<sup>1/3</sup>, ma quindi, in particolare b³/c²>=1
<BR>quindi abbiamo
<BR>(xy+yz+zx)[(x+y)<sup>-2</sup>+(y+z)<sup>-2</sup>+(z+x)<sup>-2</sup>] =
<BR>= (9/4)[9a²-8b][3b²-2ac]/c² >= (9/4)[b²]/c² >= (9/4)*1 = 9/4

Avatar utente
talpuz
Moderatore
Messaggi: 873
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa

Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>P(t) = [t-(x+y)][t-(y+z)][t-(z+x)] = t³+3at²+3bt+c
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>qui non bisogna cambiare qualche sengo?
<BR>secondo me se vuoi che valgano queste
<BR>
<BR>3a = 2(x+y+z)
<BR>3b = x²+y²+z²+3(xy+yz+zx)
<BR>c = (x+y)(y+z)(z+x)
<BR>
<BR>dovresti scrivere
<BR>
<BR>t³-3at²+3bt-c
<BR>
<BR>no? e poi le disuguaglianze di Newton e Maclaurin non si riferiscono alle medie aritmetiche dei polinomi simmetrici?
<BR>
<BR>comunque l\'idea è carina! sicuramente meno \"barbara\" della mia <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>attendo chiarimenti! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 28-12-2003 13:32 ]
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

ma_go
Site Admin
Messaggi: 1906
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

scusa, imprecisione mia:
<BR>
<BR>P(t) = [t+(x+y)][t+(y+z)][t+(z+x)] = t³+3at²+3bt+c
<BR>
<BR>dopodiché il resto dovrebbe essere corretto... grazie per avermelo fatto notare <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>

andrea84
Messaggi: 203
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Trento

Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Ciao a tutti!
<BR>
<BR>Dunque... una precisazione x,y,z sono reali >=1 il testo lo riporta chiaramente e probabilmente Talpuz si è dimenticato di riportarlo.
<BR>
<BR>Veniamo al problema:
<BR>
<BR>Supponiamo senza perdere in generalità che x>=y>=z
<BR>Con un pò di algebra possiamo riscrivere la nostra disuguaglianza come:
<BR>(x-z)(x-y)log(x)+(y-x)(y-z)log(y)+(z-x)(z-y)log(z)>=0
<BR>
<BR>o anche:
<BR>
<BR>(x-y)[(x-z)log(x)-(y-z)log(y)]+(x-z)(y-z)log(z)>=0
<BR>
<BR>ora se dimostriamo che:
<BR>[(x-z)log(x)-(y-z)log(y)]>=0 abbiamo bel che finito.
<BR>Quindi x-z>=y-z>=0 e log(x)>=log(y)>=0 da cui (x-z)log(x)>=(y-z)log(y)
<BR>
<BR>C.V.D
<BR>
<BR>Ditemi che ne pensate!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>
<BR>Saluti
<BR>Andrea 84 alias Brend
Andrea 84 alias Brend

Avatar utente
talpuz
Moderatore
Messaggi: 873
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa

Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-12-28 17:33, andrea84 wrote:
<BR>Dunque... una precisazione x,y,z sono reali >=1 il testo lo riporta chiaramente e probabilmente Talpuz si è dimenticato di riportarlo.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>whoooops.......
<BR>sorry... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>beh...direi che funziona più che bene...
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

ma_go
Site Admin
Messaggi: 1906
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

<IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
<BR>c\'ho perso il fegato, su questa disuguaglianza! accidenti a te!!
<BR>
<BR>(non me la sono presa, in realtà <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> )
<BR>
<BR>ps. se, per farti perdonare, vuoi proprio rilanciare... non è che dico di no! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>pps. 700!!!! yuhuuu!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ma_go il 28-12-2003 20:23 ]

andrea84
Messaggi: 203
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Trento

Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Facile facile...
<BR>
<BR>siano a,b,c lati di un triangolo dimostrare che
<BR>sqrt(a+b-c)+sqrt(b+c-a)+sqrt(c+a-b)<=sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)
<BR>
<BR>Ciao! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
Andrea 84 alias Brend

ma_go
Site Admin
Messaggi: 1906
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

facciamo anche questa!
<BR>allora, è noto che i lati di un triangolo si possano esprimere come somme concatenate di tre numeri (strettamente, se i triangoli non sono degeneri) positivi:
<BR>a = x+y
<BR>b = y+z
<BR>c = z+x,
<BR>in cui x,y,z possono essere visti come distanze dei vertici dai punti di contatto della circonferenza inscritta al triangolo di lati a,b,c...
<BR>ok, dopo questa breve premessa, il primo membro della nostra disuguaglianza risulta:
<BR>2[sqrt(x/2)+sqrt(y/2) + sqrt(y/2)+sqrt(z/2) + sqrt(z/2)+sqrt(x/2)].
<BR>ora possiamo applicare la disuguaglianza tra le medie (in questo caso, media-½esima-media aritmetica), e dedurre che
<BR>sqrt(x/2)+sqrt(y/2) <= sqrt(x+y)/2
<BR>sqrt(y/2)+sqrt(z/2) <= sqrt(y+z)/2
<BR>sqrt(z/2)+sqrt(x/2) <= sqrt(z+x)/2,
<BR>da cui, sommando membro a memro e raddoppiando, si ottiene la tesi.
<BR>attendesi ulteriore rilancio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ma_go il 28-12-2003 20:58 ]

andrea84
Messaggi: 203
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Trento

Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Chi rilancia?? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
Andrea 84 alias Brend

andrea84
Messaggi: 203
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Trento

Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

up!!
Andrea 84 alias Brend

ma_go
Site Admin
Messaggi: 1906
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

a,b,c sono reali (non sono sicuro che possano essere anche negativi) tali che a+b+c=abc.
<BR>Prova che 1/sqrt(1+a^2)+1/sqrt(1+b^2)+1/sqrt(1+c^2)<=3/2
<BR>(by febiz)

Avatar utente
talpuz
Moderatore
Messaggi: 873
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa

Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

eccomi qua!
<BR>non è una disuguaglianza nel senso proprio del termine, anyway...
<BR>
<BR>sia
<BR>S=1+[1/(1+1/3)]+[1/(1+1/3+1/6)]+...+[1/(1+1/3+1/6+...+1/1993006]
<BR>
<BR>dove i denominatori sono le somme parziali della serie
<BR>
<BR>sum[k=1->n]2/k(k+1)
<BR>
<BR>per n da 1 a 1996 (in pratica sono le somme degli inversi dei primi n numeri triangolari)
<BR>
<BR>dimostrare che S>1001
<BR>
<BR>ps: adesso penso alla tua ma_go... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

Avatar utente
talpuz
Moderatore
Messaggi: 873
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa

Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

dunque..
<BR>soluzione veloce ed indolore:
<BR>
<BR>a=ctg(x) b=ctg(y) c=ctg(z)
<BR>
<BR>***
<BR>esercizio: dimostrare che la condizione a+b+c=abc con a,b,c>0 implica
<BR>x+y+z=pi/2
<BR>***
<BR>
<BR>la disuguaglianza diventa
<BR>senx+seny+senz<=3/2
<BR>con pi/2>x,y,z>0
<BR>la funzione seno è concava in [0;pi/2]
<BR>quindi per la disuguaglianza di Jensen
<BR>
<BR>1/3(senx+seny+senz)<=sen[1/3(x+y+z)]=sen(pi/6)=1/2, la tesi
<BR>
<BR>so che è da sistemare (e molto anche), volevo solo rendere l\'idea <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>seguirà (forse) soluzione più standard.
<BR>l\'esercizio, risolvetelo (io non ne ho un\'idea.. l\'ho letto da qualche parte, non mi ricordo neanche dove <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> )
<BR>bye
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 29-12-2003 21:38 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 29-12-2003 21:38 ]
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

andrea84
Messaggi: 203
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Trento

Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Accidenti!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
<BR>Possibile mi battiate sempre sul tempo <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
<BR>Cmq la mia soluzione è praticamente identica a quella di Talpuz, tranne che per la sostituzione dv ho posto a=tg(A) , b=tg(B), c=tg(C)
<BR>
<BR>Cmq bravo Talpuz <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>ciao
<BR>
Andrea 84 alias Brend

Biagio
Messaggi: 535
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Piacenza

Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-12-24 14:38, andrea84 wrote:
<BR>Allora... restando sempre in tema di disuguaglianze vi propongo questa(non è difficile ma è alquanto interessante):
<BR>Dati a,b,c reali positivi dimostrare che a<sup>a</sup>b<sup>b</sup>c<sup>c</sup>)>=(abc)<sup>(a+b+c)/3</sup>
<BR>
<BR>Ciao a tutti!
<BR>e se non ci sentiamo prima Buon Natale a tutto il forum <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>torno ora dal mio ritiro spirituale inverale...
<BR>a quanto vedo le sol. a questo problema sono gia state postate, vorrei comunque aggiungere la mia:
<BR>---------------
<BR>elevando alla terza e dividendo per b<sup>b</sup>c<sup>c</sup>a<sup>a</sup> si ottiene:
<BR>a<sup>2a</sup>b<sup>2b</sup>c<sup>2c</sup>>=a<sup>b+c</sup>b<sup>a+c</sup>c<sup>a+b</sup>
<BR>
<BR>supponiamo c>=b>=a
<BR>allora possiamo scrivere:
<BR>a=t
<BR>b=t(1+x)
<BR>c=t(1+y)
<BR>con 0<=x<=y
<BR>
<BR>sostituendo e raccogliendo t:
<BR>t<sup>2t+2tx+2ty</sup>(1+x)<sup>2t+2tx</sup>(1+y)<sup>2t+2ty</sup>>=t<sup>2t+2tx+2ty</sup>(1+x)<sup>2t+ty</sup>(1+y)<sup>2t+tx</sup>
<BR>
<BR>semplificando t e estraendo la radice di t-esima si ha:
<BR>
<BR>(1+x)<sup>2+2x</sup>(1+y)<sup>2+2y</sup>>=(1+x)<sup>2+y</sup>(1+y)<sup>2+x</sup>
<BR>dividendo per (1+x)<sup>2</sup>(1+y)<sup>2</sup> si ottiene
<BR>
<BR>(1+x)<sup>2x</sup>(1+y)<sup>2y</sup>>=(1+x)<sup>y</sup>(1+y)<sup>x</sup>
<BR>
<BR>ma poiché
<BR>
<BR>(1+x)<sup>2x</sup>(1+y)<sup>2y</sup>>=(1+x)<sup>x</sup>(1+y)<sup>y</sup>
<BR>e
<BR>(1+x)<sup>x</sup>(1+y)<sup>y</sup>>=(1+x)<sup>y</sup>(1+y)<sup>x</sup>
<BR>
<BR>==>
<BR>(1+x)<sup>2x</sup>(1+y)<sup>2y</sup>>=(1+x)<sup>y</sup>(1+y)<sup>x</sup>
<BR>
<BR>e l\'uguaglianza vale sse 0=x=y
<BR>--
<BR>grazie Germania
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 30-12-2003 11:26 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 30-12-2003 11:30 ]

Bloccato