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ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

dunque... facciamo una dimostrazione euler-styled:
<BR>
<BR>LEMMA 1: (x+y)<sup>-1</sup>+(y+z)<sup>-1</sup>+(z+x)<sup>-1</sup> >= 9/2·(x+y+z)<sup>-1</sup>,
<BR>
<BR>che segue direttamente dalla disuguaglianza tra le medie aritmetica ed armonica.
<BR>
<BR>LEMMA 2: [x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>+z<sup>2</sup>]/3 >= (x+y+z)<sup>2</sup>/9,
<BR>che segue direttamente dalla disuguaglianza tra le medie aritmetica e quadratica.
<BR>
<BR>ora, prendiamo il primo membro della nostra cara disuguaglianza:
<BR>x<sup>2</sup>/(y+z)+y<sup>2</sup>/(x+z)+z<sup>2</sup>/(x+y).
<BR>ora, per simmetria, supponiamo si abbia x >= y >= z, allora si ha anche x² >= y² >= z², ma anche x+y >= x+z >= y+z, quindi (x+y)<sup>-1</sup> <= (x+z)<sup>-1</sup> <= (y+z)<sup>-1</sup>.
<BR>possiamo quindi applicare direttamente la disuguaglianza di chebycheff al primo membro, ottenendo
<BR>x<sup>2</sup>/(y+z)+y<sup>2</sup>/(x+z)+z<sup>2</sup>/(x+y) >= {[x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>+z<sup>2</sup>]/3}*[(x+y)<sup>-1</sup>+(y+z)<sup>-1</sup>+(z+x)<sup>-1</sup>].
<BR>ora, per i lemmi 1 e 2 applicati ai due fattori, abbiamo
<BR>x<sup>2</sup>/(y+z)+y<sup>2</sup>/(x+z)+z<sup>2</sup>/(x+y) >= {[x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>+z<sup>2</sup>]/3}*[(x+y)<sup>-1</sup>+(y+z)<sup>-1</sup>+(z+x)<sup>-1</sup>] >= [(x+y+z)<sup>2</sup>/9]*[9/2·(x+y+z)<sup>-1</sup>] = (x+y+z)/2, che è la disuguaglianza cercata...
<BR>scusate l\'inutile lunghezza del post... sono stato puntiglioso <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

wow! ci sono...
<BR>se supponiamo x>=y>=z le triple (x<sup>2</sup>,y<sup>2</sup>,z<sup>2</sup>) e (1/(y+z),1/(z+x),1/(x+y)) sono ordinate nello stesso verso
<BR>dunque, per Chebyshev
<BR>[x<sup>2</sup>/(y+z)+y<sup>2</sup>/(z+x)+z<sup>2</sup>/(x+y)]/3>=([x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>+z<sup>2</sup>]/3)*([1/(y+z)+1(z+x)+1/(x+y)]/3] (1)
<BR>inoltre, per la disuguaglianza tra le medie abbiamo
<BR>[x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>+z<sup>2</sup>]/3>=[(x+y+z)/3]<sup>2</sup> (2)
<BR>1/3[1/(y+z)+1(z+x)+1/(x+y)]>=3/2(x+y+z) (3)
<BR>sostituendo (2) e (3) in (1) abbiamo per magia la tesi <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
<BR>bye
<BR>
<BR>d\'oh! sono arrivato in ritardo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 25-12-2003 20:40 ]
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

beh, a questo punto rilancio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>(xy+yz+zx)[(x+y)<sup>-2</sup>+(y+z)<sup>-2</sup>+(z+x)<sup>-2</sup>]>=9/4
<BR>
<BR>x,y,z reali positivi
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ihsahn
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Messaggio da ihsahn » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>(xy+yz+zx)[(x+y)<sup>-2</sup>+(y+z)<sup>-2</sup>+(z+x)<sup>-2</sup>]>=9/4
<BR>
<BR>x,y,z reali positivi
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>consideriamo le due triple (sqrt(xy),sqrt(yz),sqrt(xz)) e ((x+y)<sup>-1</sup>,(y+z)<sup>-1</sup>,(x+z)<sup>-1</sup>)
<BR>
<BR>per la disuguaglianza di cauch-schwarz vale che
<BR>
<BR>(xy+yz+xz)[(x+y)<sup>-2</sup>+(y+z)<sup>-2</sup>+(x+z)<sup>-2</sup>) >= [ sqrt(xy)/(x+y) + sqrt(yz)/(y+z) + sqrt(xz)/(x+z) ]<sup>2</sup>
<BR>
<BR>ma si osserva per la disuguaglianza G<=A che sqrt(xy)/(x+y) <= 1/2, quindi sqrt(yz)/(y+z) <= 1/2 e
<BR>sqrt(xz)/(x+z) <= 1/2, sommando le tre ottengo che
<BR>
<BR>sqrt(xy)/(x+y) + sqrt(yz)/(y+z) + sqrt(xz)/(x+z) <= 3/2
<BR>
<BR>sostituendo alla disuguaglianza ottenuta con cauchy schwarz ottengo che
<BR>
<BR>(xy+yz+xz)[(x+y)<sup>-2</sup>+(y+z)<sup>-2</sup>+(x+z)<sup>-2</sup>) >= (3/2)<sup>2</sup>
<BR>
<BR>da cui la tesi. (scusate la notazione orribile)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ihsahn il 25-12-2003 21:54 ]

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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

uhm.. io leggo un verso di disuguaglianza diverso.. ma suppongo sia errato <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> e il bello è che ho cercato di dimostrare la disuguaglianza sbagliata... capisco bene che non mi venisse!!!
<BR>si attende volentieri rilancio (con testo corretto) di talpuz! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

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Messaggio da ihsahn » 01 gen 1970, 01:33

credo che il segno >= sia giusto, di sicuro non vale il contrario, prova con (1,2,3). Credo comunque che la mia dimostrazione sia giusta..

andrea84
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Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Ciao dunque...
<BR>
<BR>(xy+yz+zx)[(x+y)<sup>-2</sup>+(y+z)<sup>-2</sup>+(z+x)<sup>-2</sup>]>=9/4
<BR>
<BR>x,y,z reali positivi
<BR>
<BR>
<BR>consideriamo le due triple (sqrt(xy),sqrt(yz),sqrt(xz)) e ((x+y)<sup>-1</sup>,(y+z)<sup>-1</sup>,(x+z)<sup>-1</sup>)
<BR>
<BR>per la disuguaglianza di cauch-schwarz vale che
<BR>
<BR>(xy+yz+xz)[(x+y)<sup>-2</sup>+(y+z)<sup>-2</sup>+(x+z)<sup>-2</sup>) >= [ sqrt(xy)/(x+y) + sqrt(yz)/(y+z) + sqrt(xz)/(x+z) ]<sup>2</sup>
<BR>
<BR>ma si osserva per la disuguaglianza G<=A che sqrt(xy)/(x+y) <= 1/2, quindi sqrt(yz)/(y+z) <= 1/2 e
<BR>sqrt(xz)/(x+z) <= 1/2, sommando le tre ottengo che
<BR>
<BR>sqrt(xy)/(x+y) + sqrt(yz)/(y+z) + sqrt(xz)/(x+z) <= 3/2
<BR>
<BR>
<BR>e fin qui è tutto ok...
<BR>
<BR>sostituendo alla disuguaglianza ottenuta con cauchy schwarz ottengo che
<BR>
<BR>(xy+yz+xz)[(x+y)<sup>-2</sup>+(y+z)<sup>-2</sup>+(x+z)<sup>-2</sup>) >= (3/2)<sup>2</sup>
<BR>
<BR>questa proprio non la capisco però
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
Andrea 84 alias Brend

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Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Cmq se non sbaglio dovrebbe essere un problema iraniano, quindi non penso sia così facile <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
Andrea 84 alias Brend

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Messaggio da ihsahn » 01 gen 1970, 01:33

Ahem... direi che ho fatto un bell\'errore...

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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

comunque confermo, il testo corretto è quello, ed è \"Iran \'96\"
<BR>e aggiungo che non so la soluzione... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>per inciso, se guardate sul link che ha postato Publio nell\'altro thread, ci sono due bei documenti in formato .ps, uno sulle disuguaglianze e uno su geometria, più due libri scaricabili pieni zeppi di problemi presi dalle varie gare nazionali!
<BR>dateci un\'occhiata, ne vale la pena... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

a proposito, provate anche questa!
<BR>
<BR>a<sup>a</sup>b<sup>b</sup>c<sup>c</sup>>=a<sup>b</sup>b<sup>c</sup>c<sup>a</sup>
<BR>
<BR>è mooolto simile a quella con cui andrea ha aperto il topic, con una piccola variante...
<BR>intanto mi metto a pensare all\'Iraniana... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>bye
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

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Messaggio da ihsahn » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>a<sup>a</sup>b<sup>b</sup>c<sup>c</sup>>=a<sup>b</sup>b<sup>c</sup>c<sup>a</sup>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Ci provo sperando di non fare altre brutte figure..
<BR>
<BR>consideriamo senza perdita di generalità a>=b>=c, quindi vale loga>=logb>=logc
<BR>consideriamo le triple x(a,b,c) e y(loga,logb,logc)
<BR>per la disuguaglianza di riarrangiamento vale che sum[1..n]x(i)y(i) è massima quando le due triple sono ordinate allo stesso modo. quindi
<BR>aloga+blogb+clogc >= bloga+clogb+alogc (dato che il secondo membro è un riarrangiamento diverso da quello di due triple crescenti)
<BR>si ha quindi:
<BR>log(a^a * b^b * c^c) >= log(a^b * b^c * c^a) da cui la tesi, sfruttando la crescenza di log.

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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

...if everything else fails, try brute force!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>Eliminando i denominatori, sviluppando le parentesi, portando tutto a primo membro e semplificando, la disuguaglianza Iraniana si può riscrivere in notazione simmetrica come
<BR>
<BR>sum<sub>sym</sub>[x<sup>2</sup>y<sup>2</sup>z<sup>2</sup>-x<sup>4</sup>y<sup>2</sup>-3x<sup>3</sup>y<sup>3</sup>-2x<sup>3</sup>y<sup>2</sup>z+x<sup>4</sup>yz+4x<sup>5</sup>y]>=0
<BR>
<BR>(sum<sub>sym</sub>=somma fatta su tutte le permutazioni dell’n-upla a cui la si applica)
<BR>ora, la nota disuguaglianza di Schur si può scrivere
<BR>
<BR>sum<sub>sym</sub>[x<sup>3</sup>-2x<sup>2</sup>y+xyz]>=0
<BR>
<BR>che moltiplicata per xyz dà
<BR>
<BR>sum<sub>sym</sub>[x<sup>4</sup>yz-2x<sup>3</sup>y<sup>2</sup>z+x<sup>2</sup>y<sup>2</sup>z<sup>2</sup>]>=0
<BR>
<BR>ci riconduciamo quindi a dimostrare che
<BR>
<BR>sum<sub>sym</sub>[4x<sup>5</sup>y- x<sup>4</sup>y<sup>2</sup>-3x<sup>3</sup>y<sup>3</sup>]>=0
<BR>
<BR>che è vera per la disuguaglianza di raggruppamento.
<BR>Infatti
<BR>
<BR>sum<sub>sym</sub>[x<sup>5</sup>y]>=sum<sub>sym</sub>[x<sup>4</sup>y<sup>2</sup>]
<BR>3sum<sub>sym</sub>[x<sup>5</sup>y]>=3sum<sub>sym</sub>[x<sup>3</sup>y<sup>3</sup>]
<BR>
<BR>la somma delle ultime due dà la tesi <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 27-12-2003 14:21 ]
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

ah, ne ho un\'altra!
<BR>
<BR>(x<sup>x<sup>2</sup>+2yz</sup>)*(y<sup>y<sup>2</sup>+2xz</sup>)*(z<sup>z<sup>2</sup>+2xy</sup>)>=(xyz)<sup>xy+yz+zx</sup>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 27-12-2003 14:39 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 27-12-2003 14:40 ]
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

questa è davvero allucinante...
<BR>mi sapete dire se esiste una disuguaglianza alla schur, con logaritmi in mezzo? (se non avete presente schur, lasciate stare)
<BR>comunque complimenti talpuz.

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