Questa è bella

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

ok,dai...
 ritorniamo sulla prima,quella per cui talpuz ha usato la brute force:
 
 (xy+yz+zx)[(x+y)-2+(y+z)-2+(z+x)-2]>=9/4
 
 ora,presentiamo prima un paio di lemmi:
 se abbiamo un polinomio P(t) = [t-(x+y)][t-(y+z)][t-(z+x)] = t³+3at²+3bt+c, le disuguaglianze di newton e maclaurin ci dicono rispettivamente che ac<=b² e a >= b1/2 >= c1/3.
 
 ora, per le formule di viète, o radici relazioni-coefficienti, (che si ottengono quasi banalmente sviluppando a sinistra e raccogliendo opprtunamente P(t))
 3a = 2(x+y+z)
 3b = x²+y²+z²+3(xy+yz+zx)
 c = (x+y)(y+z)(z+x)
 
 dunque,ora viene il bello:
 facendosi un po\' di conti, si \"vede\" che il primo fattore del prodotto della disuguaglianza si può scrivere come (27a²-24b)/4, mentre il secondo si può scrivere come 9b²/c²-6a/c.
 ora, il primo membro della nostra disuguaglianza si è trasformato in
 [(27a²-24b)/4][9b²/c²-6a/c] = (9/4)[9a²-8b][3b²-2ac]/c²
 in cui
 ac<=b²,
 a >= b1/2 >= c1/3, ma quindi, in particolare b³/c²>=1
 quindi abbiamo
 (xy+yz+zx)[(x+y)-2+(y+z)-2+(z+x)-2] =
 = (9/4)[9a²-8b][3b²-2ac]/c² >= (9/4)[b²]/c² >= (9/4)*1 = 9/4

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 P(t) = [t-(x+y)][t-(y+z)][t-(z+x)] = t³+3at²+3bt+c
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 qui non bisogna cambiare qualche sengo?
 secondo me se vuoi che valgano queste
 
 3a = 2(x+y+z)
 3b = x²+y²+z²+3(xy+yz+zx)
 c = (x+y)(y+z)(z+x)
 
 dovresti scrivere
 
 t³-3at²+3bt-c
 
 no? e poi le disuguaglianze di Newton e Maclaurin non si riferiscono alle medie aritmetiche dei polinomi simmetrici?
 
 comunque l\'idea è carina! sicuramente meno \"barbara\" della mia <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 attendo chiarimenti! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 28-12-2003 13:32 ]

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

scusa, imprecisione mia:
 
 P(t) = [t+(x+y)][t+(y+z)][t+(z+x)] = t³+3at²+3bt+c
 
 dopodiché il resto dovrebbe essere corretto... grazie per avermelo fatto notare <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao a tutti!
 
 Dunque... una precisazione x,y,z sono reali >=1 il testo lo riporta chiaramente e probabilmente Talpuz si è dimenticato di riportarlo.
 
 Veniamo al problema:
 
 Supponiamo senza perdere in generalità che x>=y>=z
 Con un pò di algebra possiamo riscrivere la nostra disuguaglianza come:
 (x-z)(x-y)log(x)+(y-x)(y-z)log(y)+(z-x)(z-y)log(z)>=0
 
 o anche:
 
 (x-y)[(x-z)log(x)-(y-z)log(y)]+(x-z)(y-z)log(z)>=0
 
 ora se dimostriamo che:
 [(x-z)log(x)-(y-z)log(y)]>=0 abbiamo bel che finito.
 Quindi x-z>=y-z>=0 e log(x)>=log(y)>=0 da cui (x-z)log(x)>=(y-z)log(y)
 
 C.V.D
 
 Ditemi che ne pensate!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 
 Saluti
 Andrea 84 alias Brend

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-28 17:33, andrea84 wrote:
 Dunque... una precisazione x,y,z sono reali >=1 il testo lo riporta chiaramente e probabilmente Talpuz si è dimenticato di riportarlo.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 whoooops.......
 sorry... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 beh...direi che funziona più che bene...

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

<IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
 c\'ho perso il fegato, su questa disuguaglianza! accidenti a te!!
 
 (non me la sono presa, in realtà <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> )
 
 ps. se, per farti perdonare, vuoi proprio rilanciare... non è che dico di no! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 pps. 700!!!! yuhuuu!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ma_go il 28-12-2003 20:23 ]

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Facile facile...
 
 siano a,b,c lati di un triangolo dimostrare che
 sqrt(a+b-c)+sqrt(b+c-a)+sqrt(c+a-b)<=sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)
 
 Ciao! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

facciamo anche questa!
 allora, è noto che i lati di un triangolo si possano esprimere come somme concatenate di tre numeri (strettamente, se i triangoli non sono degeneri) positivi:
 a = x+y
 b = y+z
 c = z+x,
 in cui x,y,z possono essere visti come distanze dei vertici dai punti di contatto della circonferenza inscritta al triangolo di lati a,b,c...
 ok, dopo questa breve premessa, il primo membro della nostra disuguaglianza risulta:
 2[sqrt(x/2)+sqrt(y/2) + sqrt(y/2)+sqrt(z/2) + sqrt(z/2)+sqrt(x/2)].
 ora possiamo applicare la disuguaglianza tra le medie (in questo caso, media-½esima-media aritmetica), e dedurre che
 sqrt(x/2)+sqrt(y/2) <= sqrt(x+y)/2
 sqrt(y/2)+sqrt(z/2) <= sqrt(y+z)/2
 sqrt(z/2)+sqrt(x/2) <= sqrt(z+x)/2,
 da cui, sommando membro a memro e raddoppiando, si ottiene la tesi.
 attendesi ulteriore rilancio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ma_go il 28-12-2003 20:58 ]

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Chi rilancia?? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

a,b,c sono reali (non sono sicuro che possano essere anche negativi) tali che a+b+c=abc.
 Prova che 1/sqrt(1+a^2)+1/sqrt(1+b^2)+1/sqrt(1+c^2)<=3/2
 (by febiz)

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

eccomi qua!
 non è una disuguaglianza nel senso proprio del termine, anyway...
 
 sia
 S=1+[1/(1+1/3)]+[1/(1+1/3+1/6)]+...+[1/(1+1/3+1/6+...+1/1993006]
 
 dove i denominatori sono le somme parziali della serie
 
 sum[k=1->n]2/k(k+1)
 
 per n da 1 a 1996 (in pratica sono le somme degli inversi dei primi n numeri triangolari)
 
 dimostrare che S>1001
 
 ps: adesso penso alla tua ma_go... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

dunque..
 soluzione veloce ed indolore:
 
 a=ctg(x) b=ctg(y) c=ctg(z)
 
 ***
 esercizio: dimostrare che la condizione a+b+c=abc con a,b,c>0 implica
 x+y+z=pi/2
 ***
 
 la disuguaglianza diventa
 senx+seny+senz<=3/2
 con pi/2>x,y,z>0
 la funzione seno è concava in [0;pi/2]
 quindi per la disuguaglianza di Jensen
 
 1/3(senx+seny+senz)<=sen[1/3(x+y+z)]=sen(pi/6)=1/2, la tesi
 
 so che è da sistemare (e molto anche), volevo solo rendere l\'idea <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 seguirà (forse) soluzione più standard.
 l\'esercizio, risolvetelo (io non ne ho un\'idea.. l\'ho letto da qualche parte, non mi ricordo neanche dove <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> )
 bye
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 29-12-2003 21:38 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 29-12-2003 21:38 ]

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Accidenti!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
 Possibile mi battiate sempre sul tempo <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
 Cmq la mia soluzione è praticamente identica a quella di Talpuz, tranne che per la sostituzione dv ho posto a=tg(A) , b=tg(B), c=tg(C)
 
 Cmq bravo Talpuz <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 ciao

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-24 14:38, andrea84 wrote:
 Allora... restando sempre in tema di disuguaglianze vi propongo questa(non è difficile ma è alquanto interessante):
 Dati a,b,c reali positivi dimostrare che aabbcc)>=(abc)(a+b+c)/3
 
 Ciao a tutti!
 e se non ci sentiamo prima Buon Natale a tutto il forum <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 torno ora dal mio ritiro spirituale inverale...
 a quanto vedo le sol. a questo problema sono gia state postate, vorrei comunque aggiungere la mia:
 ---------------
 elevando alla terza e dividendo per bbccaa si ottiene:
 a2ab2bc2c>=ab+cba+cca+b
 
 supponiamo c>=b>=a
 allora possiamo scrivere:
 a=t
 b=t(1+x)
 c=t(1+y)
 con 0<=x<=y
 
 sostituendo e raccogliendo t:
 t2t+2tx+2ty(1+x)2t+2tx(1+y)2t+2ty>=t2t+2tx+2ty(1+x)2t+ty(1+y)2t+tx
 
 semplificando t e estraendo la radice di t-esima si ha:
 
 (1+x)2+2x(1+y)2+2y>=(1+x)2+y(1+y)2+x
 dividendo per (1+x)2(1+y)2 si ottiene
 
 (1+x)2x(1+y)2y>=(1+x)y(1+y)x
 
 ma poiché
 
 (1+x)2x(1+y)2y>=(1+x)x(1+y)y
 e
 (1+x)x(1+y)y>=(1+x)y(1+y)x
 
 ==>
 (1+x)2x(1+y)2y>=(1+x)y(1+y)x
 
 e l\'uguaglianza vale sse 0=x=y
 --
 grazie Germania
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 30-12-2003 11:26 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 30-12-2003 11:30 ]