Questa è bella

germania2002 · Messaggio da **germania2002** » 01 gen 1970, 01:33

@esponenti: mi hanno risposto a me, e ioc ome buon ambasciatore rispondo a te.
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Code:<HR></TD></TR><TR><TD><PRE>
 
 n
 </PRE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>[addsig]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

soluzione alternativa all\'ultima di ma_go:
 
 a+b+c=abc (1)
 
 Per la disuguaglianza tra media aritmetica e quadratica risulta
 
 [1/sqrt(a2+1)+1/sqrt(b2+1)+1/sqrt(c2+1)]/3<=sqrt([1/ (a2+1)+1/(b2+1)+1/(c2+1)]/3) (2)
 
 ora cerchiamo di massimizzare il secondo membro e di far vedere che è sempre <=1/2
 
 consideriamo fissato il prodotto abc: se sviluppiamo il numeratore della frazione sotto radice e facciamo un po’ di conti, vediamo che esso è massimo quando la somma a+b+c è minima.
 
 Inoltre è noto che se il prodotto di n numeri è assegnato, la loro somma è minima quando essi sono uguali. Imponendo a=b=c nella (1) ricaviamo facilmente che la somma minima si ha per a=b=c=sqrt(3), e sostituendo tutto ciò nella (2) abbiamo la tesi
 
 nessuno fa l\'esercizio? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

io l\'ho fatta in modo diverso... ora, vedete un po\' voi... c\'è una soluzione che mi pare più semplice. e non richiede \"esercizi\"... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 sia
 S=1+[1/(1+1/3)]+[1/(1+1/3+1/6)]+...+[1/(1+1/3+1/6+...+1/1993006]
 dove i denominatori sono le somme parziali della serie
 sum[k=1->n]2/k(k+1)
 per n da 1 a 1996 (in pratica sono le somme degli inversi dei primi n numeri triangolari)
 dimostrare che S>1001
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 questo nessuno lo guarda? è carino... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 
 ma_go, + semplice della seconda?

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

talpuz, m\'hai provocato!!
 dunque, consideriamo i termini della sommatoria:
 abbiamo
 2/(k²+k) = 2[1/k - 1/(k+1)].
 la somma ai denominatori, quindi, telescopizza:
 sum[k=1,..,i] 2/(k²+k) = 2(sum[k=1,..,i] 1/k - sum[k=1,..,i] 1/(k+1)) =
 2(sum[k=1,..,i] 1/k - sum[k=2,..,i+1] 1/k) = 2(1-1/(i+1)) = 2i/(i+1).
 ora, la somma di cui noi dobbiamo trovare una minorante è:
 S = sum {1/sum[k=1,..,i] 2/(k²+k)} = sum {1/[2i/(i+1)]} =
 = (1/2) sum 1+1/i = 998 + (1/2)sum 1/i.
 ora, sum 1/i > (1/2k+1)*(2k+1-2k) =
 (1/2k+1)*(2k) = 1/2. (per ovvi motivi)
 
 quindi, per induzione (euler, che non ha ancora fatto sentire la sua voce in questo thread, mi perdonerà se salto qualche passaggio...), sum > i/2.
 ora, poiché nel nostro caso 1996 > 27 = 128,
 sum 1/i > sum 1/i > 6/2 = 3.
 ma quindi la nostra somma S risulta
 S = 998 + sum 1/i > 998+3 = 1001.
 ovviamente la cosa si può migliorare a S>1007, e mi pare ragionevole supporre che sia anche S>1008, però.. qui si fermò talpuz.
 
 ps. il metodo con cui ho fatto io quella di febiz mi pare più semplice e più olimpica, poi potrei sbagliarmi.. vedremo.. trovala, è quasi ovvia! basta trovare una piccola cosuccia, cui siamo così vicini!

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

rilancio estremale sovietico:
 dimostrare che, dati x,y > 1, si ha:
 x²/(y-1)+y²/(x-1) >= 8.
 
 non difficile, abbastanza standard...

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

rilancio bis, stesso commento:
 x,y,z reali positivi, dimostrare che:
 (x+y+z)²/3 ≥ xsqrt(yz) + ysqrt(zx) + zsqrt(xy)

Tamaladissa · Messaggio da **Tamaladissa** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-31 11:06, ma_go wrote:
 rilancio bis, stesso commento:
 x,y,z reali positivi, dimostrare che:
 (x+y+z)²/3 ≥ xsqrt(yz) + ysqrt(zx) + zsqrt(xy)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 al posto di sqrt(yz),sqrt(zx),sqrt(xy) mettiamo le rispettive medie aritmetiche e otteniamo:
 x2+y2+z2>=xy+yz+xz
 che è sempre vera per il buon vecchio riarrangiamento.
 il tutto se non ho sbagliato i conti
 
 sono Biagio...ma NON è il mio nick, è di mio cug. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Tamaladissa il 31-12-2003 12:17 ]

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

si, ok.
 giusta.
 io l\'avevo fatta in un altro modo

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-30 21:46, ma_go wrote:
 ps. il metodo con cui ho fatto io quella di febiz
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 chi/cosa è febiz? a me quella risultava una coreana...

Fede_HistPop · Messaggio da **Fede_HistPop** » 01 gen 1970, 01:33

febiz è un simpatico abitante di #olimpiadi su ircnet, che ogni tanto si mette a fare radio, e che seldom si mette a fare esercizi con me o Marco. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-31 10:56, ma_go wrote:
 rilancio estremale sovietico:
 dimostrare che, dati x,y > 1, si ha:
 x²/(y-1)+y²/(x-1) >= 8.
 
 non difficile, abbastanza standard...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 beh, io la faccio in un modo alternativo.. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 il primo membro è formato da due addendi \"simmetrici\" nelle due variabili
 se riusciamo a minimizzarne uno, tenendo una delle due variabili fisse, allora il valore che lo minimizza farà lo stesso anche per l\'altro addendo
 
 per trovare il valore minimo del primo membro possiamo quindi porre x=y, ottenendo x2/(x-1)>=4 che, visto che x>1 si riduce a (x-2)2>=0, of course sempre verificata
 
 funziona?

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Ultimo di marco: a=x-1, b=y-1. Allora
 
 (a+1)²/b + (b+1)²/a >= (a+1)²/a + (b+1)²/b [riarrangiamento] =
 = (a+1/a) + (b+1/b) + 4 >= 8 [AM-GM].
 
 
 Questo per lasciare spazio alle seguenti:
 
 1) x_i >= 1 per ogni i. Dimostrare che
 sum(i=1...n) 1/(1+x_i) >= n/(1+GM(x_i)),
 ove con GM(x_i) si intende la media geometrica degli n numeri x_1,...,x_n.
 
 2) molto nota... Prove that 0 = yz + zx + xy - 2xyz = 7/27, where x, y and z are non-negative real numbers satisfying x + y + z = 1

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-31 13:53, lordgauss wrote:
 0 <= yz + zx + xy - 2xyz <= 7/27
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 così va meglio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

concordo