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ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

uhm.. biagio...
<BR>da lì, elevando alla n e applicando maclaurin, si dovrebbe cavar fuori qualcosa.. ma non ho neppure carta e penna, quindi non saprei proprio dirti!
<BR>però questa è la mia impressione. della quale sono abbastanza certo, tra l\'altro. (mio cugino dice che ho carta e penna, e in effetti non ha tutti i torti.. quella che manca è la voglia). comunque a mente è vera. <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-05 15:57, andrea84 wrote:
<BR>Rilancio:
<BR>
<BR>x,y,z>1 reali tali che x^(-1)+y^(-1)+z^(-1)=2
<BR>dimostrare che:
<BR>
<BR>sqrt(x+y+z)>=sqrt(x-1)+sqrt(y-1)+sqrt(z-1)
<BR>
<BR>ciao <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>riscriviamo sqrt(x-1)=sqrt(x)*sqrt(1-1/x) e similmente per gli altri termini
<BR>
<BR>il buon vecchio Cauchy ci dice che
<BR>
<BR>sqrt(x+y+z)sqrt(1-1/x+1-1/y+1-1/z)>=sqrt(x)*sqrt(1-1/x)+sqrt(y)*sqrt(1-1/y)+sqrt(z)*sqrt(1-1/z)
<BR>
<BR>che, considerando che x^(-1)+y^(-1)+z^(-1)=2 è la tesi<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 05-01-2004 18:46 ]
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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-05 01:07, Biagio wrote:
<BR>
<BR>ora bisogna dimostrare che
<BR>((x1+1)(x2+1)...(xn+1))<sup>1/n</sup><=1+(x1x2...xn)<sup>1/n</sup>
<BR>il che secondo me è vero ma per adesso non mi viene in mente nulla, vedete un pò..
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>mi sono accorto ora che già per n=2 è falso, a meno che la disuguaglianza AM-GM non abbia improvvisamente cambiato verso <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>sqrt(1+x)(1+y)<=1+sqrt(xy) quadrando
<BR>1+x+y+xy<=1+xy+2sqrt(xy)
<BR>cioè (x+y)/2<=sqrt(xy) il che mi sembra un po\' strano
<BR>
<BR>questo non vieta che la disuguaglianza sia vera per n maggiore di 2, però..
<BR>
<BR>altre idee?<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 07-01-2004 19:05 ]
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Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

mmm....interessante <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
<BR>

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-05 17:49, ma_go wrote:
<BR>da lì, elevando alla n e applicando maclaurin, si dovrebbe cavar fuori qualcosa.. [...] questa è la mia impressione. della quale sono abbastanza certo, tra l\'altro.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Ok Marco, non fare i tarocchi di professione, giacchè come veggente non mi sembri molto dotato <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> (morale: ma_go non fare il mago)
<BR>Dai, si scherza.
<BR>Comunque sì talpuz, ogni applicazione di disuguaglianze fra medie a affini fa troppa violenza al primo membro (violentare un membro è un\'espressione certamente ambigua per dei pervertiti come voi), tanto da invertire il verso della disuguaglianza.
<BR>Intuì qualcosa chi pensò all\'induzione, anche se trattasi di induzione non-standard. In ogni caso, come il buon Tiozzo ebbe occasione di ricordare a me pivello, uno teoricamente high-levelled non dovrebbe passare per di lì, bensì forzare subito la mano...

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

beh, me n\'ero accorto che con le disuguaglianze classiche si va \"un po\' troppo in là\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>sinceramente ho provato anche l\'induzione, ma con scarso successo..
<BR>(non so cosa tu intenda per induzione non-standard)
<BR>
<BR>comunque ritenterò...
<BR>
<BR>alla fine poi mi spiegherai come si fa a \"forzare la mano\", spero <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

intanto vi propongo quest\'altra, che sembra molto più \"innocua\"
<BR>
<BR>x<sup>2</sup>y+y<sup>2</sup>z+z<sup>2</sup>x<=4/27
<BR>
<BR>con x+y+z=1 reali positivi
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lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Disuguaglianza di Schur
<BR>x³+y³+z³+3xyz >= 2(x²y+y²z+z²x) [1]
<BR>
<BR>1=(x+y+z)³=x³+y³+z³+6xyz+6(x²y+y²z+z²x). Sostituiamo usando la [1].
<BR>
<BR>Dunque 8(x²y+y²z+z²x)+3xyz<=1, che è decisamente più forte della disuguaglianza da provare.
<BR>
<BR>
<BR>Per quanto riguarda il problema rimasto insoluto, per induzione \"non standard\" intendo, per esempio: mostrare che se la tesi è valida per n allora è valida anche per 2n e per n-1
<BR>
<BR>

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

RICAPITOLANDO
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>
<BR>x_i >= 1 per ogni i. Dimostrare che
<BR>sum(i=1...n) 1/(1+x_i) >= n/(1+GM(x_i)),
<BR>ove con GM(x_i) si intende la media geometrica degli n numeri x_1,...,x_n.
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>
<BR>1) Suggerimento induttivo: dimostrare che se la tesi vale per n, allora vale anche per 2n e per n-1
<BR>
<BR>2) Suggerimento jenseniano: set x_i = e^(y_i)

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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-09 21:11, lordgauss wrote:
<BR>
<BR>2) Suggerimento jenseniano: set x_i = e^(y_i)
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>azz.. ci avevo pensato ad applicare jensen, ma in effetti ero a corto di idee sulla funzione a cui applicarlo.. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-09 21:11, lordgauss wrote:
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>
<BR>x<sub>i</sub> >= 1 per ogni i. Dimostrare che
<BR>sum(i=1...n) 1/(1+x<sub>i</sub>) >= n/(1+GM(x<sub>i</sub>)),
<BR>ove con GM(x<sub>i</sub>) si intende la media geometrica degli n numeri x<sub>1</sub>,...,x<sub>n</sub>.
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>2) Suggerimento jenseniano: set x<sub>i</sub> = e^(y<sub>i</sub>)
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>raccolgo umilmente il suggerimento, sostituisco, applico le proprietà delle potenze necessarie e chiamo f(x) = (e<sup>x</sup>+1)<sup>-1</sup>.
<BR>questa funzione è concava per x>=0, essendo f\'\'(x) = e<sup>x</sup>(e<sup>x</sup>-1)/(e<sup>x</sup>+1)<sup>3</sup> <= 0 (essendo tutti i membri strettamente positivi eccetto uno, mai positivo).
<BR>quindi riarrangio e riscrivo uno dei membri come
<BR>[sum f(y<sub>i</sub>)]/n,
<BR>ma risulta (per jensen \"concavo\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> )
<BR>[sum f(y<sub>i</sub>)]/n <= f(sum y<sub>i</sub>/n).
<BR>da qui risostituendo si ricava la disuguaglianza cercata.

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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-10 13:49, ma_go wrote:
<BR>
<BR>ma risulta (per jensen \"concavo\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> )
<BR>[sum f(y<sub>i</sub>)]/n <= f(sum y<sub>i</sub>/n).
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>a me sembra che questa sia proprio la disuguaglianza opposta di quella che dobbiamo dimostrare <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>in effetti a me viene f\'\'(x)=(e<sup>3x</sup>-e<sup>x</sup>)/(e<sup>x</sup>+1)<sup>4</sup>
<BR>
<BR>(che con due conti si riconduce alla forma in cui l\'hai messa tu)
<BR>che è sempre positiva per x>=0, quindi possiamo applicare jensen \"convesso\", ottenendo la disuguaglianza cercata
<BR>
<BR>almeno, a me così sembra <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 10-01-2004 14:49 ]
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

ops

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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

in effetti vista così la soluzione è carina <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>ne hai altre simili, lord?
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

x, y, z are positive reals with product 1. Show that x³/((1 + y)(1 + z)) + y³/((1 + z)(1 + x)) + z³/((1 + x)(1 + y)) >= 3/4

Bloccato