Questa è bella

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

dunque... facciamo una dimostrazione euler-styled:
 
 LEMMA 1: (x+y)-1+(y+z)-1+(z+x)-1 >= 9/2·(x+y+z)-1,
 
 che segue direttamente dalla disuguaglianza tra le medie aritmetica ed armonica.
 
 LEMMA 2: [x2+y2+z2]/3 >= (x+y+z)2/9,
 che segue direttamente dalla disuguaglianza tra le medie aritmetica e quadratica.
 
 ora, prendiamo il primo membro della nostra cara disuguaglianza:
 x2/(y+z)+y2/(x+z)+z2/(x+y).
 ora, per simmetria, supponiamo si abbia x >= y >= z, allora si ha anche x² >= y² >= z², ma anche x+y >= x+z >= y+z, quindi (x+y)-1 <= (x+z)-1 <= (y+z)-1.
 possiamo quindi applicare direttamente la disuguaglianza di chebycheff al primo membro, ottenendo
 x2/(y+z)+y2/(x+z)+z2/(x+y) >= {[x2+y2+z2]/3}*[(x+y)-1+(y+z)-1+(z+x)-1].
 ora, per i lemmi 1 e 2 applicati ai due fattori, abbiamo
 x2/(y+z)+y2/(x+z)+z2/(x+y) >= {[x2+y2+z2]/3}*[(x+y)-1+(y+z)-1+(z+x)-1] >= [(x+y+z)2/9]*[9/2·(x+y+z)-1] = (x+y+z)/2, che è la disuguaglianza cercata...
 scusate l\'inutile lunghezza del post... sono stato puntiglioso <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

wow! ci sono...
 se supponiamo x>=y>=z le triple (x2,y2,z2) e (1/(y+z),1/(z+x),1/(x+y)) sono ordinate nello stesso verso
 dunque, per Chebyshev
 [x2/(y+z)+y2/(z+x)+z2/(x+y)]/3>=([x2+y2+z2]/3)*([1/(y+z)+1(z+x)+1/(x+y)]/3] (1)
 inoltre, per la disuguaglianza tra le medie abbiamo
 [x2+y2+z2]/3>=[(x+y+z)/3]2 (2)
 1/3[1/(y+z)+1(z+x)+1/(x+y)]>=3/2(x+y+z) (3)
 sostituendo (2) e (3) in (1) abbiamo per magia la tesi <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
 bye
 
 d\'oh! sono arrivato in ritardo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 25-12-2003 20:40 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

beh, a questo punto rilancio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 (xy+yz+zx)[(x+y)-2+(y+z)-2+(z+x)-2]>=9/4
 
 x,y,z reali positivi

ihsahn · Messaggio da **ihsahn** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 (xy+yz+zx)[(x+y)-2+(y+z)-2+(z+x)-2]>=9/4
 
 x,y,z reali positivi
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 consideriamo le due triple (sqrt(xy),sqrt(yz),sqrt(xz)) e ((x+y)-1,(y+z)-1,(x+z)-1)
 
 per la disuguaglianza di cauch-schwarz vale che
 
 (xy+yz+xz)[(x+y)-2+(y+z)-2+(x+z)-2) >= [ sqrt(xy)/(x+y) + sqrt(yz)/(y+z) + sqrt(xz)/(x+z) ]2
 
 ma si osserva per la disuguaglianza G<=A che sqrt(xy)/(x+y) <= 1/2, quindi sqrt(yz)/(y+z) <= 1/2 e
 sqrt(xz)/(x+z) <= 1/2, sommando le tre ottengo che
 
 sqrt(xy)/(x+y) + sqrt(yz)/(y+z) + sqrt(xz)/(x+z) <= 3/2
 
 sostituendo alla disuguaglianza ottenuta con cauchy schwarz ottengo che
 
 (xy+yz+xz)[(x+y)-2+(y+z)-2+(x+z)-2) >= (3/2)2
 
 da cui la tesi. (scusate la notazione orribile) [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ihsahn il 25-12-2003 21:54 ]

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

uhm.. io leggo un verso di disuguaglianza diverso.. ma suppongo sia errato <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> e il bello è che ho cercato di dimostrare la disuguaglianza sbagliata... capisco bene che non mi venisse!!!
 si attende volentieri rilancio (con testo corretto) di talpuz! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

ihsahn · Messaggio da **ihsahn** » 01 gen 1970, 01:33

credo che il segno >= sia giusto, di sicuro non vale il contrario, prova con (1,2,3). Credo comunque che la mia dimostrazione sia giusta..

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao dunque...
 
 (xy+yz+zx)[(x+y)-2+(y+z)-2+(z+x)-2]>=9/4
 
 x,y,z reali positivi
 
 
 consideriamo le due triple (sqrt(xy),sqrt(yz),sqrt(xz)) e ((x+y)-1,(y+z)-1,(x+z)-1)
 
 per la disuguaglianza di cauch-schwarz vale che
 
 (xy+yz+xz)[(x+y)-2+(y+z)-2+(x+z)-2) >= [ sqrt(xy)/(x+y) + sqrt(yz)/(y+z) + sqrt(xz)/(x+z) ]2
 
 ma si osserva per la disuguaglianza G<=A che sqrt(xy)/(x+y) <= 1/2, quindi sqrt(yz)/(y+z) <= 1/2 e
 sqrt(xz)/(x+z) <= 1/2, sommando le tre ottengo che
 
 sqrt(xy)/(x+y) + sqrt(yz)/(y+z) + sqrt(xz)/(x+z) <= 3/2
 
 
 e fin qui è tutto ok...
 
 sostituendo alla disuguaglianza ottenuta con cauchy schwarz ottengo che
 
 (xy+yz+xz)[(x+y)-2+(y+z)-2+(x+z)-2) >= (3/2)2
 
 questa proprio non la capisco però
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Cmq se non sbaglio dovrebbe essere un problema iraniano, quindi non penso sia così facile <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">

ihsahn · Messaggio da **ihsahn** » 01 gen 1970, 01:33

Ahem... direi che ho fatto un bell\'errore...

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

comunque confermo, il testo corretto è quello, ed è \"Iran \'96\"
 e aggiungo che non so la soluzione... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 
 per inciso, se guardate sul link che ha postato Publio nell\'altro thread, ci sono due bei documenti in formato .ps, uno sulle disuguaglianze e uno su geometria, più due libri scaricabili pieni zeppi di problemi presi dalle varie gare nazionali!
 dateci un\'occhiata, ne vale la pena... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

a proposito, provate anche questa!
 
 aabbcc>=abbcca
 
 è mooolto simile a quella con cui andrea ha aperto il topic, con una piccola variante...
 intanto mi metto a pensare all\'Iraniana... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 bye

ihsahn · Messaggio da **ihsahn** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 aabbcc>=abbcca
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Ci provo sperando di non fare altre brutte figure..
 
 consideriamo senza perdita di generalità a>=b>=c, quindi vale loga>=logb>=logc
 consideriamo le triple x(a,b,c) e y(loga,logb,logc)
 per la disuguaglianza di riarrangiamento vale che sum[1..n]x(i)y(i) è massima quando le due triple sono ordinate allo stesso modo. quindi
 aloga+blogb+clogc >= bloga+clogb+alogc (dato che il secondo membro è un riarrangiamento diverso da quello di due triple crescenti)
 si ha quindi:
 log(a^a * b^b * c^c) >= log(a^b * b^c * c^a) da cui la tesi, sfruttando la crescenza di log.

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

...if everything else fails, try brute force!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 Eliminando i denominatori, sviluppando le parentesi, portando tutto a primo membro e semplificando, la disuguaglianza Iraniana si può riscrivere in notazione simmetrica come
 
 sumsym[x2y2z2-x4y2-3x3y3-2x3y2z+x4yz+4x5y]>=0
 
 (sumsym=somma fatta su tutte le permutazioni dell’n-upla a cui la si applica)
 ora, la nota disuguaglianza di Schur si può scrivere
 
 sumsym[x3-2x2y+xyz]>=0
 
 che moltiplicata per xyz dà
 
 sumsym[x4yz-2x3y2z+x2y2z2]>=0
 
 ci riconduciamo quindi a dimostrare che
 
 sumsym[4x5y- x4y2-3x3y3]>=0
 
 che è vera per la disuguaglianza di raggruppamento.
 Infatti
 
 sumsym[x5y]>=sumsym[x4y2]
 3sumsym[x5y]>=3sumsym[x3y3]
 
 la somma delle ultime due dà la tesi <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 27-12-2003 14:21 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

ah, ne ho un\'altra!
 
 (xx2+2yz)*(yy2+2xz)*(zz2+2xy)>=(xyz)xy+yz+zx
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 27-12-2003 14:39 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 27-12-2003 14:40 ]

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

questa è davvero allucinante...
 mi sapete dire se esiste una disuguaglianza alla schur, con logaritmi in mezzo? (se non avete presente schur, lasciate stare)
 comunque complimenti talpuz.