non c\'è 3 senza 4

[talpuz]

dimostrare che
<BR>
<BR>n!<=(n^n)*2^(1-n)
<BR>
<BR>-----
<BR>
<BR>riporto anche quella di EvaristeG che mi sembra carina:
<BR>
<BR>(n+1)^n<=n!*3^n

[andrea84]

Ciao
<BR>
<BR>allora la tua Talpuz non l\'ho ancora guardata, per quella di Evariste ho applicato brutalmente l\'induzione su n..ma sono ancora in cerca di una soluzione più elegante ...
<BR>
<BR>Ciao
<BR>(che post inutile) <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

[Biagio]

quello di EvaristeG
<BR>
<BR>solita induzione:
<BR>1)per n=1 la tesi è vera
<BR>2)supponiamo sia vera per n-1, allora abbiamo:
<BR> n^(n-1)<=(n-1)!3^(n-1) moltiplicando il tutto per 3n
<BR> 3n^n<=n!3^n
<BR> passando da n-1 a n
<BR> 3(n+1)^(n+1)<=(n+1)!3^(n+1) dividendo per 3(n+1)
<BR> (n+1)^n<=n!3^n
<BR> ma per ipotesi induttiva n!3^n>=3n^n quindi sostituendo:
<BR> (n+1)^n<=3n^n da cui
<BR> (1+1/n)^n<=3 il che è vero, infatti il membro a sinistra è crescente e tende ad e (=2,7....)...risparmiatemi questa dim <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

[Biagio]

quella di Talpuz:
<BR>al popsto di n scriviamo n+1 e otteniamo moltiplicando per 2^n
<BR>2^n(n+1)!<=(n+1)^(n+1) dividendo per n+1 si ha
<BR>(n+1)^n>=n!2^n...a questo punto guardate \"inequality 3\"

[EvaristeG]

ah ma questa è la parte carina, Biagio: dimostra il tutto senza usare i llimite notevole!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

[LB]

Per il teorema binomiale,
<BR>(1 + 1/n)^n = sum(k = 0 -> n) (n k) n^-k
<BR>
<BR>Si vede facilmente per induzione su k che (n k) <= n^k/k! per n e k interi e quindi
<BR>sum(k = 0 -> n) (n k) n^-k <= sum(k = 0 -> n) 1/k! < e
<BR>
<BR>Dunque
<BR>(1 + 1/n)^n < e < 3
<BR>

[talpuz]

ok, ora permattetemi di rincarare la dose... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>(n!)²>=2^2(n-1)*(n-1)!
<BR>
<BR>mi è saltata fuori provando a dimostrare quella di Evariste
<BR>se volete potete provare per induzione, ma vi assicuro che c\'è una strada molto più agevole... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>enjoy!

[ihsahn]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>(n!)²>=2^2(n-1)*(n-1)!
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>dividendo ambo i membri per (n-1)! il problema si riduce a
<BR>
<BR>n*(n!)>=2^2n-2
<BR>
<BR>Ragiono per induzione:
<BR>P(1) è vera: 1*1>=2⁰
<BR>Prendiamo come ipotesi induttiva
<BR>n(n!)>=2^2n-2
<BR>moltiplico da entrambe le parti per (n+1)² e divido per n, ottengo:
<BR>(n+1)(n+1)!>=2^2n-2*(n+1)²/n
<BR>posso riscrivere come:
<BR>(n+1)(n+1)!>=2²ⁿ*(n+1)²/4n
<BR>ma (n+1)² è sempre maggiore di 4n per n naturale, quindi (n+1)²/4n è sempre maggiore di 1. Pertanto questa disuguaglianza rafforza:
<BR>(n+1)(n+1)!>=2²ⁿ
<BR>ossia la tesi per n+1.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ihsahn il 24-12-2003 15:22 ]

[talpuz]

ok, giustissimo
<BR>consiglio per la via più \"carina\":
<BR>riscrivete n! in un altro modo simpatico e applicate più volte la disug AM-GM...

[talpuz]

vabè, visto che nessuno risponde più...
<BR>
<BR>n!=n*(n-1)*...*2*1=(n-1+1)*(n-2+1)*...*(n-(n-1)+1)*1
<BR>
<BR>applicando n-1 volte la disug AM-GM
<BR>
<BR>n!>=2^n-1*sqrt(n-1)*sqrt(n-2)*...*sqrt(2)*sqrt(1)=2^n-1*sqrt[(n-1)!]
<BR>
<BR>et voilà!! elevando al quadrato abbiamo la tesi.
<BR>carino, niente di più... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">