beccatevi questo!

WindowListener · Messaggio da **WindowListener** » 01 gen 1970, 01:33

Hola ...
 
 lim[n --> +∞ ]prod[k = 1, ..., n] (1 + x_k/n) = e^x
 
 per risolverlo utilizzerò il seguente risultato , abbastanza facile da dimostrare :
 sia (a_n)_n successione a valori in R
 lim[n --> ∞ ] sum[k = 1 ,.. , n] a_k/n = lim[n --> ∞ ] a_n
 in poche parole il limite della media aritmetica della successione è uguale al limite della successione stessa...
 
 ora consideriamo
 lim[n --> ∞ ] sum[k = 1 ,.. , n]( log(1+x_k/n))/n
 
 per il teorema sopra citato questo limite è equivalente a
 
 lim[n --> ∞ ]log(1+x_n/n)
 
 per cui abbiamo
 
 lim[n --> ∞ ] sum[k = 1 ,.. , n]( log(1+x_k))/n = llim[n --> ∞ ]log(1+x_n/n)
 
 quindi
 
 lim[n --> ∞ ] sum[k = 1 ,.. , n]( log(1+x_k))= lim[n --> ∞ ]log(1+x_n/n)*n
 
 ora se (x_n)n converge ad x appartenente ad R abbiamo che
 lim[n --> ∞ ](x_n/n) = 0
 quindi applichiamo il limite fondamentale all\'espressione a destra e otteniamo
 
 lim[n --> ∞ ][log(1+x_n/n)/(x_n/n)]*(x_n/n)*n =lim[n --> ∞ ]x_n = x
 
 quindi ricompattando l\'espressione di sinistra
 
 lim[n --> ∞ ]log[prod[k=1, ... ,n](1+x_k/k)] = x
 ora elimininando il logaritmo abbiamo il risultato voluto
 
 hasta luego
 
 wl

jack_202 · Messaggio da **jack_202** » 01 gen 1970, 01:33

Di nuovo in ritardo.. rispondo in merito al problema iniziale.
 Credo si possano evitare sbudellamenti in serie o Hopitazioni barbare.
 Il problema si può ricondurre a determinare c posto
 
 lim(x->0) ( ln(1+x) - x ) / (x^2) = c
 
 Operando la sostituzione x=-y
 
 lim(x->0) ( ln(1-x) + x ) / (x^2) = c
 
 Sommando i due limiti
 
 1 = lim(x->0) ln(1-x^2) / (x^2) = 2c
 
 ovvero c=1/2. Saludos!

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

wow! questo era quello che volevo!
 e...che mi dici di questo, jack
 
 lim[x->+inf](cos[sqrt(2/x)])x
 
 anche in questo ho applicato de l\'hopital...

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-27 23:26, euler_25 wrote:
 Ciao, RedXIII! Strano nome... il tuo!!! Ke vorrebbe dì?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 mai giocato a Final Fantasy VII?? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-28 17:53, talpuz wrote:
 mai giocato a Final Fantasy VII?? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Me infelice... no, in vero!!! Nel tempo libero, sono quasi completamente assorbito dagli studi di Matematica, per cui... <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">

jack_202 · Messaggio da **jack_202** » 01 gen 1970, 01:33

X Talpuz:
 Poni x= 2y^2 ti resta da calcolare
 
 lim[y->+inf] (1 - (sin(1/y))^2)^(y^2)
 
 Ora sfrutti il limite notevole
 
 lim(z->0) (1 - z)^(1/z) = e^(-1)
 
 E riscrivi l\'esponente come
 
 y^2 = (1/ ( sin(1/y) )^2) * (y^2 (sin(1/y))^2)
 
 Il secondo fattore del membro destro va ad 1,
 dunque il limite va ad 1/e.

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-28 16:54, jack_202 wrote:
 ...sbudellamenti in serie o Hopitazioni barbare...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Ke espressioni gagliarde! Giuro, me le devo appuntare... magari per usarle in una prossima occasione!!! Ne hai delle altre da suggerire? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-28 15:03, WindowListener wrote:
 Hola ...
 
 lim[n --> +∞ ]prod[k = 1, ..., n] (1 + x_k/n) = e^x
 
 per risolverlo utilizzerò il seguente risultato , abbastanza facile da dimostrare :
 sia (a_n)_n successione a valori in R
 lim[n --> ∞ ] sum[k = 1 ,.. , n] a_k/n = lim[n --> ∞ ] a_n
 in poche parole il limite della media aritmetica della successione è uguale al limite della successione stessa...
 
 ora consideriamo
 lim[n --> ∞ ] sum[k = 1 ,.. , n]( log(1+x_k/n))/n
 
 per il teorema sopra citato questo limite è equivalente a
 
 lim[n --> ∞ ]log(1+x_n/n)
 
 per cui abbiamo
 
 lim[n --> ∞ ] sum[k = 1 ,.. , n]( log(1+x_k))/n = llim[n --> ∞ ]log(1+x_n/n)
 
 quindi
 
 lim[n --> ∞ ] sum[k = 1 ,.. , n]( log(1+x_k))= lim[n --> ∞ ]log(1+x_n/n)*n
 
 ora se (x_n)n converge ad x appartenente ad R abbiamo che
 lim[n --> ∞ ](x_n/n) = 0
 quindi applichiamo il limite fondamentale all\'espressione a destra e otteniamo
 
 lim[n --> ∞ ][log(1+x_n/n)/(x_n/n)]*(x_n/n)*n =lim[n --> ∞ ]x_n = x
 
 quindi ricompattando l\'espressione di sinistra
 
 lim[n --> ∞ ]log[prod[k=1, ... ,n](1+x_k/k)] = x
 ora elimininando il logaritmo abbiamo il risultato voluto
 
 hasta luego
 
 wl
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Ciao, wl! Ho scorso rapidamente la tua soluzione e... prima di esprimermi in via definitiva, come sempre faccio (d\'altra parte), vorrei prendermi giusto il tempo necessario per esaminare (anche se l\'espressione più corretta sarebbe \"sottoporre ad esame autoptico\"...) le tue argomentazioni, ragion per cui... a presto risentirci!!!
 
 Salvo Tr. alias euler_25
 
 P.S.: cmq, molto bravo... a prescindere dagli esiti!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao a tutti !
 
 Risolvo il limite di talpuz in un modo diverso da quello proposto da Jack!
 
 pongo sqrt(2/x)=t il limite diviene
 lim(x-->0+)(cos(t))^(2/t^2), ora per opportuni intorni destri di 0 possiamo scrivere:
 lim(x-->0+)e^((2/t^2)*log(cos(t))) e quindi il tutto si riduce a calcolare
 lim(x-->0+)(2/t^2)*log(cos(t))
 Hopitando 2 volte otteniamo che quel limite va a -1 da cui si ha che il limite iniziale va 1/e
 
 Ciao
 
 Andrea 84 alias Brend

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

E allora, wl... veniamo un po\' alla tua dimostrazione! Eviterò di perdermi in chiacchiere, passando dritto al sodo. Cito dunque testualmente:
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 ...sia (a_n)_n successione a valori in R
 lim[n --> ∞ ] sum[k = 1 ,.. , n] a_k/n = lim[n --> ∞ ] a_n
 in poche parole il limite della media aritmetica della successione è uguale al limite della successione stessa...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Molto bene... nulla di + falso!!! Consideriamo ad es. la successione {an}n ≥ 0 a valori reali definita assumendo, per ogni n€N: an = (-1)n. Tale successione è evidentemente indeterminata, e dunque tutt\'altro che convergente! Ciò nonostante, essa risulta convergente in media, ovvero (come anche s\'usa dire) convergente alla Cesàro. Difatti, comunque fissato un n€N, risulta che:
 
 sum[k = 1 ,.. , n] ak = [(-1)n + 1]/2
 
 come banalmente si dimostra per induzione! Onde dedurne che, definitivamente (e in esattezza per ogni n intero positivo):
 
 0 ≤ (sum[k = 1 ,.. , n] ak)/n = [(-1)n + 1]/(2n) ≤ 1/n
 
 perciocché, passando al limite ai tre membri della diseguaglianza così posta per
 n --> + inf e applicando di conseguenza i teoremi del confronto, si deduce che:
 
 0 ≤ limn --> + inf (sum[k = 1 ,.. , n] ak)/n ≤ limn --> + inf 1/n = 0
 
 onde trarne (per il teorema dei due carabinieri) che la successione {an}n ≥ 0 è convergente in media allo zero, pur non essendo convergente in senso ordinario! In contraddizione con l\'affermazione da te formulata!
 La corretta formulazione del risultato da te invocato a fondamento delle tue argomentazioni è data nei seguenti termini:
 
 Teorema (di Cesàro): sia {an}n ≥ 1 una qualunque successione a valori reali (o complessi) convergente, in senso ordinario, ad un certo a€R (oppure a€C). Allora, posto sn := sum[k = 1,...,n] ak, si ha nondimeno che:
 
 limn --> +inf sn/n = a
 
 - ------------ -------------
 
 Ciò detto, come se non bastasse, poco oltre commetti un\'imprudenza che è quantomeno ai limiti della follia (che spesso, tuttavia, è sinonimo di genio, sebbene non mi sembri d\'esser questo il caso d\'appellarsi ad un simile cliché...). Come sempre, riferisco testualmente:
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 ...ora consideriamo
 
 lim[n --> ∞ ] sum[k = 1 ,.. , n]( log(1+x_k/n))/n
 
 per il teorema sopra citato questo limite è equivalente a
 
 lim[n --> ∞ ]log(1+x_n/n)
 
 per cui abbiamo
 
 lim[n --> ∞ ] sum[k = 1 ,.. , n]( log(1+x_k))/n = llim[n --> ∞ ]log(1+x_n/n)
 
 quindi
 
 lim[n --> ∞ ] sum[k = 1 ,.. , n]( log(1+x_k))= lim[n --> ∞ ]log(1+x_n/n)*n
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Ma siamo matti? E cosa avresti fatto? Moltiplicare a primo e secondo membro per n sotto il segno di limite??? Per n --> +inf? Un delirio da antologia!!! Una sequela di m******** come poche ne ho viste in vita mia!?! Ora, benedetto figliolo... le idee di fondo poste alla base delle tue argomentazioni non sono niente male, anzi in alcuni passaggi mi sembrano persino folgoranti!!! E in buona parte ricalcano quelle cui io stesso ho pensato per risolvere il problema allo studio! Tuttavia, vengono presentate in modo oggettivamente troppo disordinato e per lo più grossolano, mescolando intuizioni talor geniali con ingiuriose calunnie alla virtù divina!!! E mi scuserai se giusto con te torno ad essere così spietato nell\'esprimere questo mio giudizio, ma personalmente non posso concepire l\'idea che un ragazzo talentuoso, quale tu evidentemente non manchi d\'essere per la sostanza delle riflessioni che hai saputo maturare, iscritto (come mi par di capire) peraltro in Matematica dalle parti dell\'ottima Trieste (e ti pregherei di correggermi se mi fossi sbagliato in questo aspetto, considerando che una tua mancata replica sarebbe percepita da me e dagli altri com\'una conferma alla mia intuizione...), non riesca a sviluppare un discorso logicamente coerente, evitandosi certe asinerie che (sinceramente) credo scuotano persino il sonno di certi illustri nelle tombe!!!
 
 Salvo alias euler_25
 
 P.S.: siccome sono consapevole del fatto di averti trattato con eccessiva durezza, t\'invito a considerare il mio sfogo nell\'unico modo ch\'io vorrrei esso fosse percepito, ovvero come l\'n-esimo invito da parte del sottoscritto, a te come pure agli altri, di usare più attenzione e maggiore rispetto verso tutto quel che fate (Matematicamente parlando) e le opportunità che il tempo vi ha concesse, e così pure verso le doti ed il talento (mai messi in discussione) di cui natura e studio han voluto farvi dono!!! Sarebbe un vero delitto lasciarli lì a languire...
 
 P.P.S.: mi aspetto, WindowListener, che tu adegui la tua soluzione alle osservazioni che ti ho mosso, dimostrando a te stesso prima che a me o a chiunque altro il tuo valore Matamatico, che (credimi!!!) neppure per un momento ho ardito mettere in discussione, nonostante gli accenti arroventati del mio dire!!! Ciao, scienza! [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 29-12-2003 00:05 ]

WindowListener · Messaggio da **WindowListener** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao , effettivamente la mia soluzione non è un capolavoro di chiarezza ...
 
 >>Molto bene... nulla di + falso!!!
 
 sono pienamente concorde con te , ma scusa la mia distrazione nn ho specificato che la successione in questione deve ammettere limite , poichè se ammette limite il lemma utilizzato è assolutamente vero .
 
 >>Ciò detto, come se non bastasse, poco oltre commetti un\'imprudenza che >>è quantomeno ai limiti della follia ... etc
 
 moltiplicare all\'interno del limite ...... effettivamente in generale è una grande cavolata.... ma in questo caso no (ne sono discretamente sicuro!)...
 come mai in questo caso reputo legittimo moltiplicare ambo i membri per n, deriva dalla dimostrazione (piu\' generale del teorema di Cesàrro (citato da Euler25) in quanto l\'importante è che la successione ammetta limite nn che sia convergente!) del lemma utilizzato per risolvere il limite, dalla quale si nota che le due successioni si comportano asintoticamente nello stesso modo sia che il limite sia finito o no....
 Premetto che è stata solamente un intuizione , quindi Euler concedimi un po\' di tempo per verificare che il procedimento sia corretto (o una cavolata immane e quindi ammettere che ho sbagliato )......
 
 un altra cosa :
 >>Ciao, scienza!
 ci conosciamo o hai solo letto il mio indirizzo di e-mail?
 
 ciao
 wl
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: WindowListener il 29-12-2003 16:38 ]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-29 16:37, WindowListener wrote:
 un altra cosa :
 >>Ciao, scienza!
 ci conosciamo o hai solo letto il mio indirizzo di e-mail?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Non credo di conoscerti né ho mai letto il tuo indirizzo e-mail!!! E\' solo che, da un\'attenta analisi delle tue argomentazioni dimostrative, al di là degli errori rilevati, come già ho detto altrove e qui adesso ribadisco, mi sembri un ragazzo molto capace!!! Quindi... ciao, scienza! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 Salvo Tr. alias euler_25
 
 P.S.: aspetterò la tua soluzione corretta!!!!

jack_202 · Messaggio da **jack_202** » 01 gen 1970, 01:33

Euler, concedimi di dirti che risulti davvero sgradevole
 quando critichi \"a sciabola sguainata\" le altrui soluzioni
 nel caso quest\'ultime presentino dei bachi. Ti pregherei
 di rientrare nei limiti della cortesia e del reciproco rispetto
 dato che non siamo qui per scannarci ma per condividere
 una passione comune. Grazie.

WindowListener · Messaggio da **WindowListener** » 01 gen 1970, 01:33

infatti nn mi sembrava di conoscerti .... cmq quella domanda l\'ho fatta solamente perchè mi chiamo Matteo Scienza quindi credevo che mi conoscessi ........
 
 wl

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-29 21:37, jack_202 wrote:
 Euler, concedimi di dirti che risulti davvero sgradevole
 quando critichi \"a sciabola sguainata\" le altrui soluzioni
 nel caso quest\'ultime presentino dei bachi. Ti pregherei
 di rientrare nei limiti della cortesia e del reciproco rispetto
 dato che non siamo qui per scannarci ma per condividere
 una passione comune. Grazie.
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Buon Jack, non posso darti che ragione!!! E\' solo che questi ragazzi, ogni tanto, mi fanno perdere le staffe!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
 
 E se la mia reazione può sembrare sovente eccessiva e smodata, com\'io stesso in effetti riconosco, beh la verità è che, nel misurarla, sull\'altro piatto della bilancia ci metto sempre la stima ch\'io ripongo in loro!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">