Un po\' di classica geometria

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

In mezzo a tanta analisi e altri astrusi argomenti, ecco un famoso problema di geometria (anzi, teorema). Vi prego di cercare di risolverlo senza andarvi a cercare la soluzione su internet (non è neanche difficile trovarla...).
 
 Prendete un triangolo qualsiasi ABC e tracciate le trisettrici dei tre angoli, ovvero, per ogni angolo, due rette che lo dividono in tre parti uguali.
 
 Quindi considerate un lato, ad esempio AB, e chiamate C\' il punto di intersezione tra la trisettrice di A e la trisettrice di B più vicine al lato AB. Fate allo stesso modo, chiamando B\' il punto di incontro della trisettrice di A e della trisettrice di C più vicine a AC, e A\' il punto di incontro della trisettrice di B e della trisettrice di C più vicine al lato BC.
 
 Dimostrate che A\'B\'C\' è equilatero.

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Oh, bravo!

Ospite · Messaggio da **Ospite** » 01 gen 1970, 01:33

allora..vediamo..
 
 ho due possibilita\':
 1. una cara via calcolosa trigonometrica
 2. una via che sembra molto piu\' figa della 1
 
 ..WORK IN PROGRESS..
 poi vi posto tutto[addsig]

Ospite · Messaggio da **Ospite** » 01 gen 1970, 01:33

ok..
 vada per la via 1..
 
 a) poiche\' nei triangoli ABC\' BCA\' e ACB\' sono noti un lato e i due angoli adiacenti, grazie al teorema dei seni si possono determinare i lati che restano
 
 b) considero ora AC\'B\' BA\'C\' e CB\'A\' per ciascun triangolo si ottengono nel passo a) le lunghezze di due lati mentre l\'angolo compreso tra questi e\' noto applico il teorema di Carnot e si puo\' quindi risalire al terzo lato rispettivamente C\'B\' A\'C\' e B\'A\' e se questi hanno lunghezze uguali il teorema si potrà assumere come dimostrato.
 
 ADESSO...
 dimostriamo!
 
 iniziamo dal punto a) e per facilita\' diciamo che gli angoli A=3x B=3y C=3z e implica che x+y+z=60°
 chiamo R il raggio del cerchi circoscritto al triangolo e applico il teorema dei seni e ho:
 AB=2R sin C= 2R sin (3z)
 BC=2R sin A= 2R sin (3x)
 AC=2R sin B= 2R sin (3y)
 a questo punto applico lo stesso teorema al triangolo BCA\'
 BA\'= 2R sin (3x) sin z / sin (60° -x)
 [sono solo passaggi trigonometrici, se c\'e\' bisogno di spiegare ditemelo]
 Conviene adesso semplificare questa espressione riscrivendo sen 3x in modo alternativo
 indeed utilizzando l\'identità goniometrica che collega sen 3x con sen x risulta:
 sin 3x= 3 sinx -4 sin^3 x= 4sinx(sin^2 60°-sin^2 x)
 scomponiamo in fattori la differenza di quadrati a secondo membro ed applichiamo le formule di prostaferesi (che gioia!)
 [ve le risparmio e vi scrivo il risultato]
 sin 3x= 4 sin x sin (60°-x) sin(60°+x)
 adesso riscriviamo BA\'= 8R sin x sin z sin (60°+x)
 analogamente facciamo con gli altri lati ma a noi serve solo conoscere BC\'
 BC\'= 8R sin z sin x sin(60°-z)
 ora possiamo passare al punto b) applicando il teorema di carnot
 applichiamo tale teorema per determinare il lato C\'A\'
 C\'A\'^2 = BA\'^2 + BC\'^2 - 2 BA\' BC\' cos y
 ora sostituendo e fattorizzando i termini comuni si ottiene
 A\'C\'^2 = 64R^2 sin^2 x sin^2 z[sin^2(60° + x) + sin^2(60° + z) - 2 sin(60° + x) sin(60° + z) cos y]
 beh, l\'espressione tra parentesi quadrate appare abbastanza complicata ma se osserviamo che la somma degli angoli coinvolti equivale ad un angolo di 180°
 infatti (60° + x) + (60° + z) + y = 120° + x + y + z = 120° + 60° = 180°
 adesso possiamo pensare che esista un triangolo con tali angoli
 In effetti ne esiste una infinità di questo tipo di triangoli tutti simili uno con l\'altro
 sia quindi il triangolo PQG uno di questi tale da avere il raggio del cerchio circoscritto uguale ad R
 l\'applicazione del teorema dei seni a questo triangolo permette di avere
 PQ = 2R sin(60° + z)
 QG = 2R sin(60° + x)
 GP = 2R sin y
 mentre il teorema di carnot ci dice che
 GP^2 = PQ^2 + QG^2 - 2PQ QG cos y
 inseriscoo le lunghezze dei lati sopra e divido per 4R^2
 sin^2 y = sin^2 (60° + x) + sin^2 (60° + z) - 2 sin(60° + x) sin(60° + z) cosy
 tutto questo ci permette di riscrivere C\'A\'^2 come
 C\'A\'^2 = 64R^2 sin^2 x sin^2 z sin^2 y
 e quindi
 C\'A\' = 8R sin x sin y sin z
 adesso l\'espressione permette un\'importante osservazione
 essa appare indipendente dallo scambio degli angoli x y z
 quindi non puo\' cambiare se si procede alla determinazione dei rimanenti due lati
 infatti se facciamo gli stessi calcoli per A\'B\' e B\'C\' si ottiene la stessa espressione
 quindi..
 abbiamo dimostrato che A\'C\'=C\'B\'=B\'A\'
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: franc il 19-12-2003 00:59 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: franc il 19-12-2003 21:12 ]

Fede_HistPop · Messaggio da **Fede_HistPop** » 01 gen 1970, 01:33

Verrebbe voglia di risolverlo prima per toglierti la soddisfazione <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 
 Sarò buono <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

mario86x · Messaggio da **mario86x** » 01 gen 1970, 01:33

Complimenti Evariste. Finalmente un bell\'esercizio in mezzo a tanti argomenti astrusi (come dici tu)

Ospite · Messaggio da **Ospite** » 01 gen 1970, 01:33

ODDIO..MA E\' LUNGHISSIMA LA MIA DIMOSTRAZIONE..AIUTATEMI A TROVARNE UN\'ALTRA PIU\' BREVE(e meno calcolosa)
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">[addsig]

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<A HREF="http://www.cut-the-knot.org/triangle/Mo ... nway.shtml" TARGET="_blank">www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/conway.shtml</A>

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

wow! un po\' artificiosa, ma carina!

Ospite · Messaggio da **Ospite** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-19 21:28, Antimateria wrote:
 <A HREF="http://www.cut-the.shtml" TARGET="_blank">www.cut-knot.org/.shtml</A>
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 
 wow!!!
 io pensavo ad un\'altra strada..tipo un po\' piu\' classica ed euclidea...
 
 nel mondo esistono 11 tipi diversi di persone: quelle che conoscono il sistema binario, quelle che non lo capiscono e antimateria [ Questo Messaggio è stato Modificato da: franc il 19-12-2003 23:47 ]

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-18 22:52, EvaristeG wrote:
 Vi prego di cercare di risolverlo senza andarvi a cercare la soluzione su internet (non è neanche difficile trovarla...).
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 E sì che l\'avevo detto...anti, fai il bravo e leva quel link...
 E ce ne sono di più standard e più euclidee...esclusa quella di morley, ovviamente, che arriva da tutt\'altra strada.
 
 Cmq sforzatevi un poco, su... qualcuno tiri fuori un\'idea euclidea... [ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 20-12-2003 00:00 ]

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-19 23:42, EvaristeG wrote:
 E sì che l\'avevo detto...anti, fai il bravo e leva quel link...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Ops... Comunque dai, una dimostrazione contosa si è già vista, e adesso è il momento che tutti conoscano la dimostrazione carina di Conway!

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

No, ce n\'è una euclidea intermedia, elegante, anche se non stupenda come quella di conway, a cui tutti possono arrivare...ci stava arrivando anche fra...
 
 Su, qualcuno si sforzi di partorire una decente dimostrazione che non vada oltre gli elementi del caro euclide.
 
 BTW: ci sono anche dimostrazioni trigonometriche più semplici e meno contose, che si avvalgono di un po\' di giochini preliminari sugli angoli...poi c\'è sempre la strada analitica...