Una cosuccia su Mersenne e Fermat

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-20 01:55, Antimateria wrote:
 ...Ogni intero non negativo si può esprimere in modo unico come somma di numeri di Fibonacci non consecutivi, i cui indici non siano 0 (F0=0) e 1 (F1=1).
 [allo 0 si può far corrispondere l\'insieme vuoto]
 
 Mi pare infatti che così sia molto più elegante che non imporre che il numero non sia del tipo F2n, e metta a disposizione la semplice dimostrazione che ho abbozzato nel post precedente.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Beh, se la poni in questi termini, allora non mi resta che essere assolutamente d\'accordo con te! E poi, in quanto ad eleganza dimostrativa, non v\'è dubbio che tu sia il \"Valentino\" di questo forum! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 20-12-2003 11:47 ]

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-20 11:42, euler_25 wrote:
 E poi, in quanto ad eleganza dimostrativa, non v\'è dubbio che tu sia il \"Valentino\" di questo forum! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Hehe, non esagerare, adesso stai passando da un estremo all\'altro! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 Stai forse cercando di sedurmi??

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Hehe, non esagerare, adesso stai passando da un estremo all\'altro! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 Stai forse cercando di sedurmi??
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Perché? Saresti forse interessato? Buongustaio... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 20-12-2003 22:47 ]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

E allora, Lord... veniamo a noi! Ho esaminato attentamente la tua soluzione al problema (iv) sulla rappresentazione Zeckendorf degli interi (positivi!) e devo dirti che, complici probabilmente le imprecisioni contenute (mea culpa) nel testo originale, certune fra le argomentazione ch\'hai proposto non sono del tutto esenti da critiche, nel senso ovviamente positivo (= costruttivo) del termine! Innanzitutto, partiamo da un\'inezia, una sciocchezza, una quisquilia, in buona norma una banalità, che tuttavia rigore e puntiglio non possono mancar di rilevare, sebbene si tratti (ribadisco il concetto) d\'un aspetto del tutto marginale della tua distinta discussione, che pertanto non può nè vuol pregiudicare in alcun modo il valore sostanziale e la portata della dimostrazione da te proposta. Cito testualmente:
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 18-12-2003, 17:26, Lordgauss wrote:
 ...Pertanto n-F[k] è un intero minore di F[k]. Per ipotesi induttiva, esso è somma di numeri di Fibonacci distinti.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 L\'imprecisione risiede nel fatto che, quando F[k] = n, la differenza
 F[k] - n è pari a 0, e di consenguenza l\'ipotesi induttiva cui tu t\'appelli non può essere evidentemente invocata! Dunque, pria di procedere, è necessario discernere il caso in cui F[k] = n da quello in cui, piuttosto: F[k] < n. Fermo restando che trattasi comunque di una sciocchezzuola bella e buona, su cui tuttavia, per amor di verità, un giudice imparziale (qual io presuntuosamente mi ritengo!) non avrebbe certo potuto sorvolare...
 Al contrario, Lord, come del resto puntualmente evidenziato dal persuasivo argomentare del buon caro Antimateria, l\'escamotage che tu ti sei inventato nel pur apprezzabile tentativo di rimediare alla più grave delle due o tre imprecisioni contenute nel testo del problema di cui qui si discute, e che si riassume nella tua seguente affermazione:
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 18-12-2003, 17:26, Lordgauss wrote:
 ...Occorre un\'ipotesi aggiuntiva: per esempio, essa può essere che l\'intero positivo non debba essere un numero di Fibonacci di indice pari...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 non è ovviamente il modus optimus di \"riparar la falla\", poiché (com\'è pacifico) esso escluderebbe dalla tesi del teorema circa la rappresentazione Zeckendorf degli interi positivi un numero infinito di elementi, e precisamente (come tu stesso hai osservato) tutti quelli della forma F[2n], con n€N\\{0}. E in effetti, or che ci rifletto con più calma, la via migliore per risolvere definitivamente la vexata quaestio è quella di accogliere e adattare l\'osservazione dell\'ultimo post di Antimateria su questo topic, riformulando per la terza (e spero ultimissima) volta il nostro mal(e)detto problema così come subitamente provvederò di fare, suggerendoti (<IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">) di conseguenza di rivedere la seconda metà delle tue argomentazioni in merito alla questione o più semplicemente (quand\'anche ancora tu non l\'avessi fatto) di assimilare i puntuali suggerimenti avanzati in proposito dal nostro \"Valentino\" Antimateria:
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 18-12-2003, 19:36, Antimateria wrote:
 Se poniamo F[1]=1, F[2]=2, etc funziona tutto. Anzi, da questo deriva il lemma che dice F[n]-1 = F[n-1]+F[n-3]+F[n-5]..., che è il motivo per cui esiste l\'espressione unica di ogni intero positivo.
 
 Infatti, siccome il più grande numero esprimibile come somma di numeri di Fibonacci tra F[1] e F[n] non consecutivi è F[n]+F[n-2]+F[n-4]+..., e siccome per il lemma questa somma vale esattamente F[n+1]-1, la tesi è dimostrata immediatamente per induzione.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 P.S.: Lord, per quanto attiene alla soluzione che hai postato in relazione al problema (ii) di questa medesima sezione, non posso che chinarmi al cospetto del tuo capace ingegno e riconoscerti il mio solito giudizio alla Mr Montgomery Burns... eccellente!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 Salvo Tr. alias euler_25 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 20-12-2003 22:02 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-18 00:23, euler_25 wrote:
 ---------------
 i) Per ogni n intero positivo, sia Pn(&#8729<IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> il polinomio di variabile reale definito assumendo, per ogni x€R:
 
 Pn(x) := x^(n+2) - x^(n+1) - Fn*x - Fn - 1
 
 ove {Fn} denota la successione dei numeri di Fibonacci.
 Calcolare il quoziente e il resto della divisione di Pn(x) per il trinomio di secondo grado: x^2 - x - 1.
 ---------------
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 carino!
 
 notiamo subito che Pn(x) soddisfa la relazione di ricorrenza
 
 Pn+1(x)=Pn(x)+Pn-1(x)+(xn+1-xn)(x2-x-1) (1)
 
 che si verifica facilmente sostituendo le espressioni di Pn(x) e Pn-1(x)
 
 utilizzando questa relazione, abbiamo per induzione che il resto Rn(x) della divisione di Pn(x) per x2-x-1 è uguale a zero.
 infatti questo si verifica facilmente per n=1 e n=2. se supponiamo inoltre che il resto sia zero per n e n-1, abbiamo che
 
 Pn(x)=(x2-x-1)Qn(x)
 Pn-1(x)=(x2-x-1)Qn-1(x)
 
 e quindi si vede immediatamente dalla (1) che anche Pn+1(x) è divisibile per x2-x-1, cioè il resto è zero.
 
 inoltre, indicato con Qn(x) il quoziente della divisione, risulta
 
 Qn(x)=xn+sum[k=0->n-1]xn-1-k*Fk
 
 ancora per induzione:
 -la formula è valida per n=1 e n=2 per verifica diretta
 -usando la (1) possiamo dimostrare che se essa è valida per n e n-1, allora è valida anche per n+1
 infatti, sostituendo le espressioni di Qn(x) e Qn-1(x) nella (1), e raccogliendo il fattore comune x2-x-1 abbiamo
 
 Qn+1(x)=(xn+[sum[k=0->n-1]xn-1-k*Fk]+xn-1+[sum[k=0->n-2]xn-2-k*Fk]+xn+1-xn)=
 
 nell\'ultima espressione:
 -xn+1 ha coeff 1
 -xn si elide
 -xn-1 e xn-2 hanno coeff 1 (infatti F0=0 e F1=1)
 -in generale, xn-k ha coefficiente Fk-1+Fk-2=Fk
 
 da cui la tesi.
 uff!... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 bye [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 21-12-2003 21:23 ]

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Ragazzi, vedo solo ora come si è evoluta la discussione... che dire?
 
 1) Finalmente toni sereni e pacifici, o addirittura mielosi! Che bello... consentitemi di aggregarmi, complimentandomi con euler e antimateria per la loro lucidità, chiedendo scusa per le imprecisioni, ed infine ringraziando per i dolci complimenti. Euler, solo un\'osservazione: stai attento perchè Antimateria è veramente omosessuale.
 
 2) Sottoscrivo le conclusioni cui siete giunti: il teorema è molto più bello se enunciato così come euler ha fatto, e il dover assumere una definizione non canonica dei numeri di Fibonacci è un prezzo basso, ancor più se si tiene conto che così facendo F(n) diventa iniettiva.

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-22 01:50, lordgauss wrote:
 ...Euler, solo un\'osservazione: stai attento perchè Antimateria è veramente omosessuale...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Ah sì? La faccenda allora si fa sempre più interessante... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Talpuz, non mi perdo in chiacchiere e ti dico subito che la tua soluzione al problema (i) mi è molto piaciuta! Semplice, elegante, chiara oltre ogni mia più ottimistica previsione! Davvero i miei complimenti.
 Soltanto, mi tocca aggiungere alle tue argomentazioni una piccolissima chiosa, che (specifico) non rappresenta nulla più di un\'obbligata precisazione, il cui unico scopo non è certo quello di sminuire il valore del tuo lavoro (che riconosco ben volentieri esser di eccellente fattura), ma piuttosto di fissare un punto che, per quanto marginale, tuttavia il mio solito e indecente puntiglio mi costringe a dover rilevare, poiché (come già altre volte ho detto e spesso mi troverò a ripetere) in Matematica, pria d\'ogni altro bene, è gradito il massimo rigore!!! O almeno, questo è il mio parere... forse discutibile, ma pur sempre il mio! Cito allora testualmente:
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 21-12-2003, 17:45, Talpuz wrote:
 ...notiamo subito che Pn(x) soddisfa la relazione di ricorrenza
 
 Pn+1(x)=Pn(x)+Pn-1(x)+(xn+1-xn)(x2-x-1) (1)
 
 che si verifica facilmente sostituendo le espressioni di Pn(x) e Pn-1(x)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Siamo perfettamente d\'accordo! Soltanto, al tuo posto, mi sarei riservato di precisare che la precedente relazione è valida sol per n > 1, visto che per n = 1 essa coinvolgerebbe tal polinomio P0(x) che né la traccia del quesito ha inteso definire né tu del resto hai preventivamente introdotto (sulla base di un\'opportuna sua determinazione) onde giustificare la generale consistenza (per ogni n > 0) della relazione di cui qui si discute! Tanto più che, in effetti, di seguir questa seconda via non vi sarebbe stato alcun bisogno, datosi che nel prosieguo della tua trattazione tu stesso hai giustamente esaminato il caso n = 1 in separata sede da tutti gli altri, o almeno così mi è parso di capire, ancorché il testo non sia in vero troppo esplicito a riguardo!
 E chiaramente, la medesima considerazione si può applicare (di conseguenza) al resto della tua dimostrazione, soprattutto in quelle parti ove son coinvolte delle relazioni ricorsive, che pertanto ti consiglierei di fissare tenendo conto di questo mio insignificante appunto! Ciao e alla prossima, allora!
 
 Salvo Tr. alias euler_25
 
 P.S.: spero non vorrai giudicar male il mio intervento, perché (come a ciascuno dovrebb\'essere ormai chiaro) mio desiderio è sol quello d\'evidenziare il valore e la portata del lavoro di voi tutti, e non certo di deprimerlo o deprezzarne in qualche modo il merito! E se, come in questo caso, mi intestardisco su aspetti apparentemente così marginali com\'io stesso, probabilmente, al posto tuo, stimerei quelli che nel corso di questo mio ultimo post ho inteso assieme a te dibattere, è sol perché, sopra d\'ogni altra necessitudo, un Matematico (qual certo io non sono, seppur d\'esserlo cotanto bramerei...) percepisce l\'obbligo morale e la pulsione (direi quasi...) istintuale di inseguir la Verità innanzi ch\'ogni altro fine, e pertanto non può accettar per sé di contentarsi d\'un surrogato (seppur notevole) di quel vago e tanto vagheggiato privilegio di cui si vanta la virtù divina; ché egli (in quanto uomo fremente d\'umani sospiri ancor pria che servitor fedele della Scienza) anela, più che tutt\'il resto, di poter conoscer veritade nella sua forma più assoluta e radicale, ovver d\'intravedere il soglio ov\'Ell\'è assisa in ieratica maestà fra la nebbiosa bruma della sua propria ottusa finitezza, filtrata attraverso immagini quanto più pure ed essenziali gli sia dato per via d\'ingegno concepire... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
 
 ---
 
 \"Il mondo è stato costruito su certe frasi, composte di parole, formate da lettere. Dietro queste ultime sono nascosti dei numeri, rappresentazione di una struttura, di una costruzione ove appaiono senza dubbio degli altri mondi! Ed io voglio analizzarli e capirli e carpirne il senso, perché l\'importante non è comprendere questo o quel fenomeno, bensì il cuore della verità ossia l\'essenza dell\'universo.\"
 
 Albert Einstein [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 23-12-2003 00:12 ]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Stavo pensando che, siccome avete fatto fuori già 5 dei miei problemini, forse è il caso di proporne uno di livello leggermente superiore... lo posto assieme all\'altro ancora in attesa di soluzione:
 
 Problema 1: sia {Fn(x)} la successione dei polinomi di Fibonacci, definita assumendo, per ogni x€R: F0(x) = 0, F1(x) = 1 ed Fn(x) = x*Fn - 1(x) + Fn - 2(x), per ogni n ≥ 2. Dimostrare che, comunque fissato un n intero positivo o nullo:
 
 int[0..+infty] 1/[(x2 + 1)*F2n+1(2x)] dx = Pi/(4n + 2)
 
 Problema 2: dimostrare che, per ogni n intero > 1, l\'equazione di Fermat xn + yn = zn non ammette soluzioni non banali per le quali x, y e z siano termini della successione di Fibonacci.
 
 NOTA: ovviamente, non è concesso invocare il th. di Wiles-Fermat, altrimenti che gusto ci sarebbe... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 
 Buon lavoro, e soprattutto... in bocca al lupo!
 
 Salvo Tr. alias euler_25
 
 P.S.: rivolgo anticipatamente i miei più vivi complimenti a chiunque riuscisse a dare una dimostrazione completa del 2o problema! Sarei quasi tentato di metterci sopra una taglia... mah, forse è meglio di no: mi sa tanto che non tardereste a riscuoterla tempo qualche giorno, e visto il periodo di austerità che attraversiamo, è più saggio non azzardare troppo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

Barozz · Messaggio da **Barozz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Problema 2: dimostrare che, per ogni n intero > 1, l\'equazione di Fermat xn + yn = zn non ammette soluzioni non banali per le quali x, y e z siano termini della successione di Fibonacci.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Bhe, basta dire che una terna pitagorica non può essere composta da tre numeri della successione di fibonacci, la qual cosa mi sembra abbastanza ovvia!! NO, STO SCHERZANDO!! Ci devo ancora pensare un pò!![addsig]

Barozz · Messaggio da **Barozz** » 01 gen 1970, 01:33

Mi sembra che il tutto si riduca alla dimostrazione che:
 Presi due numeri n,m interi positivi diversi tra loro
 ((√5+3)/2)n+((√5+3)/2)m+((3-√5)/2)n+((3-√5)/2)m non è un quadrato perfetto.
 Si potrebbe farlo per induzione... ma non ho molta voglia magari domani...
 
 Barozz [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Barozz il 23-12-2003 18:24 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-23 01:03, euler_25 wrote:
 Problema 1: sia {Fn(x)} la successione dei polinomi di Fibonacci, definita assumendo, per ogni x€R: F0(x) = 0, F1(x) = 1 ed Fn(x) = x*Fn - 1(x) + Fn - 2(x), per ogni n ≥ 2. Dimostrare che, comunque fissato un n intero positivo o nullo:
 
 int[0..+infty] 1/[(x2 + 1)*F2n+1(2x)] dx = Pi/(4n + 2)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 ehm, beh...
 
 si può dimostrare per induzione che
 
 F2n(x)=sum[k=0->n-1]x2(n-k)-1*(2n-1-k,k)
 F2n+1(x)=sum[k=0->n]x2(n-k)*(2n-k,k)
 
 però non so quanto questo sia utile nella risoluzione dell\'integrale...
 in effetti forse sarebbe più utile trovare una formula ricorsiva tra gli integrali stessi...ma ciò mi sembra decisamente fuori dalla mia portata...
 bye
 
 ps: (n,k)=coefficiente binomiale n su k [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 23-12-2003 20:06 ]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

up... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 23-12-2003 20:13 ]

germania2002 · Messaggio da **germania2002** » 01 gen 1970, 01:33

l\'ho già domandato, ma la risposta data non è secondo me quella corretta...
 
 Up! vuol dire che un\'esercizio è stato completato???[addsig]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

no, up vuol dire che riporti speranzosamente \"su\" il topic, nel caso che qualcuno abbia voglia di interessarsi