Integrali endovena -(by jack202)-

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

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J4Ck202
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Messaggio da J4Ck202 » 01 gen 1970, 01:33

{From: The Yellow Book of jack202}
<BR>
<BR>Dimostrare che
<BR>
<BR> int[0..pi/2] sin(sin(x)) dx = sum[j=0..+inf] (-1)^j / ((2j+1)!!^2)
<BR>
<BR>Ove intendiamo
<BR>
<BR> (2k+1)!! = prod[j=0..k] (2j+1)
<BR>
<BR>Dedicato a tutti gli amici integratori ed in special modo al mitico Euler_25.
<BR>

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

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publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 01 gen 1970, 01:33

Fin troppo banale... ehm, si.

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Ciao, J4Ck202! Grazie per l\'apprezzamento di stima, ma non era necessario... al più tardi nella serata di domani riceverai la mia risposta al problema che hai proposto e che qualcuno, con la solita imprudenza, ha già liquidato, come vedo, qual problema \"of easy solution\"! Non io, ben inteso! A proposito, giusto per capire, anche tu reputi che l\'uso che ho fatto dell\'integrale alla Lebesgue nella risoluzione d\'un altro ormai celebre problema di integrazione presentato sulle pagine di questo stesso forum sia eccessivo in relazione al livello medio dei suoi frequentatori (tesi sostenuta con intransigenza da quel caro ragazzo di Pazqo)? Mi interesserebbe sapere come la pensate un po\' tutti su questo argomento... Evariste, mio caro, avrei immenso piacere ad ascoltare in proposito soprattutto il punto di vista tuo personale... così, giusto per capire qualcosa in più sul tuo conto: non fosse altro che per il fatto di potermi convincere (ancorché non spero che la cosa possa interessanti più di tanto) che, oltre ad essere un eccellente virtuoso della lingua, tu sia anche un adeguato intelletto Matematico... senza offesa per gli altri, è solo che per Evariste nutro ormai, come dire, un\'ammirazione del tutto speciale... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>

Barozz
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Messaggio da Barozz » 01 gen 1970, 01:33

Nonostante abbia posto nel forum anche io un esercizio sugli integrali, mi trovo ingrande difficoltà con questo esercizio. C\'è qualcuno disposto ad aiutarmi o a darmi qualche consiglio?[addsig]
I limiti sono fatti per essere risolti.

publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 01 gen 1970, 01:33

ma davvero qualcuno ha preso sul serio il commento sulla banalità dell\'esercizio???

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info
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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-12-10 00:20, euler_25 wrote:
<BR>A proposito, giusto per capire, anche tu reputi che l\'uso che ho fatto dell\'integrale alla Lebesgue nella risoluzione d\'un altro ormai celebre problema di integrazione presentato sulle pagine di questo stesso forum sia eccessivo in relazione al livello medio dei suoi frequentatori (tesi sostenuta con intransigenza da quel caro ragazzo di Pazqo)?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>A dire la verità so a malapena cosa è un integrale!!!!
<BR>Capisco però che il mio infimo livello (peraltro nn del tutto immotivato: per ora nn vivo in un ambiente stimolante) nn mi permetta di esprimere commenti riguardo a ciò. Per me va benissimo che scriviate tutto ciò che volete. Per favore, in ogni caso, cercate di essere chiari e di nn dare troppe cose per scontate (senza sfociare in un eccesso di formalismo, però. Chiedo troppo??)........
<BR>Premesso che è stupido richiedere che scriviate solo cose conosciute alla maggior parte degli utenti, è anche vero che questo è il sito delle olimpiadi, ORGANIZZATO, per quanto ne sò, per studenti di liceo scientifico......
<BR>Cmq la presenza di persone competenti ed in gamba (questo è l\'importante, la forma poi è secondaria) può solo essere gradita...
<BR> Bye

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FrancescoVeneziano
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Messaggio da FrancescoVeneziano » 01 gen 1970, 01:33

Cominciamo col dimostrare che
<BR>
<BR>INT [0..pi/2] sin^(2j+1)(x) dx = (2j)!!/(2j+1)!!
<BR>
<BR>per far questo scriviamo sin^n(x) come sin^(n-1)(x) * sin(x) ed integriamo per parti ottenendo la ricorrenza
<BR>
<BR>INT sin^n(x) dx = -(1/n) * sin^(n-1)(x) * cos(x) + ((n-1)/n) * INT sin^(n-2)(x) dx
<BR>
<BR>Calcolando tra 0 e pi/2 abbiamo
<BR>INT [0..pi/2] sin^(n)(x) dx = ((n-1)/n) * INT [0..pi/2] sin^(n-2)(x) dx
<BR>
<BR>e quindi per induzione, sapendo che INT [0..pi/2] sin(x) dx = 1
<BR>otteniamo il risultato voluto.
<BR>
<BR>Ora osserviamo che sin(sin(x)) = SUM [j=0..+inf] sin^(2j+1)(x) * (-1)^j / (2j+1)!
<BR>e dal momento che la serie di Taylor per il seno di x converge uniformemente in [-1,1] possiamo integrare termine a termine tra 0 e pi/2 ed usare il risultato dimostrato per induzione, ottenendo che l\'integrale cercato è uguale a
<BR>
<BR>SUM [j=0..+inf] (2j)!! * (-1)^j / ((2j+1)! * (2j+1)!!)
<BR>
<BR>che si semplifica in
<BR>
<BR>SUM [j=0..+inf] (-1)^j / ((2j+1)!! * (2j+1)!!)
<BR>
<BR>che è il risultato voluto.
<BR>
<BR>Spero di non aver fatto errori nei segni o negli indici, ma non garantisco.
<BR>Ho cercato di dare l\'idea della soluzione senza perdermi nei passaggi algebrici o nei cavilli formali.
<BR>
<BR>Ora vorrei aggiungere due parole riguardo quanto detto da Info.
<BR>Questo forum è destinato principalmente a studenti del liceo ed ha come argomento le olimpiadi della matematica; dovrebbe servire come luogo di scambio di idee e problemi e dovrebbero comparirvi per lo più congruenze e triangoli, non integrali e campi di spezzamento.
<BR>Questo non perché l\'analisi sia un brutto argomento, ma perché la gran parte degli utenti del forum non è in grado di seguire una dimostrazione come quella sopra, e non certo per incapacità ma solo per ragioni anagrafiche (vorrei far notare che nessuno degli ultimi problemi affrontati sul forum è intrinsecamente \"difficile\", sono tipici problemi di livello universitario che uno studente del liceo non può risolvere ma che una volta padroneggiati gli strumenti giusti diventano alla portata di tutti).
<BR>Detto questo, sentitevi liberi di continuare a proporre i problemi che preferite e risolverli come credete (possibilmente senza insultare chi non capisce e scrivendo le soluzioni in modo chiaro e non rendendole illegibili partendo dagli assiomi di Peano o citando inutilmente teoremi dai nomi altisonanti).
<BR>
<BR>Ultima cosa: chi avesse risolto l\'integrale di jack NON si senta in dovere di scrivere una risposta del tipo \"Deposto il calamo col quale ho vergato sulle sudate carte la soluzione dell\'arcano integrale, mi accorgo solo ora con trepido sgomento che l\'enigma è già stato risolto ...\"
<BR>
<BR>
<BR>
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

Barozz
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Messaggio da Barozz » 01 gen 1970, 01:33

Era proprio quello che stavo per dire... anche se non ho trovato una dimostrazione precisa solo un groviglio confuso di idee. Conosco molto poco l\'argomento e ho dovuto leggermi alcuni capitoli delle serie numeriche e dell\'integrazione numerica.
<BR>Comunque anche se sono ignorante nel campo mi piace leggere problemi di un certo livello. dato che io frequento il 5° anno di un istituto tecnico non ho la possibilità di studiare approfonditamente la matematica a scuola e quindi devo farlo con altri mezzi.[addsig]
I limiti sono fatti per essere risolti.

Kalidor
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Messaggio da Kalidor » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-12-10 17:06, FrancescoVeneziano wrote:
<BR>Ora vorrei aggiungere due parole riguardo quanto detto da Info.
<BR>Questo forum è destinato principalmente a studenti del liceo ed ha come argomento le olimpiadi della matematica; dovrebbe servire come luogo di scambio di idee e problemi e dovrebbero comparirvi per lo più congruenze e triangoli, non integrali e campi di spezzamento.
<BR>Questo non perché l\'analisi sia un brutto argomento, ma perché la gran parte degli utenti del forum non è in grado di seguire una dimostrazione come quella sopra, e non certo per incapacità ma solo per ragioni anagrafiche (vorrei far notare che nessuno degli ultimi problemi affrontati sul forum è intrinsecamente \"difficile\", sono tipici problemi di livello universitario che uno studente del liceo non può risolvere ma che una volta padroneggiati gli strumenti giusti diventano alla portata di tutti).
<BR>Detto questo, sentitevi liberi di continuare a proporre i problemi che preferite e risolverli come credete (possibilmente senza insultare chi non capisce e scrivendo le soluzioni in modo chiaro e non rendendole illegibili partendo dagli assiomi di Peano o citando inutilmente teoremi dai nomi altisonanti).
<BR>
<BR>Ultima cosa: chi avesse risolto l\'integrale di jack NON si senta in dovere di scrivere una risposta del tipo \"Deposto il calamo col quale ho vergato sulle sudate carte la soluzione dell\'arcano integrale, mi accorgo solo ora con trepido sgomento che l\'enigma è già stato risolto ...\"
<BR>
<BR>
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>UP

mario86x
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Messaggio da mario86x » 01 gen 1970, 01:33

apposto!

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

In primis, le consuete precisazioni sulla notazione adottata in questo articolo:
<BR>\"int_{a}^{b} m(x) dx\" si legge \"integrale di m(#) definito tra a e b\", nell\'assunzione formale che la scelta degli estremi di integrazione nonché della funzione integranda rendano ben posta la definizione dell\'integrale; \"€\" è il simbolo di appartenenza insiemistica; \"!=\" si legge \"diverso da\"; il carattere \"\\\" interposto fra due insiemi A e B denota l\'insieme di tutti gli elementi di A che non appartengono a B (insieme differenza); la scrittura
<BR>\"[n(x)]_{a}^{b}\" si legge \"n(#) incrementata fra a e b\", ove [a,b] è un intervallo reale chiuso e limitato ed m(#) una funzione ivi definita; \"infty\"
<BR>si legge \"infinito\"; \"R\" è l\'insieme dei reali, \"N\" quello dei numeri naturali; \"lim_{z --> t}\" si legge, infine, \"limite per z che tende a t\". Ogni altro simbolo presente dovrebbe essere autoesplicativo, ma quand\'anche così non fosse... basta chiedere e sarà detto!
<BR>
<BR>------------------------------------------------------------------------------
<BR>
<BR>Premettiamo alla soluzione i seguenti risultati (NOTA: si assume implicitamente che tutti gli integrali definiti coinvolti nel seguito di questo intervento si intendono inquadrati nei limiti della teoria classica dell\'inte-grazione secondo Riemann... in altri termini, in questo caso non è necessario scomodare Lebesgue per assicurarci il massimo rigore possibile):
<BR>
<BR>Lemma 1: comunque scelto un n€N, sia detta f_n(#) la funzione reale di variabile reale definita ponendo, per ogni x€R: f_n(x) := [sin(x)]^{2n + 1}. Daremo per scontato il fatto che f_{n}(x) è una funzione continua in ogni punto di R e di conseguenza integrabile secondo Riemann in ogni intervallo chiuso e limitato del tipo [a, b], con a <= b e a,b€R. Di conseguenza, per ogni assegnato n€N, ha senso porre
<BR>
<BR>I_n := int_{0}^{pi/2} f_n(x) dx = int_{0}^{pi/2} [sin(x)]^{2n + 1} dx
<BR>
<BR>Allora: I_n = (2n)!!/(2n + 1)!!, ove k!! denota l\'emifattoriale di k, per tutti i k€N (incidentalemente, ricordo che k!! è pari al prodotto di tutti e soli gli interi positivi minori o uguali a k che hanno altresì la medesima parità di k, quando sia k€N\\{0}; per definizione, si assume inoltre 0!! := 1).
<BR>
<BR>DIM.: innanzitutto, osserviamo che, per ogni n€N:
<BR>
<BR>I_{n + 1} := int_{0}^{pi/2} [sin(x)]^{2n + 3} =
<BR>
<BR>= int_{0}^{pi/2} {[sin(x)]^{2n + 1}*[sin(x)]^2} =
<BR>
<BR>= [Dall\'identità fondamentale della trigonometria] =
<BR>
<BR>= int_{0}^{pi/2} {[sin(x)]^{2n + 1}*[1 - [cos(x)]^2]} =
<BR>
<BR>= [Per la linearità dell\'integrale di Riemann] =
<BR>
<BR>= int_{0}^{pi/2} [sin(x)]^{2n + 1} dx +
<BR>
<BR>- int_{0}^{pi/2} {[sin(x)]^{2n + 1}*[cos(x)]^2} dx =
<BR>
<BR>=: I_n - int_{0}^{pi/2} {[sin(x)]^{2n + 1}*cos(x)*cos(x)} dx (@)
<BR>
<BR>Calcoliamo a questo punto per parti il secondo integrale che figura all\'ultimo membro della relazione così ottenuta, assumendo per fattore differenziale la funzione h_{n + 1}(x) := [sin(x)]^{2n + 1}*cos(x) e per fattore finito la funzione G(x) := cos(x), con x€R (osserviamo per inciso che h_{n + 1}(#) e G(#) sono ambedue funzioni continue del proprio argomento, cosicché la scelta operata è assolutamente lecita). Dalle regole elementari di integrazione e derivazione, si ha (per ogni x€(0,pi/2)) che:
<BR>g(x) := dG(x)/dx = - sin(x), e inoltre (quello che segue è un integrale indefinito ---> una famiglia di curve a un parametro):
<BR>
<BR>H(x, c) := int F_{n + 1}(x) dx := int [sin(x)]^{2n + 1}*cos(x) dx =
<BR>
<BR>= int [sin(x)]^{2n + 1} d(sin(x)) = [[sin(x)]^{2n + 2}]/(2n + 2) + c
<BR>
<BR>ove c€R è un\'arbitraria costante additiva. Ne segue che:
<BR>
<BR>int_{0}^{pi/2} {[sin(x)]^{2n + 1}*cos(x)*cos(x)} dx =:
<BR>
<BR>= int_{0}^{pi/2} h_{n + 1}(x)*G(x) dx =
<BR>
<BR>(integrando per parti e applicando il teorema fondamentale del calcolo)
<BR>
<BR>=[H_{n + 1}(x,0)G(x)]_{0}^{pi/2} - int_{0}^{pi/2}H_{n + 1}(x,0)g(x) dx=
<BR>
<BR>= [{[sin(x)]^{2n + 2}]/(2n + 2)} * cos(x)]_{0}^{pi/2} +
<BR>
<BR>- int_{0}^{pi/2} {{[[sin(x)]^{2n + 2}]/(2n + 2)}*(-sin(x))} dx =
<BR>
<BR>= 0 + [1/(2n + 2)]*int_{0}^{pi/2} [sin(x)]^{2n + 3} dx =
<BR>
<BR>:= [1/(2n + 2)]*I_{n + 1}
<BR>
<BR>donde, riportando il risultato appena ottenuta nella (@), seguita che:
<BR>
<BR>I_{n + 1} = I_n - [1/(2n + 2)]*I_{n + 1} ===>
<BR>
<BR>===> [(2n + 3)/(2n + 2)]*I_{n + 1} = I_n ===>
<BR>
<BR>===> I_{n + 1} = [(2n + 2)/(2n + 3)]*I_n (&)
<BR>
<BR>Cio\' stabilito, procediamo oltre nella dimostrazione del lemma. Se n = 0:
<BR>
<BR>I_0 := int_{0}^{pi/2} sin(x) = [- cos(x)]_{0}^{pi/2}
<BR>
<BR> = 1 = (2*0)!!/(2*0 + 1)!!
<BR>
<BR>cosicché la tesi risulta banalmente soddisfatta allorché n = 0. D\'altro canto,
<BR>ammettendone la validità in corrispondenza di un generico n€N e sfruttando l\'uguaglianza espressa dalla (&), si trova che:
<BR>
<BR>I_{n + 1} = [(2n + 2)/(2n + 3)]*I_n =
<BR>
<BR>= [(2n + 2)/(2n + 3)]*[(2n)!!/(2n + 1)!!] = (2n + 2)!!/(2n + 3)!! =
<BR>
<BR>= [2(n + 2)]!!/[2(n + 1) + 1]!!
<BR>
<BR>onde infine poter stabilire ricorsivamente la generale consistenza dell\'asserto, q.e.d.
<BR>
<BR>------------------------------------------------------------------------------
<BR>
<BR>Sia f(x) := sin(x), per ogni x€R. Come qui supporemo sia noto, f(#)
<BR>è una funzione di classe C^{infty}(R) (leggi: \"C infinito in R\", il che significa che f(#) è continua e derivabile con continuità infinite volte in ogni punto dell\'insieme dei reali). Detta allora f^(n)(x) la derivata n-esima della f(#) nel punto generico x€R (ricordo che, per definizione, si assume formalmente
<BR>f^(0)(#) = f(#)), dimostriamo il seguente risultato elementare:
<BR>
<BR>Lemma 2: sia f(x) := sin(x), per ogni x€R. Allora, per ogni n€N ed ogni x€R: i) f^(2n)(x) = (-1)^n * sin(x) e f^(2n + 1)(x) = (-1)^n * cos(x);
<BR>ii) f^(2n)(0) = 0 e f^(2n + 1)(0) = (-1)^n;
<BR>iii) 0 <= |f^(n)(x)| <= 1.
<BR>
<BR>DIM.: i) ragioniamo per induzione. Sia n = 0; allora, comunque scelto un x€R:
<BR>
<BR>- f^(2n)(x) = f^(0)(x) := f(x) := sin(x) = (-1)^0 * sin(x);
<BR>
<BR>- f^(2n + 1)(x) = f^(1)(x) := df(x)/dx = d[sin(x)]/dx =
<BR>
<BR> = cos(x) = (-1)^0 * cos(x)
<BR>
<BR>cosicché la tesi è banalmente verificata allorché n = 0. D\'altro canto, ammettendone la validità in corrispondenza di un generico n€N, si trova che, qualunque sia x€R:
<BR>
<BR>f^(2(n + 1))(x) = f^(2n + 2)(x) := d[f^(2n + 1)(x)]/dx =
<BR>
<BR>= [Dall\'ipotesi di induzione] = d[(-1)^n * cos(x)]/dx =
<BR>
<BR>= [Per la linearità della derivata] = (-1)^n * d[cos(x)]/dx =
<BR>
<BR>= (-1)^n * [- sin(x)] = (-1)^{n + 1}* sin(x)
<BR>
<BR>e di conseguenza:
<BR>
<BR>f^(2(n + 1) + 1)(x) := d[f^(2(n + 1))(x)]/dx = d[(-1)^{n + 1}* sin(x)]/dx =
<BR>
<BR>= [Ancora per linearità] = (-1)^{n + 1}*d[sin(x)]/dx =
<BR>
<BR>= (-1)^{n + 1}*cos(x)
<BR>
<BR>onde infine poter stabilire ricorsivamente la generale consistenza dell\'asserto, q.e.d.
<BR>ii) A questo punto, come banale conseguenza della (i) di questo stesso lemma:
<BR>
<BR>f^(2n)(0) = (-1)^n * sin(0) = 0; f^(2n + 1)(0) =(-1)^n * cos(0) = (-1)^n
<BR>
<BR>che è appunto la tesi voluta, q.e.d.
<BR>
<BR>iii) La disuguaglianza di sinistra è ovvia, poiché discende direttamente dalla
<BR>definizione del valore assoluto di un numero reale. Si tratta perciò di dimostrare la sola disuglianza di destra. Ora, in base alla (i) di questo medesimo lemma, comunque scelti un n€N e un x€R, risulta:
<BR>
<BR>- per n = 2m pari: |f^(n/2)(x)| = |(-1)^{n/2} * sin(x)| = |sin(x)| <= 1;
<BR>
<BR>- per n dispari: |f^((n-1)/2)(x)| = |(-1)^{(n-1)/2} * cos(x)| = |cos(x)| <= 1
<BR>
<BR>e quindi (indifferentemente): |f^(n)(x)| <= 1, q.e.d.
<BR>
<BR>------------------------------------------------------------------------------
<BR>
<BR>Ora, essendo f(x) := sin(x), per ogni x€R, consideriamo (in questa fase, ancora, null\'altro che una pura espressione formale) la seguente serie di potenze: sum_{n = 0}^{+infty} [f^(n)(0)*x^n]/n!, ovvero (sulla base dei risultati espressi dal lemma (2i)):
<BR>
<BR> sum_{n = 0}^{+ infty} [(-1)^n * x^{2n + 1}]/(2n + 1)! (con x€R)
<BR>
<BR>Tal serie (ribadisco, per il momento significativa da un punto di vista puramente formale!) è nota in letteratura Matematica col nome di \"serie di Taylor-MacLaurin associata (o relativa) ad f(#)\"; la qual cosa si esprime altresì scrivendo (per semplicità notazionale) che:
<BR>
<BR>sin(x) ~ sum_{n = 0}^{+ infty} [(-1)^n * x^{2n + 1}]/(2n + 1)! (con x€R)
<BR>
<BR>Intendiamo qui di seguito dimostare che in effetti la serie di Taylor-MacLaurin converge puntualmente per ogni x€R alla funzione somma f(x) = sin(x); o equivalentemente, come s\'usa dire, vogliamo provare che \"f(#) è sviluppabile in serie di Taylor-MacLaurin su R\", la qual cosa si esprime matematicamente scrivendo che:
<BR>
<BR>sin(x) = sum_{n = 0}^{+ infty} [(-1)^n * x^{2n + 1}]/(2n + 1)!, per x€R
<BR>
<BR>-----------------------------------------------------------------------------
<BR>
<BR>Ciò detto, iniziamo dimostrando la seguente:
<BR>
<BR>Proposizione 1: la serie di Taylor-MacLaurin (d\'ora innanzi, per brevità: STM) associata alla funzione f(x) := sin(x), con x€R, è convergente in tutto R.
<BR>
<BR>DIM.:si tratta semplicemente di verificare che, fissato genericamente un x_0€R, la serie numerica:
<BR>
<BR> sum_{n = 0}^{+ infty} [(-1)^n * (x_0)^{2n + 1}]/(2n + 1)! (§)
<BR>
<BR>è convergente. Ora, se x_0 = 0, la tesi è banalmente soddisfatta, poiché in tal caso la serie definita dalla (§) assume la forma: 0/1! + 0/3! + ... +
<BR>+ 0/(2n + 1)! + ..., e come tale è banalmente convergente allo zero. Sia dunque x0 != 0. In tal caso, posto a_n(x_0) :=
<BR>= [(-1)^n * (x_0)^{2n + 1}]/(2n + 1)!, per ogni n€N, si ha che (NOTA: la notazione |#| indica il valore assoluto della quantità # interposta fra le due stanghette verticali):
<BR>
<BR>lim_{n --> +infty} |a_{n + 1}(x_0)|/|a_n(x_0)| =
<BR>
<BR>:= lim_{n --> +infty} [|x_0|^{2n + 3}/(2n + 3)!]/
<BR>
<BR>/[|x_0|^{2n + 1}/(2n + 1)!] =
<BR>
<BR>= lim_{n --> +infty} [(x_0)^2]/[(2n + 2)(2n + 3)] =
<BR>
<BR>= [(x_0)^2] * lim_{n --> +infty} 1/[(2n + 2)(2n + 3)] = [(x_0)^2] * 0 = 0
<BR>
<BR>cosicché (in base al criterio del rapporto) la serie (§) è convergente! All\'arbitrarietà dell\'x_0€R\\{0} cui le precedenti argomentazioni sono state riferite, riassumendo il tutto, fa dunque seguito la tesi, q.e.d.
<BR>
<BR>------------------------------------------------------------------------------
<BR>
<BR>Stante il risultato espresso dalla precedente proposizione 1, ha senso dunque
<BR>interrogarsi circa la possibilità di esprimere elementarmente la somma, in tutto R, della STM associata alla funzione f(x) := sin(x), con x€R. A questo proposito, mi limito innanzitutto a riportare (senza darne tuttavia dimostrazione!) il seguente:
<BR>
<BR>Teorema 1: sia f(#) una funzione di classe C^{infty} in R e tale che, comunque fissato un r€R, con r > 0, la successione delle derivate progressive della f(#) sia definitivamente equilimitata in (-r,r), ovvero esista una costante M(r) dipendente unicamente da r e da nessun atro fra gli parametri coinvolti, per cui si abbia definitivamente, ossia per ogni indice n maggiore o uguale di un opportuno n_0€N:
<BR>
<BR> sup_{x€(-r,r)} |f^(n)(x)| <= [M(r)*n!]/r^n
<BR>
<BR>Allora, f(#) è sviluppabile in serie di Taylor-MacLaurin in tutto R, ovvero è somma della STM ad essa stessa associata.
<BR>
<BR>DIM.: omessa, poiché presuppone tutto uno studio alle spalle che in questa fase non è propriamente il caso di approfondire! Magari in un\'altra occasione, altrimenti qui... famo giorno!!!
<BR>
<BR>-----------------------------------------------------------------------------
<BR>
<BR>Proposizione 2: la funzione f(x) := sin(x), con x€R, è sviluppabile in serie di
<BR>Taylor-MacLaurin sull\'interezza del proprio dominio.
<BR>
<BR>DIM.: è noto che, per ogni r reale e positivo (ma in verità, anche per r reale e negativo!):
<BR>
<BR>lim_{n --> +infty} n!/r^n = + infty
<BR>
<BR>cosicché esiste secondo definizione un n_0€N tale che, per ogni n > n_0: n!/r^n > 1 >= sup_{x€(-r,r)} |f^(n)(x)| (vedi in proposito la condizione (iii) del lemma (2)). Onde dedurne, secondo definizione - posto di assumere
<BR>M(r) := 1, che la successione delle derivate progressive della f(#) è definitivamente equilimitata in (-r,r), cosicché - stanti il teorema (1) e l\'arbitrarietà di scelta dell\'r€R\\{0} cui le precedenti argomentazioni sono state riferite - f(#) risulta sviluppabile in serie di Taylor-MacLaurin sull\'intero asse reale, q.e.d.
<BR>
<BR>------------------------------------------------------------------------------
<BR>
<BR>Ciò stabilito, mostriamo per finire il seguente:
<BR>
<BR>Lemma 3: la serie di Taylor-MacLaurin associata alla funzione f(x) := sin(x), per x€R; ovverosia la serie di funzioni:
<BR>
<BR>sum_{n = 0}^{+ infty} [(-1)^n * x^{2n + 1}]/(2n + 1)! (con x€R) (£)
<BR>
<BR>(la quale è puntualmente convergente lungo l\'intero asse reale per conseguenza della proposizone (1)) è integrabile termine a termine in ogni compatto di R della forma [0,c], con c€R.
<BR>
<BR>DIM.: coraggio, non avvilitevi! Ci siamo quasi... Dunque, per ogni x€[0,c]:
<BR>
<BR>|[(-1)^n * x^{2n + 1}]/(2n + 1)!| = (|x|^{2n + 1})/(2n + 1)! <=
<BR>
<BR><= (|c|^{2n + 1})/(2n + 1)!
<BR>
<BR>e poiché la serie numerica sum_{n = 0}^{+infty} (|c|^{2n + 1})/(2n + 1)! è convergente, coerentemente con la succitata proposizione (1), se ne deduce (secondo definizione) che la STM associata ad f(#) è totalmente convergente in [0,c], e quindi ivi altresì uniformemente convergente (in accordo al criterio di Weierstrass). Dunque, per il teorema di integrabilità sulle serie di funzioni, ne segue che la serie definita dalla (£) è integrabile termine a termine sull\'intevallo [0,c]; da cui la tesi, a patto di considerare l\'arbitrarietà di scelta del reale positivo c cui le precedenti argomentazioni sono state riferite, q.e.d.
<BR>
<BR>------------------------------------------------------------------------------
<BR>
<BR>E veniamo finalmente al problema di Jack! Sulla base della proposizione (2), per ogni x€R, e quindi in particolare quando si ponga x = x(t) := sin(t), con t€R, la funzione f(x) := sin(x), o anche la funzione F(t) := f(sin(t)) = sin(sin(t)), è sviluppabile in R in serie di Taylor-MacLaurin e inoltre la serie del suo sviluppo è integrabile termine a termine in ogni compatto di R della forma [0,c], in accordo al lemma (3). Supposto allora x = x(t) := sin(t) e c = pi/2, se ne deduce che:
<BR>
<BR>int_{0}^{pi/2} sin(sin(t)) dt =: int_{0}^{pi/2} sin(x(t)) dt =
<BR>
<BR>= [Sulla base dello sviluppo in serie precedentemente ottenuto per f(#)] =
<BR>
<BR>= int_{0}^{pi/2}[sum_{n = 0}^{+infty} [(-1)^n * x(t)^{2n + 1}]/
<BR>
<BR>/(2n + 1)!] dt = [Integrando termine a termine la serie ad integranda] =
<BR>
<BR>= sum_{n = 0}^{+infty} {[(-1)^n/(2n + 1)!] *
<BR>
<BR>* int_{0}^{pi/2} x(t)^{2n + 1} dt} =
<BR>
<BR>:= sum_{n = 0}^{+infty} {[(-1)^n/(2n + 1)!] *
<BR>
<BR>* int_{0}^{pi/2} sin(t)^{2n + 1}} dt = [Per il lemma (1)] =
<BR>
<BR>= sum_{n = 0}^{+infty} {[(-1)^n/(2n + 1)!] * [(2n)!!/(2n + 1)!!]} =
<BR>
<BR>= sum_{n = 0}^{+infty}{[(-1)^n/((2n)!!*(2n + 1)!!)] * [(2n)!!/(2n + 1)!!]} =
<BR>
<BR>= sum_{n = 0}^{+infty} {(-1)^n/[(2n + 1)!!]^2}
<BR>
<BR>ovvero (riassumendo):
<BR>
<BR>int_{0}^{pi/2} sin(sin(t)) dt = sum_{n = 0}^{+infty}
<BR>
<BR>{(-1)^n/[(2n + 1)!!]^2}
<BR>
<BR>a dimostrazione di quanto richiesto dalla traccia del quesito! Va bene,
<BR>penso proprio di non dover aggiungere altro... a parte, ovviamente, un affettuosissimo saluto a tutti voi! Ciao e... al prossimo integrale!
<BR>
<BR>P.S.: Francesco, mi scuserai se, anche dopo aver letto il tuo articolo, ho scelto comunque di pubblicare la mia soluzione, che (in termini di idee) ricalca pedissequamente l\'altra da te suggerita, ma (a differenza di quella) ha forse il pregio di indicare con maggiore dettaglio (un discorso ormai trito e ritrito, lo so, ma evidentemente poco assimilato!) alcuni aspetti che, vista la particolarità del problema da te peraltro sottolineata e il fatto che la massima parte degli studenti che frequentano questo forum non hanno ancora concluso il ciclo di studi liceale, non possono a maggior ragione essere omessi! Né d\'altro canto puoi pretendere che si accetti un punto di vista ottundente e preclusivo, se non persino ottuso e scelerato, come il TUO (non ti nego) mi par d\'essere là dove affermi che su questo forum ci si dovrebbe limitare a risolvere e proporre esercizi di data specie (geometrici, di teoria dei numeri, etc...), e non altri, possibilmente; e in ogni caso esercizi che abbiano una stretta attinenza con i temi delle Olimpiadi! Giusto, giustissimo, pienamente condivisibile! Ma tu pensi davvero che la presenza mia su questo forum, come d\'altri altresì e d\'altra parte, sia veramente dettata dal desiderio di \"sciorinare\" conoscenza? Se c\'è qualcosa ch\'io vorrei sopra tutto saper regalare (e bada bene, non dico insegnare, poi che d\'insegnarlo non è dato!) a questi ragazzi, che tutti bene o male stimo oltre misura, è l\'amore e la passione per la Matematica di cui son certo (permettimi - te ne prego -questo accesso di vanità) trabocca gioioso questo mio vivido cuore!
<BR>
<BR>P.P.S.: complimenti, in ogni caso, per la qualità delle idee a fondamento della tua soluzione!
<BR>
<BR>P.P.P.S: se ti starai ripetendo che, in effetti, i complimenti che ti ho rivolto sono un apprezzamento indiretto alle mie stesse idee, beh non ti nego che nel rivolgerti la mia stima... ci ho pure pensato un ciccinino! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
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J4Ck202
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Messaggio da J4Ck202 » 01 gen 1970, 01:33

Devi aver davvero MOLTO tempo da buttare.
<BR>Ti invidio.

euler_25
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Località: mooolto vicino...

Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Non c\'è nulla da invidiare! Comunque, ti assicuro, che il mio tempo è misurato grano dopo grano e ogni istante dedicato alla Matematica è tempo prezioso rubato al mio \"lavoro\": come qualcuno aveva già ipotizzato, giudicando (così mi sento dire) dalla ridicola forma con cui son uso confezionare le mie soluzioni e/o dimostrazioni, studio per diventare ingegnere, ancorché nelle mie vene scorra solo il sacro fuoco della Matematica! E siccome andare avanti nel mio ramo, più che altrove, non è proprio quel che si direbbe una passeggiata sul lungomare di Posillipo, ti posso assicurare che di tempo da buttar via ne ho davvero poco, anche perché ho un sacco di ricerche del tutto personali che sto cercando di portare avanti, nella speranza di poter pubblicare qualcosa di interessante prima della fine di quest\'anno accademico! E poi, mi permetti, ma ho anch\'io una vita sociale da mantenere... forse meno frenetica di altri, ma comunque attiva e piena di vicende e persone positive! Gioco a pallavolo nella maschile del mio paesino di provincia, impartisco lezioni private di Matematica a liceali e universitari per mantenermi, nonostante ch\'io sia un regolar mantenuto! Quando capita, e capita sovente, mi distruggo a giocare agli scacchi con il mio amico Pietro e la sua gang di fanatici Linuxiani! Ogni tanto (ma solo raramente!) mi accompagno a qualche tipa, giusto per assicurarmi che lì sotto sia tutto a posto! E niente, tutto qui, mi sforzo di essere all\'altezza di me stesso, fiducioso di potervi riuscire... se così poi non dovessere essere, beh, c\'è sempre il cinema porno come alternativa intelligente a cui potersi dedicare, non credi?! Ciao, Valla! Se passi di qui, sappi che la mia era soltanto una battuta! Amore... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

ASSIOMA 1: buon intenditor <=> poche parole.
<BR>
<BR>DEFINIZIONE 1: euler_25=~ (buon intenditor)
<BR>
<BR>TEOREMA 1: la mia risposta sara\' lunga.
<BR>DIM: euler_25=~ (buon intenditor) => euler_25 <=> ~(poche parole) <=> tante parole <=> risposta lunga. CVD TEOREMA 1
<BR>
<BR>**Mi si passino per buone e date le seguenti regole di calcolo logico: ~poche = tante e (tante parole)=(risposta lunga).**
<BR>
<BR>ASSIOMA 2: quel che ha scritto francesco e\' cosi\' chiaro e vero che anche uno stupido lo capirebbe e lo approverebbe.
<BR>
<BR>ASSIOMA 3: euler_25 approva cio\' che dice X <=> X e\' euler_25.
<BR>
<BR>TEOREMA 2: euler_25 e\' piu\' che stupido.
<BR>DIM: Mi si conceda prima di indugiare nel dimostrare un lemma:
<BR>_LEMMA 1: euler_25 non ha capito e non ha approvato.
<BR>_DIM: euler_25 = ~(buon intenditor)=(cattivo intenditor) <=> euler_25 non _capisce. francesco != euler_25 <=> euler_25 non approva cio\' che dice _francesco. CVD LEMMA
<BR>Dal lemma segue euler_25 e\' piu\' che stupido, in virtu\' dell\'assioma 2.
<BR>CVD TEOREMA 2.
<BR>
<BR>...
<BR>
<BR>Devo andare avanti?? Potrei anche fare la trattazione assiomatica del forum e farne discendere i principi da cinque postulati, qualche assioma e alcune nozioni comuni, per poi distinguere tra forum assoluto, forum euclideo e forum ellittici e iperbolici. (ma anche no...)
<BR>
<BR>Quindi, spero che il messaggio pervenga ugualmente, anche se termino qui la mia trattazione rigorosa dell\'argomento e ne intraprendo una piu\' discorsiva.
<BR>
<BR>Quello che francesco (almeno cosi\' ho capito io...se ho sbagliato correggimi, F!!) intendeva riferendosi al livello e al tipo di argomenti che vanno trattati in questo forum e\' che lo scopo del sito sono le Olimpiadi di Matematica, quindi il suo argomento principale dovrebbe essere la matematica delle olimpiadi (non e\' un gioco di parole) nelle categorie di gobbiniana memoria : Aritmetica, Algebra, Geometria, Combinatoria.
<BR>Inoltre il riferimento ai \"ragazzi di liceo\" non va inteso come un invito ad essere piu\' pedanti e precisi nelle dimostrazioni di argomenti piu\' avanzati, ma anzi di sorvolare proprio su quella parte piu\' rigorosa e meno comprensibile o apprezzabile quando si abbia la preparazione delle scuole superiori. E\' inutile tutto quel pesante formalismo che hai usato per dimostrare l\'uguaglianza che ti ha proposto Jack...se c\'e\' qualcuno delle superiori che ha saputo districarcisi l\'ha fatto certo senza conoscere la dimostrazioni e la giustificazione di ogni passaggio logico e di ogni teorema da lui usato, ma \"giocandoci\", usando strumenti potenti comprendendone l\'uso ma non l\'origine. E questo e\' tutt\'altro che sbagliato, fino ad un certo punto del curriculum di studi...ed anzi, per molti rimarra\' la prassi, esclusi quei pochi che faranno matematica o quelli in numero ancor piu\' ristretto che in altre facolta\' scientifiche studieranno queste discipline e non dimenticheranno la dimostrazione di un teorema appena non serve piu\' per l\'esame, conservandone solo l\'eventuale aspetto operativo.
<BR>Ora, chi ha orecchi per intendere, intenda. Sinceramente, questo mi sembra il modo piu\' chiaro di dirti come stanno le cose...se vuoi capire bene, altrimenti va\' pure avanti a fare il tuo verso, alla peggio faremo un po\' di fatica per ignorarti.

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