Integrazione

J4Ck202 · Messaggio da **J4Ck202** » 01 gen 1970, 01:33

Non puoi utilizzare metodi simil-geometrici (rettangoli trapezi
 parabole iperboli) per dare una stima di quel mostro, dato che
 per ogni x nella forma pi/2+k*p hai una singolarità. Ti sconsiglio
 anche Taylor, per la stessa ragione (vedi anche: \"il dramma dei
 coefficienti che non convergono\")

Barozz · Messaggio da **Barozz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-05 00:03, J4Ck202 wrote:
 Non puoi utilizzare metodi simil-geometrici (rettangoli trapezi
 parabole iperboli) per dare una stima di quel mostro, dato che
 per ogni x nella forma pi/2+k*p hai una singolarità. Ti sconsiglio
 anche Taylor, per la stessa ragione (vedi anche: \"il dramma dei
 coefficienti che non convergono\")
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 cos\'è sto dramma??
 Ma coc taylor mi consigli di fare tutta la funzione o solo il cos^2?[addsig]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Immagino che il testo da cui hai tratto l\'esercizio da te proposto suggerisse di attribuire un qualche boundary all\'estremo superiore di integrazione, sbaglio? Diversamente, è necessario comunque imporre una limitazione di sorta alla libera variabilità di anzidetto parametro, poiché altrimenti la definizione dell\'integrale non risulterebbe garantita e il problema (di conseguenza) verrebbe ad essere mal posto! Aspetto impaziente tue osservazioni in proposito... a presto risentirci, dunque! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Ho capito, mi tocca essere più esplicito, dal momento che NESSUNO di voi, e
 sottolineo NESSUNO (è avvilente, lo so, ma tocca prenderne atto...), ha saputo cogliere il suggerimento celato fra le righe del mio ultimo post su questo argomento... speravo se non altro che lo sforzo cui mi sono obbligato -in nome della nobile intenzione ch\'è propria di chi sbaglia, pur cosciente
 dell\'errore, con il solo intento di mostrare all\'altro il sentiero, ahimé!
 tortuoso, con cui la verità suol dipanarsi per le vie di questo mondo -
 affermando che \"...l\'assenza di una qualche limitazione di sorta sulla libera
 variabilità dell\'estremo superiore...\" dell\'integrale in questione \"...rende
 il problema in origine mal posto...\" avrebbe aiutato qualcuno di voi... a
 capire... ma che?! Solo illusione, la mia! Siete tutti una massa di zucconi! Anzi, siete ridicoli: immaginarvi affannati sul tastierino dei vostri
 computers o delle vostre super-calcolatrici tascabili nel tentativo di farvi breccia fra le difese di un innocuo problemino, non posso nascondervelo, è quanto di più patetico mi riesca di figurarmi! E voi sareste i Matematici di origine controllata che han già reso o dovranno rendere orgogliosa la nostra patria (questo concetto così virtuoso!) in occasione delle Olimpiadi Internazionali? Al più sarete dei matematici di buon livello! La capite la differenza, o è il caso di lanciare un software adeguato alla circostanza che vi plotti un qualche diagrammino per meglio schiarirvi le idee? Ah, quasi dimenticavo... giacché sono in vena di invettive... mi pare che fra voi si celino giusto un paio di sapientoni che si divertono, come dire, ad analizzare sotto il profilo logico-grammaticale-propositivo i post pubblicati su questo forum... ci siete? beh, se ci siete, sappiate allora che il mio disappunto è rivolto in special modo a voi! Sì, proprio a voi, con quei nomignoli così prestigiosi, che riportano alla mente echi di glorie smarrite, di un\'epoca ormai lontana in cui i Matematici non disponevano mica di tutti questi marchingegni strabilianti che la tecnica e la scienza di questo nostro tempo sciagurato ha affidato a queste nostre improvide mani! E non commettete l\'errore di confondere il mio disappunto con il progetto nostalgico e conservatore del solito personaggio (e ribadisco personaggio, perché sul web questo siam tutti, e null\'altro!) in preda a un delirio di onnipotenza che odia il progresso sol perché non ne comprende l\'extrema ratio: io non temo il futuro e i miracoli che la scienza e la tecnica dell\'uomo vi sapranno concepire; al contrario, sono terrorizzato all\'idea che gli uomini, anziché dominare il progresso, ne verranno soggiogati! E molti di voi dimostrano in effetti che questo dramma si sta già consumando! Quindi, riassumendo: costringetevi a ragionare e a sudare, prima di appellarvi a una macchina per risolvere i vostri problemi...
 
 P.S.: siccome vi stimo tutti per persone intelligenti e adeguatamente colte, nonostante le copiose \"cattiverie\" di cui ho disseminato il mio articolo, cercate di non essermi prevenuti e di carpire l\'essenza del mio insano sproloquio! Allora, forse, riusciremo persino a instaurare un rapporto costruttivo, in un cammino di crescita utile (non ne ho dubbi!) a voi come di certo a me! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Bene, dopo la lunga digressione di carattere filosofico-morale con cui ho
 inteso deliziare i palati più fini nel mio ultimo post su questo topic, veniamo finalmente al cuore del nostro bel problemuccio: con il solo intento di semplificarci l\'opera (visto il seguito, chiarisco subito che non si tratta affatto di una battuta, e i più accorti di voi di certo non mancheranno a capirne il perché... in quanto agli altri, sarei pure disposto ad aprire in proposito una nuova sessione del forum... fatemi soltanto sapere!), diciamo f*(_) la funzione a valori in R* ottenuta definendo, per ogni x€R, con x >= 1:
 
 - f*(x) := + infty se x = 1 oppure x = pi/2 + k*pi (k € N)
 
 - f*(x) := 1/[x*ln(x)*cos^2(x)] altrimenti
 
 Nota: giusto una precisazione circa la notazione: in questo documento,
 \"infty\" si legge \"infinito\"; R* è l\'insieme R dei reali unito ai suoi due punti all\'infinito -infty e +infty; \"!=\" si legge \"diverso da\"; \">=\" e \"<=\" si leggono, rispettivamente, \"maggiore o uguale di\" e \"minore o uguale di\"; N è
 l\'insieme dei numeri naturali; \"€\" è il simbolo di appartenenza insiemistica,
 salvo non sia diversamente specificato.
 
 Osserviamo innanzitutto che la definizione di f*(_) è ben posta: difatti, se
 da una parte, per x != 1 e x != pi/2 + k*pi (k € N), l\'espressione:
 1/[x*ln(x)*cos^2(x)] non perde mai di significato matematico; dall\'altra,
 poiché f*(_) è trattata come funzione a valori in R*, è assolutamente lecito
 assumere pari a + infty il valore che essa assume in corrispondenza dei punti
 \"singolari\" x = 1 ed x = pi/2 + k*pi (k € N).
 Sia dunque X := {x€R: x > 1 e x != pi/2 + k*pi, con k€N}. Evidentemente, per ogni x€X: f*(x) > 0, onde dedurne che f*(_) è una funzione ovunque positiva sull\'intervallo [1,+infty[. Ne segue che, nell\'ambito della teoria generale della misura secondo Lebesgue, la funzione f(_) a valori reali, restrizione di f*(_) all\'insieme X appena qui sopra introdotto, è sommabile - stante il teorema di monotonia per l\'integrale di Lebesgue - in ogni intervallo del tipo [1,t], con t > 1, e di conseguenza risulta correttamente definita in R*, per ogni t >= 1, l\'ulteriore funzione di variabile reale F*(_) ottenuta ponendo F*(1) := +infty ed F*(t) := \\int_{1}^{t} f(x) dx (leggi: \"integrale secondo Lebesgue di f(_) esteso da 1 a t\"), per t > 1. Vogliamo provare che, qualunque sia t > 1: F*(t) = + infty. In tal senso, consideriamo in primis che F*(_) è una funzione monotona non decrescente. Di conseguenza, per ogni
 t > 1: F*(t) >= F*(c(t)) := int_{1}^{c(t)} f(x) dx, ove c(t) := min{t, pi/4} . Sulla base di una siffatta diseguaglianza, onde mostrare che F*(t) = + infty, per ogni t > 1, è sufficiente provare che l\'integrale int_{1}^{c(t)} f(x) dx è divergente a + infty. A questo proposito, osserviamo che:
 
 per ogni t €R t.c. 1 < t =< c(t) < pi/2: 0 < x*ln(x)*cos^2(x) <= x*ln(x)
 
 ===> f(x) >= 1/[x*ln(x)] > 0 (#)
 
 Ergo, sfruttando il già citato teorema di monotonia per l\'integrale di Lebesgue e considerando che f(_) diverge a + infty per x ---> 1+ (leggi: \"x che tende ad 1 da destra\"), detto € un numero reale positivo sufficientemente piccolo da assicurare che sia: 1 + € < c(t), segue dalla (#) che:
 
 \\int_{1 + €}^{c(t)} f(x) dx>= \\int_{1 + €}^{c(t)} 1/[x*ln(x)] dx =
 
 = [ln|ln(x)|]_{1 + €}^{c(t)} (leggi: \"incrementato fra 1 + € e c(t)\") =
 
 = ln(ln(c(t))) - ln[ln(1 + €)]
 
 in accordo al teorema fondamentale del calcolo. Da qui, passando al limite a
 primo e ultimo membro per € ---> 0+ (leggi: \"epsilon che tende a 0 da destra\"), si deduce infine - per i teoremi del confronto - che:
 
 F*(c) := \\int_{1}^{c(t)} f(x) dx :=
 
 := lim_{€ --> 0+} \\int_{1 + €}^{c(t)} f(x) dx >=
 ^
 ||
 
 (leggi: \"limite per € ---> 0+\")
 
 >= lim_{€ --> 0+} {ln(ln(c(t))) - ln[ln(1 + €)]} = + infty, q.e.d.
 
 
 Questo è quanto! A presto risentirci, miei simpatici zucconi! <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 10-12-2003 01:26 ]

Barozz · Messaggio da **Barozz** » 01 gen 1970, 01:33

grazie molto esplicito.
 magari tutte le risposte fossero così!!

Barozz · Messaggio da **Barozz** » 01 gen 1970, 01:33

Cmq sono contento che ci siano persone che abbiano a cuore un certo genere di cose!![addsig]

germania2002 · Messaggio da **germania2002** » 01 gen 1970, 01:33

euler_25, non\'è che scrivere un programma per risolvere un problema sia più bello o più ingegnoso di risolverlo a mente. ma ti rammento che scrivere un programma non significa dire al computer qual\'è il problema e lui te lo risolve (magari le calcolatrici scientifiche grafiche, bò!) bisogna sapere come si affronta un problema. Sapaendo come si affronta scrivi l\'algoritmo per il computer e quello ti risolverà tutti i problemi simili a quello generico, però tu devi sapere come si risolve l\'algoritmo generico.
 A meno che:
 non hai mathematica o matlab o derive!
 
 Perchè ti posso assicurare che tra avere programmi già fatti che danno la soluzione, e scriverseli è una bella differenza (e CREDO CHE NESSUNO QUI PERDA TEMPO A VEDERE LE SOLUZIONI SU PROGRAMMINI VISTO CHE SONO TUTTI BESTIE AI GDA).
 Esempio:
 oggi ho cercato di scrivere in Turbo pascal 7.0 light un\'algoritmo di scomposizione in fattori primi.
 CAZZO, sicuramente ho sbagliato in qualche vincolo negli IF...THEN, altrimenti non capisco perchè la sintassi è esatta è il programma è sbagliato
 (mi dice che l\'unico divisore di 10 è 2)... se fosse stato un programma già fatto non mi sarei lamentato!
 
 Spero di essere stato chiaro, qui nessuno (sno sicuro) usa programmi, è tutto cervello![addsig]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Non posso che prenderne atto, Germania! D\'altro canto, se siete qui è implicito che siate tutti, bene o male, delle gran teste... Permettimi comunque di farti notare che le assurde insensate conclusione di cui si legge alle pagine 1 e 2 di questo medesimo topic non mi pare lascino troppo spazio ai dubbi... In ogni caso, il mio sfogo non era inteso a sminuire il valore di nessuno, ché anzi, quantunque da ben poco tempo vi conosca, di voi tutti ho una stima esagerata, e vi assicuro che (pel tipo che son\'io) difficilmente tendo a sbilanciarmi nei giudizi alle persone con cui entro in relazione! Probabilmente a qualcuno di voi questo discorso apparirà intriso di boria e supponenza, ma dopotutto il problema è soltanto il vostro, qualora cio\' dovesse avvenire! Le mie parole vorrebbero soltanto essere un modo per avvicinare voi a me e viceversa, onde insieme poter avviare un cammino di crescita per il miglior bene di entrambe le parti! Spero d\'esser stato chiaro e aver minimizzato le possibilità di equivoco: no, perché siccome oggi son stato fuori tutto dì, purtroppo mi son ridotto a collegarmi al forum in ora un po\' tarda, a quanto mi pare di leggere sull\'angolo in basso del mio desktop, e quindi non sono del tutto certo della mia lucidità! Comunque, a presto risentirci... magari con un altro integrale, che ne dite?! Soltanto che questa volta propongo io, d\'accordo? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 10-12-2003 01:28 ]

Barozz · Messaggio da **Barozz** » 01 gen 1970, 01:33

Attendo a presto un nuovo integrale! Grazie Euler per aver reso questo topic centro di una discussione che va oltre i giochi matematici![addsig]

germania2002 · Messaggio da **germania2002** » 01 gen 1970, 01:33

ecco, questa è una risposta + potabile (almeno per me).
 IO, e sottolineo IO, quando legevo i tuoi messaggi in cortese lingua medieval, leggevo fra le righe dei messaggi provocatori un pò bastardi. Ho pensato, lì fara uno due volte poi basta. Invece tutti i tuoi primi messaggi sono stati allo stesso modo, allara qui si è riscaldata l\'atmosfera.
 Per quanto mi riguarda non mi sono mai arrabbiato per le tue affermazione, perchè in effetti io sono molto zuccone e qui non ci dovrei nemmeno venire, ma soprattutto tu sei molto bravo in mate, e in questo forum tutti quelli bravi in mate vengon da me stimati un pò di più del normale.[addsig]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Grazie tante, Germania, per la stima! Ma voglio ribadirti la mia ferma convinzione nel fatto che voi tutti, senza nessuna distinzione, siete davvero dei gran capoccioni: ho potuto leggere finora solo qualcuno dei vostri numerosi interventi sulle pagine di questo forum e, sebbene in qualche passaggio non siano del tutto esenti da critiche, tuttavia mi sembrano tutti lavori apprezzabili e degni di plauso! Ciao, e smettila di frignare ripetendoti che non sei al livello di tanti altri in questo forum: convinciti piuttosto del fatto che, anche ammesso che fosse così come tu dici, non v\'è nulla che può impedirti a diventarlo, credimi! OK?! Ciao! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Dunque, eccoti il problema, Barozz! Si tratta semplicemente di calcolare il seguente integrale generalizzato:
 
 int_{0}^{+infty} t^5/(e^t - 1) dt
 
 Ciao, e buon lavoro!

J4Ck202 · Messaggio da **J4Ck202** » 01 gen 1970, 01:33

Fico!
 
 1) Espandi
 Int[0..+inf] (t^5 e^-t (sum[j=0..+inf] e^-(jt))) dt
 2) Tiri fuori col metodo che più ti aggrada
 Int[0..+inf] t^5 e^(-kt) dt = 120/(k^6)
 
 Ed hai (\"ricomprimendo\" la sommatoria)
 
 Int[0..+inf] (t^5 / (e^t - 1)) dt = 120 zeta(6) = 8 pi^6 / 63

Barozz · Messaggio da **Barozz** » 01 gen 1970, 01:33

Sei molto sintetico jack!
 La tua soluzione mi sembra corretta, il risultato lo è di certo. Io stavo provando una strada diversa cercando di calcolare l\'integrale rispetto ad un parametro noto dato che la funzione converge in fretta, cercando così di tralasciare sommatorie e robe varie. CMQ complimenti! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> [addsig]