Integrazione

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

chiedo venia... anch\'io mi rifacevo a quel post <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 beh, però almeno su questo potevi darci ragione <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-22 14:50, ma_go wrote:
 chiedo venia... anch\'io mi rifacevo a quel post <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 beh, però almeno su questo potevi darci ragione <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 No, no, no... non esiste proprio di darvi ragione quando non l\'avete meritata!!! State pur certi, comunque, che quando accadrà, non mi peserà minimamente dovervela riconoscere... più o meno... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 Salvo Tr. alias euler_25
 
 P.S.: in ogni caso, da tutto questo dibattito emerge un dato definitivo ed inquientante... ossia che il dannato integrale di cui tanto abbiam discusso non è stato ancora risolto, quindi... DATEVI DA FARE!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
 
 P.P.S.: Barozz, non ti ucciderò... forse... soltanto tenevo a dirti che, per quanto mi riguarda, non escludo la possibilità di eseguire la derivazione sotto il segno di integrale! Ciò che assolutamente non ammetto per plausibile è il fatto che una simile operazione possa giustificarsi soltanto sulla base del teorema di Leibniz che tu hai citato, ancorché io non sappia esattamente (per le ragioni che ti ho detto) quale sia in effetti il risultato teorico a cui tu t\'appelli! Difatti (ripeto un concetto che già ho espresso nel mio precedente post su questo topic), qualunque sia sto benedetto teorema di cui tu mi parli, certamente è di gran lunga meno generale dell\'altro ch\'io t\'ho citato in relazione all\'integrale di Lebesgue! In ogni caso, siccome son curioso anch\'io come te, vai pure avanti nella tua ricerca e consulta il librone di Analisi di cui hai accennato, ma non farti troppe illusioni! In buona sostanza, quel che ti voglio dire, è che le alternative possibili in riferimento alla nostra questione in sospeso sono essenzialmente due:
 i) io ho commesso qualche svarione nel valutare l\'applicabilità del teorema di Lebesgue, e dunque l\'operazione di derivazione sotto il segno di integrale si può oggettivamente eseguire pur di riconoscere le ipotesi di quel teorema soddisfatte, ossia stanare l\'errore nascosto nelle mie argomentazioni (eventualità che comunque escluderei per mia pura presunzione...);
 ii) la derivazione sotto il segno di integrale si può eseguire, ma giustificarne l\'attuabilità presupporrebbe lo sviluppo di considerazioni ad hoc, il che renderebbe la tua soluzione ben più lunga e articolata di quanto tu avessi inizialmente postulato, annotando (rivolto al sottoscritto...) che:
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 ...la tua soluzione e corretta ma è veramente lunga. La stessa soluzione dell\' integrale si può ottenere con al massimo 10 passaggi matematici.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Comunque, ti torno a ribadire che il procedimento da te impostato è davvero carinissimo, e tuttavia dimostrarne la correttezza potrebbe rivelarsi impresa ben più ardua del previsto, per cui... spetta a te trarre adesso le dovute conclusioni! E con questo, ti saluto... geniaccio degli integrali! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 -----------
 
 Ho voluto capire i cuori degli uomini.
 Ho voluto sapere perché le stelle brillano.
 E ho cercato di comprendere il potere pitagorico
 per il quale il numero esercita il proprio imperio sul flusso.
 
 Bertrand Russel [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 22-12-2003 22:51 ]

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-18 15:08, Barozz wrote:
 ∂/∂y int[a...b]M(x,y)dx = int[a...b](∂M/∂y)dx
 [addsig]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Barozz, questa è la regola di Leibniz per la derivazione sotto il segno di integrale, o meglio è la sua forma più semplice. Le uniche ipotesi sono la continuità di M e di M_y sull\'intervallo {a < x < b, c < y < d} dove a e b sono gli estremi di integrazione e c e d sono gli estremi entro cui ti serve di derivare M in dy. M_y è la funzione M in cui consideri la x costante. (In pratica l\'unica ipotesi è che la funzione integrale sia derivabile in dy).

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Bene, Evariste! Senti un po\'... cosa mi dici sulla natura degli intervalli (a,b) e (c,d)? Possono essere anche (eventualmente) illimitati? In altre parole, questo santo teorema di Leibniz si estende anche al caso degli integrali impropri? [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 23-12-2003 00:38 ]

Barozz · Messaggio da **Barozz** » 01 gen 1970, 01:33

Ho trovato che il teorema è facilmente dimostrabile per funzioni f(x,t) esprimibili nella forma f(x,t) = h(x) * g(t) + k(x) * I(t) +...(funzione polinomiale).
 Sviluppando in serie la funzione e(-x² -t²/x²) secondo la variabile t si può ricondurre la funzione (esponenziale)
 ad una funzione polinomiale, dunque nella forma che ho precedentemente indicato dimostrando così che e(-x² -t²/x²)
 è derivabile nel modo indicato. Consultando il libro riguardo alla regola di leibniz non ho trovato limitazioni per quanto riguarda gli estremi quindi potra valere anche per gli integrali impropri.[addsig]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-23 10:23, Barozz wrote:
 ...sviluppando in serie la funzione e(-x² -t²/x²) secondo la variabile t si può ricondurre la funzione (esponenziale) ad una funzione polinomiale, dunque nella forma che ho precedentemente indicato dimostrando così che e(-x² -t²/x²) è derivabile nel modo indicato.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Attento, Barozz! Ti stai impelagando in problemi (se possibile!) ancor più complessi di quello originariamente posto... Difatti, se da una parte è assolutamente falso (al contrario di quel che tu incautamente lasci intendere...) che l\'espansione in serie di Taylor di una qualsiasi funzione analitica di tipo non polinomiale rappresenta un polinomio, dall\'altra la funzione parametrica f(#) della variabile x definita ponendo f(x,t) := e-(x2 + t2/x2), con t appartenente a un certo intervallo limitato e non degenere (a,b) di R tal che 0 appartenga ad [a,b], ancorché sia derivabile nell\'origine infinite volte con continuità rispetto ad x, tuttavia non è sviluppabile in serie di Taylor-MacLaurin in relazione a questa medesima variabile, che mi pare fosse la strada che tu avevi meditato (certo non nel modo in cui avresti dovuto...<IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> ) di tentare... mi sbaglio? E se anche fosse attuabile l\'espansione in serie di cui tu postuli l\'esistenza traslando il centro dello sviluppo in un punto diverso dall\'origine, resterebbe comunque irrisolto l\'altro problema di cui ho detto, ben più rilevante dal punto di vista concettuale!
 E in ogni caso, adesso che ho inquadrato correttamente il teorema di Leibniz, grazie fondamentalmente al provvidenziale intervento di Samuele (EvaristeG), sono sempre più fermamente convinto della sua inapplicabilità al nostro caso! Trattasi difatti della versione più elementare del teorema di derivazione sotto il segno di integrale, per intenderci quella che gli universitari in seno alle facoltà di Matematica, fisica o ingegneria (tipicamente) si ritrovano a studiare durante il corso di Analisi I. Tale teorema, che si enuncia nei termini precisati da Evariste, presuppone fra le sue ipotesi (ed in proposito Samuele non è stato in verità troppo preciso, come - presumo - peraltro egli stesso abbia compreso leggendo il mio post successivo al suo intervento, datosi che non ha risposto alla mia maliziosa interrogazione... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">) che la coppia (x,t) che definisce l\'integranda qual funzione di x parametrizzata in t sia variabile in un rettangolo limitato di R2, ovvero in un insieme della forma (a,b)*(c,d) con a,b,c,d€R, ove * indica (qui) l\'operazione di prodotto cartesiano. Infine, per quanto riguarda l\'altro teorema di cui tu dici, che comunque (ribadisco) non è applicabile al nostro caso né direttamente né indirettamente sulla base del tuo folle (<IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">) progetto di procedere per via d\'uno sviluppo in serie, dubito sinceramente che la sua attuabilità possa trascendere dalla finitezza dell\'intervallo di integrazione; ragion per cui, se hai del tempo, ti inviterei a leggere con maggiore attenzione non soltanto la pagina ove il teorema viene enunciato, ma anche le pagine appena precedenti, poiché talora in Matematica molti autori precisano certune ipotesi generali (le cosiddette ipotesi di contesto) solo all\'inizio delle varie sezioni o persino dei capitoli dei propri scritti, assumendole poi senza più richiamarle a fondamento di tutti i teoremi riferiti in seno a quella medesima sezione o nel corso di quello stesso capitolo. Difatti, non credo possibile che un buon libro di Analisi (come sono certo debba essere quel che tu preso per consultazione) possa omettere integralmente le ipotesi di un teorema... beh, se poi così fosse, direi che forse sarebbe molto meglio rivolgersi a un altro testo, non sei d\'accordo? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 Ciao, genietto integraloide!
 
 Salvo Tr. alias euler_25
 
 P.S.: certo che ti sei proprio incaponito con questo caspio di integrale, eh? [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 23-12-2003 22:16 ]

Barozz · Messaggio da **Barozz** » 01 gen 1970, 01:33

Se hai voglia di proporne un\' altro... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [addsig]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Ricordo innanzitutto che, come emerge a seguito di tutte le discussioni intavolate sul merito della soluzione, ahimé! bacata..., proposta dal buon Jack, rimane tuttora irrisolto il seguente:
 
 int[0...pi/2] (x - pi/2)^2/(sin(x) - 1) dx
 
 E poi, per i palati più insaziabili (Barozz, parlo di te!)... propongo di calcolare in modo elementare (ovvero senza utilizzare nulla più che i rudimenti dell\'Analisi, e quindi niente trasformate di Laplace, di Fourier et similia...) il celeberrimo integrale di Dirichlet:
 
 int[-∞...+∞] sin(x)/x dx
 
 E\' una sciocchezza, ne sono consapevole... ma non mi è venuto in mente nulla di più impegnativo!!! Buon lavoro, dunque! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

jack_202 · Messaggio da **jack_202** » 01 gen 1970, 01:33

Per l\'ultimo integrale ho una soluzione, ma piuttosto advanced..
 Invoco proprio la serie di Fourier. Prendo la funzione Sign(x),
 che vale -1 per x<0, 0 per x=0 e 1 per x>0. A questo punto
 considero l\'intervallo [-k*pi;k*pi] (k naturale) e scrivo
 la serie di Fourier della funzione Sign(x):
 
 Sign(x)= Sum[n=1..+inf, n dispari] 4/(n*pi) sin(n*x / k)
 
 Ora faccio tendere k a +inf e rileggo il membro destro come
 somma di Riemann (integrale col metodo dei rettangoli).
 Ciò che ottengo è
 
 Sign(x)= (2/pi) * int[0..+inf] sin(xt)/t dt
 
 A questo punto basta porre x=1 per ottenere
 
 int[-inf..+inf] sin(x)/x dx = pi
 
 Credo inoltre che questo metodo possa essere applicato
 anche all\'integrale rimasto insoluto (considero la serie
 di fourier di x^2 in un intervallo sufficientemente largo
 poi integro pezzo a pezzo). Verificherò appena possibile.

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Dimmi, Jack... parlo arabo forse? Mi sembrava d\'essere stato piuttosto chiaro in proposito... è categoricamente proibito il ricorso ad argomenti di Analisi Superiore (vedi trasfromate di Laplace e Fourier). Quindi??? Sebbene la tua soluzione sia corretta dal punto di vista Matematico (anche se in verità non ho controllato tutti i dettagli del calcolo da te suggerito, e tu sai bene quanto i dettagli siano importanti per il sottoscritto... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> ), comunque non risponde al problema da me originariamente posto!!! Per cui... rimettiti subito al lavoro, computer Jack!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

jack_202 · Messaggio da **jack_202** » 01 gen 1970, 01:33

Ok, niente Fourier. Ma almeno concedimi un integrale doppio.
 Considero che
 
 int[0..+inf] (int[0..+inf] sin(x) * e^(-xy) dy) dx =
 int[0..+inf] (int[0..+inf] sin(x) * e^(-xy) dx) dy
 
 Ed ottengo
 
 int[0..+inf] sin(x)/x dx =
 int[0..+inf] 1/(1+y^2) dy = pi/2
 
 Soddisfatto?

jack_202 · Messaggio da **jack_202** » 01 gen 1970, 01:33

Confermo, la trasformata coseno di x^2 dovrebbe risolvere
 a dovere l\'integrale che avevo precedentemente cannato.
 Operando nell\'intervallo [-pi;pi] abbiamo
 
 x^2 = pi^2 /3 + sum[n=1..inf] (-1)^n 4/(n^2) cos(nx)
 
 Ora consideriamo (x^2)/(cos(x)-1) come serie geometrica
 [muovendoci nell\'intervallo (0;pi/2) dovrebbe essere tutto lecito]
 col numeratore espanso in serie e vediamo un po\' quanto vale
 l\'integrale generico
 
 int[0..pi/2] Cos[nx] * Cos[x]^k dx
 
 con un po\' di smanettamenti dovrebbe tornare
 
 pi*2^(-1-k) * k! / ( ((k-n)/2)! * ((k+n)/2)! )
 
 (please ricontrollate i conti) Questa roba non è
 eccessivamente difficile da sommare (basta
 dividere il problema in un po\' di casi pari-dispari)
 Integrando a pezzi il tutto dovrebbe andare a
 
 -4 Catalan - pi ln(2) + pi^2 / 4
 
 il che sembrerebbe confermare il mio risultato precedente
 ma attraverso una strada più salda. A chi si stesse chiedendo
 perchè ho espanso x^2 in [-pi; +pi] invece che in [0; pi/2]
 rispondo: è una posizione di comodo per evitare il fenomeno
 di Gibbs agli estremi dell\'intervallo. A presto!

jack_202 · Messaggio da **jack_202** » 01 gen 1970, 01:33

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

<IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> basta analisi... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

D\'accordo, Jack! Adesso ci siamo, anche se (al tuo solito...) sei stato un po\' avaro di dettagli! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">