Integrazione

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

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Barozz
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Messaggio da Barozz » 01 gen 1970, 01:33

Sei molto sintetico jack!
<BR>La tua soluzione mi sembra corretta, il risultato lo è di certo. Io stavo provando una strada diversa cercando di calcolare l\'integrale rispetto ad un parametro noto dato che la funzione converge in fretta, cercando così di tralasciare sommatorie e robe varie. CMQ complimenti! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> [addsig]
I limiti sono fatti per essere risolti.

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Per quel che può valere... hai la mia approvazione! Anche se avrei gradito qualche dettaglio in più! Comunque, bravo! Bravo davvero!
<BR>
<BR>Salvo alias euler_25<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 11-12-2003 22:47 ]
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

E senti... siccome scopro con interesse che gli integrali sembrano piacerti in modo particolare, che ne pensi se ti lascio da calcolare il seguente:
<BR>
<BR>int[0...pi/2] (x - pi/2)^2/(sin(x) - 1) dx
<BR>
<BR>In bocca al lupo! Ne avrai bisogno... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
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J4Ck202
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Messaggio da J4Ck202 » 01 gen 1970, 01:33

Uhm.. non male come esercizio. E\' piuttosto lungo da spiegare in dettaglio,
<BR>per cui illustro solo gli step che mi hanno portato alla conclusione
<BR>trascurando i biechi calcoli (che spero qualcuno vada a verificare).
<BR>
<BR>
<BR>-- Step 1.
<BR>Sostituzione in modo da ridursi a
<BR>int[0..pi/2] x^2 / (1 - cos x) dx
<BR>-- Step 2.
<BR>Brutale razionalizzazione
<BR>int[0..pi/2] (x^2 + x^2 cos(x)) / (sen(x)^2) dx
<BR>-- Step 3.
<BR>Spacchiamo l\'integrale in due tronconi.
<BR>A] int[0.. pi/2] x^2 / (sen(x)^2) dx
<BR>B] int[0.. pi/2] x^2 cos(x) / (sen(x)^2) dx
<BR>-- Step 4.
<BR>Accanimento risolutivo. Noto anche come
<BR>\"geometrizzazione\" di una serie.
<BR>f(x)/sin(x) = 2if(x)e^(-ix) / (1 - e^(-2ix)) =
<BR>sum[j=0..+inf] 2if(x) e^(-(2j+1)ix)
<BR>E possiamo ancora \"quozientare\" per sin(x)
<BR>f(x)/(sin(x)^2) =
<BR>sum[j=1..+inf] -4j f(x) e^(-2jix)
<BR>-- Step 5.
<BR>The final countdown. Ora si tratta solo di trovare
<BR>con molta pazienza l\'integrale generico in funzione di k
<BR>int[0.. i pi/2] x^2 e^(-kix) dx
<BR>per poi tornare indietro e brutalizzare tutte le somme.
<BR>-- Step 6.
<BR>La grazia divina. Con molta pazienza (leggi:induzione)
<BR>si trova
<BR>
<BR>int[0.. i pi/2] x^2 e^(-2kix) dx =
<BR>(2k)^(-3) * (-2 + e^(k*pi) (2 + k*pi*(k*pi - 2)))
<BR>
<BR>int[0.. i pi/2] x^2 e^(-(2k+1)ix) dx =
<BR>(2k+1)^(-3)/4 * (-8 + e^((2k+1)pi/2) (8 + (2k+1)pi*((2k+1)pi - 4)))
<BR>-- Step 7.
<BR>Back to real world. Tornando al principio, ammesso che io
<BR>abbia fatto bene i conti, queste porcherie dovrebbero dare alla luce
<BR>
<BR>int[0..pi/2] (x-pi/2)^2/(sin(x)-1) dx =
<BR>pi^2/4 - 4 Catalan - pi ln(2)
<BR>
<BR>Mostruoso. \"Catalan\" è la \"costante di Catalan\"
<BR>sum[j=0..+inf] (-1)^j / (2j+1)! = 0.915966..
<BR>
<BR>-- Step 8
<BR>The AfterHour.
<BR>Maggiore grado estetico avrebbe avuto il troncone [A] da solo..
<BR>int[0..pi/2] x^2 / (sin(x)^2) dx = pi ln(2).
<BR>
<BR>Mah..
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: J4Ck202 il 13-12-2003 16:23 ]

J4Ck202
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Messaggio da J4Ck202 » 01 gen 1970, 01:33

up!

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psion_metacreativo
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Messaggio da psion_metacreativo » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-12-12 19:49, J4Ck202 wrote:
<BR>up!
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> ...computer hai bisogno di un nuovo integrale assurdo?.... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> scherzi a parte ti stimo e ti ammiro davvero molto e spero un giorno di riuscire anch\'io a svolgere quegli integrali ciao... <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Sei splendido, Jack! Soltanto lasciami il tempo di esaminare con maggiore dettaglio (avrai domani il mio responso, per quel che può valere) il merito della tua soluzione! La strada da te perseguita mi pare corretta (sì, perché in verità io l\'esercizio l\'ho pensato al volo e non ho mica avuto il tempo di risolverlo!). Forse per qualcuno, non certo per il sottoscritto, il fatto che tu sia ricorso all\'Analisi Complessa può costituire un problema non trascurabile! Pertanto, posto che l\'esercizio lo hai già risolto, ti inviterei a tentare una strada alternativa, che NON utilizzi alcuna nozione di Analisi Complessa... ci stai? Comunque, indipendentemente dal fatto che tu possa accettare o ricusare il mio \"invito\", complimenti davvero per le tue evidenti abilità!
<BR>
<BR>P.S.: detto fra noi, io son sicuro che non ti tirerai indietro... non è forse così?
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 13-12-2003 14:28 ]
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euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

----
<BR>On 12-12-2003, at 17:38, J4CK202 wrote:
<BR>
<BR>-- Step 1.
<BR>Sostituzione in modo da ridursi a
<BR>int[0..pi/2] x^2 / (1 - cos x) dx
<BR>-- Step 2.
<BR>Brutale razionalizzazione
<BR>int[0..pi/2] (x^2 + x^2 cos(x)) / (sen(x)^2) dx
<BR>-- Step 3.
<BR>Spacchiamo l\'integrale in due tronconi.
<BR>A] int[0.. pi/2] x^2 / (sen(x)^2) dx
<BR>B] int[0.. pi/2] x^2 cos(x) / (sen(x)^2) dx
<BR>
<BR>----
<BR>
<BR>
<BR>Ok! Ineccepibile! Proseguiamo:
<BR>
<BR>
<BR>----
<BR>On 12-12-2003, at 17:38, J4CK202 wrote:
<BR>
<BR>-- Step 4.
<BR>Accanimento risolutivo. Noto anche come
<BR>\"geometrizzazione\" di una serie.
<BR>f(x)/sin(x) = 2f(x)e^(-ix) / (1 - e^(-2ix)) =
<BR>sum[j=0..+inf] 2f(x) e^(-(2j+1)x)
<BR>
<BR>----
<BR>
<BR>Mmh... purtroppo QUI mi trovo costretto a dissentire! Innanzitutto, benché sia un \"errore veniale\", devo farti notare che c\'è una \"i\" di meno da qualche parte... ma questa, obiettivamente, è una stupidaggine, da attribuirsi (com\'è ovvio) ad una svista nella battitura o nella trascrizione! Ben più grave, invece, è quel che mi accingo qui di seguito a evidenziarti! Difatti, e ti prego di correggermi qualora avessi mal interpretato..., l\'uguaglianza da te suggerita là dove affermi che:
<BR>
<BR>2if(x)e^(-ix) / (1 - e^(-2ix)) = sum[j=0...+inf] 2if(x) e^(-(2j+1)ix)
<BR>
<BR>(NOTA: mi son permesso di mettere a posto, per maggior chiarezza, le \"i\" mancanti)
<BR>si regge sull\'assunzione (ahimé, infondata!) di ritenere che la serie geometrica di ragione q(x) := e^(-2ix) sia CONVERGENTE, per ogni x€R, o meglio per x€[0,pi/2], con somma s(x) := 1 / (1 - e^(-2ix)); il che (come adesso cercherò di dimostrare) non corrisponde purtroppo a verità! Difatti, la successione {s[n]} delle ridotte n-esime (o somme parziali n-esime) di una serie geometrica di ragione q qualsivoglia, con q€C, soddisfa (notoriamente) la relazione per cui: s[n] = (1 - q^n)/(1 - q), purché sia q != 1. Del resto, la serie di cui si discute è convergente (per definizione) se e soltanto se
<BR>(come del resto vale per ogni altra serie in generale) esiste finito il limite per n ---> inf della successione delle sue ridotte n-esime. Ed è facile constatare che una siffatta condizione non si realizza se non quando |q| < 1, ove |q| indica (come di consueto) il modulo di q. Or dunque, nel caso in questione, la serie geometrica sum[j=0...+inf] e^(-2jx) ha una ragione q(x) := e^(-2jx). Di conseguenza, per ogni x€R, e quindi in particolare per x€[0,pi/2]: |q(x)| = 1, e pertanto (sulla base delle argomentazioni che ho precedentemente proposto) la serie sum[j=0...+inf] e^(-2jx) non è convergente, anzi
<BR>(ti dirò di più) è indeterminata (a meno di un numero FINITO di punti in cui risulta comunque divergere!). Ne consegue che l\'eguaglianza di cui ti sei servito nello svolgimento del mio simpatico integrale costituisce un \"baco\" piuttosto serio nel quadro delle argomentazioni poste a fondamento della tua soluzione, la quale ne risulta di conseguenza irrimediabilmente pregiudicata! Mi dispiace!
<BR>In ogni caso, poiché penso possa essere istruttivo per te come per chiunque altro in questo forum abbia un interesse che trascende i limiti delle problematiche di giacobina memoria (come ha detto quel tal savio Samuele... a proposito: ciao, Evariste!) affrontate in ambito Olimpico, vorrei ancora insistere sulla tua soluzione chiedendoti se potessi spiegarmi con dovizia di particolari (trascurando per un istante di considerare l\'errore che ti ho messo in evidenza) cosa intendi esattamente con la seguente affermazione:
<BR>
<BR>----
<BR>
<BR>On 12-12-2003, at 17:38, J4CK202 wrote:
<BR>
<BR>E possiamo ancora \"quozientare\" per sin(x)
<BR>f(x)/(sin(x)^2) =
<BR>sum[j=1..+inf] 4j f(x) e^(-2jix)
<BR>
<BR>----
<BR>
<BR>perché personalmente non mi ci districo! \"Quozientando\", come tu dici, per
<BR>sin(x) l\'espressione f(x)/sin(x), ovvero sum[j=1..+inf] 2i f(x) e^(-2jix), come finisci a ricondurti alla relazione qui sopra riportata...?..?.? Intendo, a parte l\'inezia della \"j\" che presumo volesse rappresentare una \"i\"...?..?.? Per quanto io mi sforzi, non riesco a capire; ed è molto interessante, oltre che profondamente istruttivo dal punto di vista didattico, riuscire a ricostruire i meccanismi e i percorsi che determinano certi svarioni grossolani: difatti, se da una parte questa sorta di \"psicanalisi dell\'errore\" è terapeutico per chi gli errori li commette, dall\'altra è pur d\'aiuto a chi gli errori incidentalmente li \"scoperchia\", dacché consente di stabilire la \"profondità\" del ragionamento, che assolutamente è indipendente dal singolo <!-- BBCode Start --><I>casus belli </I><!-- BBCode End -->! Tutto questo soltanto per dire che il tuo errore in questa circostanza non pregiudica assolutamente la stima tendenzialmente infinita (e i più pignoli mi perdoneranno per questo mio abuso di linguaggio, del resto ampiamente giustificato dal livello della persona a cui mi rivolgo!) che provo per te! Ciao... Salvo alias euler_25!
<BR>
<BR>P.S.: mi aspetto di vedere al più presto una soluzione corretta al mio simpatico integrale! Non importa chi dovesse essere a postarla... l\'importante è che tutti i problemi riportati sulle pagine di questo forum trovino soluzione! Forza, Jack, io punto su di te!
<BR>
<BR>P.P.S.: Barozz, se vi fosse qualche punto oscuro nelle soluzioni agli integrali o a qualsiasi altro problema specifico che ti piacerebbe chiarire e su cui le \"prospettive olimpioniche\" di qualche illustre personaggio del forum tendono a sorvolare con risoluta fermezza, non esitare a manifestare le tue perplessità, qui stesso o anche inviando al mio indirizzo e-mail le tue richieste! Per quanto mi riguarda, non mancherò di darti una mano là dove mi fosse possibile farlo, compatibilmente (è implicito) con le mie modeste
<BR>conoscenze e i miei tanti impegni... e il discorso può ripetersi per chiunque altro sentisse eventualmente le medesime necessità! Ciao...
<BR>
<BR>P.P.P.S.: Jack, posso sapere se studi Matematica o Ingegneria? Personalmente, propenderei per la seconda, ma la mia è solo una vaga impressione, per cui se volessi sciogliere questo mio dubbio forse un po\' indiscreto... Ciao, e dacci dentro a risolvere il mio integrale! Ho scommesso con Anteo ben 5€ (un\'abitudine mediata da quel grandioso Matematico che fu il compianto Erdos) che sarai tu il primo a riuscirvi, per cui guai a te se mi fai perdere la posta! Ci siam capiti?!?<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 15-12-2003 15:23 ]
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massiminozippy
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Messaggio da massiminozippy » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-12-13 14:32, euler_25 wrote:
<BR>
<BR>P.P.P.S.: Jack, posso sapere se studi Matematica o Ingegneria? Personalmente, propenderei per la seconda, ma la mia è solo una vaga impressione, per cui se volessi sciogliere questo mio dubbio forse un po\' indiscreto
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>

jack_202
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Messaggio da jack_202 » 01 gen 1970, 01:33

Hai ragione ci sono un po\' di errori di battitura
<BR>ma l\'idea, in ogni caso, è corretta.
<BR>
<BR>1/sin(x)=2i/(e^(ix)-e^(-ix))=
<BR>2ie^(-ix) / (1 - e^(-2ix)) =
<BR>
<BR>2ie^(-ix) + 2ie(-3ix) + 2ie^(-5ix) +..
<BR>
<BR>se dividi ancora per sin(x), ovvero se moltiplichi per
<BR>2i/(e^(ix)-e^(-ix)) ottieni
<BR>
<BR>-4( e^(-2ix) + 2 e^(-4ix) + 3 e^(-6ix) + ...)
<BR>
<BR>E\' come fare Taylor
<BR>prima su 1/(1-x) e poi su 1/(1-x)^2. Same thing.
<BR>
<BR>----
<BR>
<BR>f(x)/(sin(x)^2) =
<BR>sum[j=1..+inf] -4j f(x) e^(-2jix)
<BR>è giusta. D\'altro canto, se qui non fosse apparsa
<BR>quella j non ci sarebbe stato verso di mandar via
<BR>una zeta(3) che compariva nei conti successivi.
<BR>
<BR>Inoltre ti assicuro che tutto converge a dovere
<BR>anche perchè altrimenti non sarei riuscito a
<BR>giungere al risultato (che ho verificato essere
<BR>corretto.)
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: jack_202 il 13-12-2003 16:23 ]

jack_202
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Messaggio da jack_202 » 01 gen 1970, 01:33

\"la serie sum[j=0...+inf] e^(-2jx) non è convergente, anzi
<BR>(ti dirò di più) è indeterminata\"
<BR>
<BR>Se x è maggiore di zero quella è una serie geometrica
<BR>sicuramente convergente.
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: jack_202 il 13-12-2003 16:37 ]

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Siccome insisti su quest\'ultimo punto, ti invito allora a dimostrarmi dettagliatamente la convergenza di tale serie! Non penso a quesot punto vi sia altro modo per convincerti dell\'errore! Se, come tu dici, la serie di cui si discute è convergente, allora dovrà pur esserci un modo per provarlo, no? Ciao, campione...
<BR>
<BR>P.S.: posso rinnovarti la domanda a cui non hai risposto? Studi (o hai studiato) per caso Matematica o Ingegneria?<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 22-12-2003 22:55 ]
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Barozz
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Messaggio da Barozz » 01 gen 1970, 01:33

Purtroppo non posso prendere parte alla vostra discussione in quanto no capisco quasi niente di quello di cui state parlando. Le mie nozioni di matematica sono veramente poche, non per mio demerito ma perchè non ho modo di apprendere la disciplina se non durante le ore di lezione scolastiche o studiandon da autodidatta a casa. Purtroppo il programma scolastico è moooolto ristretto e scarno per uno come me che ha sete di conoscenza. Lo studio individuale non mi porta a grandi successi, dato che molto spesso mi trovo in difficoltà a capire anche solo dei passaggi che il testo reputa elementari.
<BR>Nonostante ciò vorrei invitarvi a risolvere quest\'integrale:
<BR>int[0..+inf]e^((-x^2)-1/(x^2)) dx.
<BR>
<BR>Ps ma j4ak_202 è jack_202?[addsig]
I limiti sono fatti per essere risolti.

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Ciao, Barozz! Dico solo che spero d\'aver interpretato correttamente la traccia del tuo problema, e non mi dilungo oltre nei preliminari!
<BR>Dunque, sia detta f(#) la funzione reale di variabile reale costruita ponendo, per ogni x€[0,+infty[: f(0) := 0 ed f(x) := e^[-(x^2 + 1/x^2)], quando
<BR>x > 0. Osserviamo innanzitutto che f(#) è ben definita, poiché, se da una parte è lecito fissare in modo essenzialmente arbitrario il valore che essa assume nel punto x<sub>0</sub> = 0, dall\'altra l\'espressione
<BR>e^[-(x^2 + 1/x^2)] non perde mai di significato matematico allorché risulta essere x != 0. Del resto, f(#) è continua nel suo insieme di definizione: essa è difatti banalmente continua sull\'intervallo aperto illimitato ]0, +infty[ poiché composizione di funzioni ivi continue; inoltre:
<BR>
<BR>lim_{x --> 0+} f(x) = lim_{x --> 0+} e^[-(x^2 + 1/x^2)] =
<BR>
<BR>(Per le proprietà della funzione esponenziale)
<BR>
<BR>= lim_{x --> 0+} [e^(-x^2) *e^(-1/x^2)] =
<BR>
<BR>(In base ai th. sull\'algebra dei limiti, e precisamente per il th. del prodotto)
<BR>
<BR>= [lim_{x --> 0+} e^(-x^2)] * [lim_{x --> 0+} e^(-1/x^2)] =
<BR>
<BR>(Mediante un\'opportuna sostituzione sul 2° limite: x <---> 1/y)
<BR>
<BR>= 1 * [lim_{y --> +infty} e^(-y^2)] = 1 * 0 = 0 =: f(0)
<BR>
<BR>onde dedurne che f(#) è altresì prolungabile per continuità (da destra) nell\'origine del semiasse reale positivo. Tanto è sufficiente per concludere che f(#) risulta integrabile secondo Riemann in ogni compatto della forma [0,c], con c reale ≥ 0; ovvero che:
<BR>
<BR>p.o. c€[0,+infty[, esiste int[0...c] f(x) dx (nel senso di Riemann)
<BR>
<BR>D\'altro canto, non è difficile mostrare che, per ogni x€[0,c], con c reale ≥ 0:
<BR>0 ≤ f(x) ≤ e^(-x^2); di modo tale che, stante il teorema di monotonia relativo per l\'integrale di Riemann:
<BR>
<BR>0 ≤ int[0...c] f(x) dx ≤ int[0...c] e^(-x^2) dx, p.o. c€[0,+infty[
<BR>
<BR>Di qui, passando al limite ai tre membri della relazione così ottenuta per
<BR>c ----> +infty e applicando di conseguenza i teoremi del confronto sui limiti (in particolare il simpatico <!-- BBCode Start --><I>teorema dei 2 carabinieri</I><!-- BBCode End -->), seguita che:
<BR>
<BR>0 ≤ lim_{c ---> +infty} int[0...c] f(x) dx ≤
<BR>
<BR>≤ lim_{c ---> +infty} int[0...c] e^(-x^2) dx ($)
<BR>
<BR>ove lim_{c ---> +infty} int[0...c] e^(-x^2) dx =: int[0...+infty] e^(-x^2) rappresenta il celeberrimo <!-- BBCode Start --><B>intregrale di Poisson</B><!-- BBCode End -->, il quale è notoriamente convergente al valore ½ sqrt(Pi). La ($), congiuntamente alla constatazione (già implicitamente palesata) che f(#) è una funzione non negativa in [0,+infty], induce a concludere che f(#) è oggettivamente Riemann-integrale (in senso improprio) in [0,+infty[, statement che (a priori) nessuna considerazione avrebbe potuto garantire! Il senso delle argomentazioni mie sinor proposte può riassumersi (in due righe) nel dir ch\'è inutile partire spediti e imbarcarsi nel calcolo d\'un integrale se non se ne ha neppure la certezza della convergenza! Ed è questo quel che qui mi piacerebbe saper da voi compreso!
<BR>---------------------------------
<BR>Ciò stabilito, ossia dimostrata la convergenza dell\'integrale proposto dal caro Barozz, si tratta a questo punto di calcolarne il valore... e qui son davvero cazzi amari! Ho studiato il problema con molto interesse ieri notte andando a letto e sono giunto alla fine a pormi un po\' perplesso e un po\' stupito la domanda... ma, amico mio, dove Cristo l\'hai trovato un esercizio del genere? Ma tu sei fuori! Anch\'io alle scuole superiori amavo cimentarmi con problemi che trascendono un tantino (o quantomeno, ai miei tempi era così...) i programmi previsti dall\'insegnamento ministeriale, ma (credimi!) non mi sono mai imbattuto in un quesito sì tanto complicato... perché in effetti il tuo bel esercizietto non è che sia poi da prender sotto gamba! Questo comunque vorrebbe essere un apprezzamento dal profondo del mio cuore verso le tue capacità e l\'interesse che dimostri nello studio della Matematica, sebbene immagino che (al mio solito) le contorsioni verbali a cui m\'abbandono non lascino trasparire chiaramente il mio pensiero! In ogni caso, ancora i miei complimenti! E ciò detto, vediamo un po\' di [Idomare questa bestia[/I]...
<BR>
<BR>Osserviamo innanzitutto che, per ogni x > 0: f(x) = e^[-(x - 1/x)^2 - 2] =
<BR>= e^(-2) * e^[-(x - 1/x)^2], sicché (avendo mostrato la convergenza dell\'integrale nella prima parte di questo mio intervento):
<BR>
<BR>int[0...+infty] f(x) dx = [Per la linearità dell\'integrale di Riemann] =
<BR>
<BR>= e^(-2) * int[0...+infty] e^[-(x - 1/x)^2] (@)
<BR>
<BR>Ora, osserviamo che la mappa u(#):]0,+infty[ ---> R:
<BR>x ---> arcsinh[(x - 1/x)/2] è una biezione di classe C^(1) da ]0,+infty[
<BR>in ]-infty,+infty[, avendo posto, per ogni y€R: arcsinh(y) :=
<BR>= ln[y + sqrt(y^2 + 1)].
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>NOTA</B><!-- BBCode End -->: incidentalmente, vi ricordo (a solo beneficio di quanti già non dovessero saperlo) che la funzione arcsinh(#) rappresenta l\'inversa, in R, del <!-- BBCode Start --><I>seno iperbolico</I><!-- BBCode End --> dell\'arco simbolico #, che (in termini notazionali) vien denotato (presso taluni autori) col simbolo sinh(#). Per completezza, vi rammento inoltre che, per definizione, si assume: sinh(t) := [e^t + e(-t)]/2, per ogni t€R. And now... let\'s go on!
<BR>
<BR>Si osserva che, per x ---> 0+: u(x) ---> -infty e per x---> +infty:
<BR>u(x) ---> +infty. Ora, sulla base delle posizioni sopra operate:
<BR>
<BR>p.o. x€]0,+ ∞[: u = u(x) := arcsinh[(x - 1/x)/2]
<BR>
<BR>perciocché, passando alle relazioni inverse:
<BR>
<BR>p.o. u€]- ∞,+ ∞[: x(u) - 1/[x(u)] = 2*sinh(u) ===>
<BR>
<BR>===> [x(u)]^2 - 2*sinh(u)*x(u) - 1 = 0 ===>
<BR>
<BR>===> [Risolvendo l\'equ. di 2° grado in x] ===>
<BR>
<BR>===> x(u) = sinh(u) ± sqrt[sinh²(u) + 1] (1)
<BR>
<BR>Ora tuttavia, introdotta ancora la funzione cosh(#) (si legga: <!-- BBCode Start --><I>coseno iperbolico</I><!-- BBCode End --> dell\'arco simbolico #), assumendo per ogni t€R:
<BR>cosh(t) := [e^t + e^(-t)]/2, è facile dimostrare che, per ogni t€]-∞,+∞[:
<BR>cosh²(t) = sinh²(t) + 1 e cosh(t) > sinh(t); onde dedurne (per conseguenza della (1)) che:
<BR>
<BR>p.o. u€]- ∞,+ ∞[: x = x(u) = sinh(u) + sqrt[sinh²(u) + 1] =
<BR>
<BR>= sinh(u) + sqrt[cosh²(u)] = sinh(u) + cosh(u) (2)
<BR>
<BR>ove la soluzione in x(u) corrispondente alla scelta del segno \"-\" fuor della radice a secondo membro della (1) è stata esclusa (in quanto inaccettabile), dacché altrimenti s\'avrebbe avuto: x(u) := sinh(u) - cosh(u) < 0, per ogni u€R, mentre dev\'essere per costruzione x(u)€]0,+ ∞[, ovvero x(u) > 0. Ne segue (differenziando rispetto ad u entrambi i membri della (2)) che:
<BR>
<BR>p.o. u€]- ∞,+ ∞[ : dx = dx(u) = [cosh(u) + sinh(u)] du
<BR>
<BR>pur di verificare (com\'è banale) che (simbolicamente): d/du[sinh(u)] =
<BR>= cosh(u) e d/du[cosh(u)] = sinh(u). Applicando a questo punto il teorema di sostituzione (per intenderci, quello che sta alla base del metodo di sostituzione nel calcolo degli integrali) e riassumeno quanto sinora stabilito, si conclude (vedi la relazione (@)) che:
<BR>
<BR>int[0...+infty] f(x) dx = e^(-2) * int[0...+infty] e^[-(x - 1/x)^2] =
<BR>
<BR>= e^(-2) * int[0...+infty] e^[-(x - 1/x)^2] =
<BR>
<BR>= e^(-2) * int[- ∞...+ ∞] {[cosh(u) + sinh(u)]*e^[-4*sinh²(u)]} du =
<BR>
<BR>= [Per linearità] = e^(-2) * int[- ∞...+ ∞] cosh(u)*e^[-4*sinh²(u)] du +
<BR>
<BR>+ e^(-2) * int[- ∞...+ ∞] sinh(u)*e^[-4*sinh²(u)] du
<BR>
<BR>e poiché (per ragioni di simmetria) il secondo integrale ad ultimo membro della relazione così ottenuta è pari a 0 (è sufficiente verificare in tal senso che l\'integranda è una funzione dispari del suo argomento), se ne evince (in definitiva) che:
<BR>
<BR>int[0...+infty] f(x) dx = e^(-2) * int[- ∞...+ ∞] cosh(u)*e^[-4*sinh²(u)] du =
<BR>
<BR>(Ancora per simmetria)
<BR>
<BR>= 2e^(-2) * int[0...+ ∞] cosh(u)*e^[-4*sinh²(u)] du =
<BR>
<BR>= e^(-2) * int[0...+ ∞] 2cosh(u)*e^[-4*sinh²(u)] du
<BR>
<BR>donde, posto u(t) := arcsinh(t/2), per t€[0,+ ∞[, ovvero (passando alle relazioni inverse) t = t(u) = 2*sinh(u) e quindi dt = 2*cosh(u) du, si trova in conclusione che:
<BR>
<BR>int[0...+infty] f(x) dx = e^(-2) * int[0...+ ∞] 2cosh(u)*e^[-4*sinh²(u)] du =
<BR>
<BR>(Per il succitato th. di sostituzione)
<BR>
<BR>= e^(-2) * int[0...+ ∞] e(-t²) dt = [Vedi integrale di Poisson] =
<BR>
<BR>= ½ sqrt(Pi)*e^(-2)
<BR>
<BR>fine! Ciao allora... e alla prossima!
<BR>
<BR>Salvo Tr. alias euler_25
<BR>
<BR>
<BR>P.S.: gradirei che qualcuno si prodigasse nella <!-- BBCode Start --><B>corretta risoluzione</B><!-- BBCode End --> dell\'integrale da me proposto qualche giorno addietro in seno a questo stesso forum e di cui Jack ha già fornito una prima accennata discussione, quantunque parziale e sostanzialmente errata, come a suo tempo ho potuto evidenziare nei precedenti miei interventi sullo specifico di questo topic! Jack, mi rivolgo a te: guarda che non c\'è vergogna alcuna nel riconoscere d\'aver commesso un errore, per quanto grossolano possa essere! Piuttosto è sintomo di grande intelligenza, che (per quel che può valere e per quanto ne capisca) a te non manca di sicuro, anzi tutt\'altro! Pertanto, ti prego, rimettiti a lavoro e dacci dentro sul serio con quel cakkio di integrale... non vorrai mica farmi perdere la scommessa con Anteo?! Statt\'attento, sai, t\'ammazzo... quant\'è vero che sono calabrese!
<BR>
<BR>P.P.S.: qual è il codice per inserire gli apici nel testo dei post?! Qualcuno me lo spiega, gentilmente? Grazie!
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>

Barozz
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Messaggio da Barozz » 01 gen 1970, 01:33

Ciao Euler, la tua soluzione e corretta ma è veramente lunga. La stessa soluzione dell\' integrale si può ottenere con al massimo 10 passaggi matematici. Ora scriverò l\'inizio della dimostrazione che conosco speranda che qualcuno riesca a completarla:
<BR>si ponga: F(t) = int[0..+inf]e^((-x^2)-(t^2)/(x^2)) dx. e si derivi tale funzione sotto il segno integrale poichè è rapidamente convergente ottenendo:
<BR>F\'(t) = 2t * int[0..+inf](1/x^2)e^((-x^2)-(t^2)/(x^2)) dx. facendo ora una sostituzione di variabile y = t/x ..........[addsig]
I limiti sono fatti per essere risolti.

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