Facile facile sui primi di Fermat

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pazqo
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Messaggio da pazqo » 01 gen 1970, 01:33

dimostrare, usando carta e penna e senza fare la divisione che 2^32+1 è divisibile per 641.
Stefano 'Pazqo' Pascolutti

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ReKaio
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Messaggio da ReKaio » 01 gen 1970, 01:33

perché l\'ha detto eulero e noi ci fidiamo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>641=512+128+1=2^9+2^7+1 forse in binario si cava qualcosa
<BR>(641)_10 = (1010000001)_2
<BR>(2^(2^5)+1)_10=10...01 (32 zeri in mezzo)
<BR>
<BR>penso
_k_

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pazqo
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Messaggio da pazqo » 01 gen 1970, 01:33

Non serve passare al binario!
<BR>si fa tranquillamente in base decimale!
Stefano 'Pazqo' Pascolutti

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euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Innanzitutto, osserviamo che: 641 = 16 + 625 = 2^4 + 5^4, e d\'altro canto:
<BR>641 = 640 + 1 = 64*10 + 1 = (2^7)*5 + 1, cosicché:
<BR>
<BR> 2^32 + 1 = [2^32 + (2^14)*5^2] - [(2^14)*5^2 - 1] =
<BR>
<BR> = (2^14)*(2^18 + 5^2) - [(2^7)*5 - 1]*[(2^7)*5 + 1] =
<BR>
<BR> = (2^14)*[2^18 - (2^7)*(5^3) + (2^7)*(5^3) + 5^2] +
<BR>
<BR> - [(2^7)*5 - 1]*[(2^7)*5 + 1] =
<BR>
<BR> = (2^21)*(2^11 - 5^3) + (2^14)*(5^2)*[(2^7)*5 + 1] +
<BR>
<BR> - [(2^7)*5 - 1]*[(2^7)*5 + 1] =
<BR>
<BR> = (2^21)*[2^11 + (2^7)*(5^4) - (2^7)*(5^4) - 5^3] +
<BR>
<BR> + (2^14)*(5^2)*[(2^7)*5 + 1] - [(2^7)*5 - 1]*[(2^7)*5 + 1] =
<BR>
<BR> = (2^4 + 5^4)*(2^28) - (2^21)*(5^3)*[(2^7)*5 + 1] +
<BR>
<BR> + (2^14)*(5^2)*[(2^7)*5 + 1] - [(2^7)*5 - 1]*[(2^7)*5 + 1]
<BR>
<BR>perciocché, sulla base delle considerazioni premesse al calcolo:
<BR>
<BR> 2^32 + 1 = 641*[2^28 - (2^21)*(5^3) + (2^14)*(5^2) - (2^7)*5 + 1]
<BR>
<BR>Dunque, evidentemente: 2^32 + 1 = 0 (mod. 641), q.e.d.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 06-12-2003 23:24 ]
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Ora però, Pazqo, cogliendo lo spunto offerto dal tuo problemino di calcolo, ti inviterei a dimostrare che i numeri di Fermat sono, a due a due, primi fra loro, e che la medesima condizione risulta altresì soddisfatta dai numeri di Mersenne M_p per i quali p è un numero primo. Buon lavoro!
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

E\' implicito che il problema da me proposto all\'attenzione dei vostri discreti intelletti non dev\'essere interpretato come una sfida lanciata in via esclusiva al genio \"catalettico\"... oh, pardon, intendevo \"catalitico\"... di Pazqo, ma piuttosto come il tentativo - forse goffo e un pò ridicolo - di uno scriteriato presuntuoso, come certo non tarderete a reputarmi, di identificare correttamente, a mio e vostro beneficio, il rango Matematico dei più capaci fra voi! A presto risentirci... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
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Antimateria
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Messaggio da Antimateria » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-12-06 15:56, euler_25 wrote:
<BR>perciocché
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->

Fede_HistPop
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Messaggio da Fede_HistPop » 01 gen 1970, 01:33

Cosa c\'è di strano, nel perciocché?
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pazqo
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Messaggio da pazqo » 01 gen 1970, 01:33

La soluzione proposta è mooolto lunga e c\'è nè una molto più carina, che si basa, alla fin fine, sugli stessi principi, ma si usa un trucco in più!
<BR>
<BR>vi do un suggerimento:
<BR>21 è divisibile per 3 e (21-3) anche.
<BR>ciao ciao
<BR>
<BR>per l\'altro: ora non posso, domani ci provo, anche se son in periodo di esami... sarei impegnato fino al 21, circa... vediamo cosa posso fare! ciaoo
Stefano 'Pazqo' Pascolutti

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euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Antimateria, qualcosa che non va con il mio italiano? Ti sembra poco rigoroso o è solo che, oltre a non masticare tanto la matematica, siamo anche un po\' scarsucci in letteratura?
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euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Pazqo, ciao! Siccome mi sei simpatico, eviterò di darti addosso come solo io so fare quando mi ci metto di impegno e cercherò di spiegartelo in tono pacato e sereno: in relazione al commento con il quale hai liquidato la soluzione da me proposta al tuo quesito, mi permetto soltanto di farti osservare che, in effetti, gran parte dei passaggi che riporto nello svolgimento del problema potrebbero essere ovviamente omessi, riducendo di conseguenza l\'anzidetta soluzione giusto a un paio di righe di calcoli! Il fatto ch\'io mi sia risolto di riportare la massima parte dei conti necessari è giustificato dal mio fermo convincimento che in tal modo possa trarne vantaggio la comprensione di eventuali lettori intellettualmente meno pronti o dotati di te! Se sei convinto che la bontà di una soluzione si valuti dal fatto che questa debba essere concisa piuttosto che chiara, allora mi scuserai di questo, ma per quanto mi riguarda preferisco le mie \"lungaggini\" all\'ermetismo di qualche poetastro mancato con il vezzo per la Matematica! Ciao, e a presto risentirci! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
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Messaggio da Antimateria » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-12-06 22:51, euler_25 wrote:
<BR>Antimateria, qualcosa che non va con il mio italiano? Ti sembra poco rigoroso o è solo che, oltre a non masticare tanto la matematica, siamo anche un po\' scarsucci in letteratura?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Non masticherò la matematica, ma se mi fanno incazzare so masticare molto bene i matematici. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

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Messaggio da pazqo » 01 gen 1970, 01:33

Dico solo che con una marea di conti ci son capaci tutti. Ma qua siam sul forum delle olimpiadi, quindi la soluzione che mi aspettavo era un soluzione di quelle che martin gardner chiama \"a-ha!\". una soluzione veloce, furba e di quelle che ti fanno dire: \"cazzo, perchè non ci ho pensato io???\"
<BR>la tua soluzione non mi pare rispetti questo. domani propongo la mia. agli altri l\'ardua sentenza...
<BR>ciao
Stefano 'Pazqo' Pascolutti

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Messaggio da pazqo » 01 gen 1970, 01:33

La mia soluzione:
<BR>vediamo che 2^32+1 è divisibile per 641 = 5*2^7 + 1.
<BR>osserviamo innanzitutto che 641 = 5*2^7+1 è primo (verifica banale).
<BR>quindi 5*2^7+1 | 2^32+1
<BR>quindi 5*2^7+1 | 2^32+1-(5*2^7+1)
<BR>quindi 5*2^7+1 | 2^32 - 5*2^7 = 2^7* ( 2^25 - 5 ). ma 5*2^7+1 non divide 2^7. dunque divide 2^25 - 5.
<BR>quindi 5*2^7+1 | 2^25-5.
<BR>quindi 5*2^7+1 | 2^25-5+5*(5*2^7+1)
<BR>quindi 5*2^7+1 | 2^25 +25*2^7 = 2^7* (2^18 + 25). ma 5*2^7+1 non divide 2^7. dunque divide 2^18+25.
<BR>quindi 5*2^7+1 | 2^18+25
<BR>quindi 5*2^7+1 | 2^18+25 - 25*(5*2^7+1)
<BR>quindi 5*2^7+1 | 2^18 - 125*2^7 = 2^7*(2^11 - 125). ma 5*2^7+1 non divide 2^7. dunque divide 2^11 - 125.
<BR>quindi 5*2^7+1 | 2^11 - 125 + 125*(5*2^7+1)=2^11 -125+ 625*2^7 +125
<BR>quindi 5*2^7+1 | 2^11 + 625*2^7=2^7*(2^4+625). ma 5*2^7 +1 non divide 2^7 dunque deve dividere 2^4 + 625. ed è banalmente vero poichè 5*2^7 + 1 = 2^4 + 625. QED
<BR>
<BR>Ora Eulero mi dirà che ho fatto tanti conti. sinceramente penso che l\'unico conto che si fa (e poi si ripete quello) è quello di sottrarre ( o sommare) la quantità giusta per proseguire. poi si raccoglie e si usa il fatto che se a | b*c e a non divibe b allora deve dividere c, se a è primo.
<BR>A voi il giudizio...
<BR>Euler, non c\'è l\'ho con te, ma se per catalitico ti riferisci al fatto che in questi giorni ho risposto a molti post aperti, era solo perchè ero davanti al pc e mi son capitate domande a cui sapevo, più o meno, dare risposta. non son assolutamente voglioso di attenzioni da parte della gente come, invece, penso tu sia. come spiegare altrimenti l\'inutile lungaggine di alcuni tuoi post?
<BR>Detto questo devo dir eche mi trovi d\'accordo sul fatto di non farsi soggiogare dai pc e dalla tecnologia. L\'uomo è debole e alle volte pretende di sapere tutto di matematica e di altre cose solo perchè sa pigiare i tasti sulla tastiera...
<BR>Altro discorso (approfitto di questo post, tanto son sicuro che lo leggerai). la maggior parte delle persone che scrivono e rispondono nel forum non son ancora all\'università, o sono solo al 1° anno. quindi è abbastanza inutile tirar fuori per un problema l\'integrale alla Lebesgue; e anche arrabbiarsi perchè la gente non coglie il suggerimento. e anche arrabbiarsi perchè NESSUNO ha risposto entro tot ore. se proprio vuoi dare un suggerimento dallo e basta, non incazzarti se la gente non lo coglie. Detto questo ti chiedo (e se vuoi mantenere l\'anonimicità non serve che mi rispondi): di dove sei? dove studi/hai studiato? Puoi rispondermi anche in maniera privata, ciò che mi dici me lo tengo per me.
<BR>ciao a tutti.
<BR>Stefano<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: pazqo il 07-12-2003 12:33 ]
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Messaggio da germania2002 » 01 gen 1970, 01:33

euler_25 la tua spiegazione sulla gente intelletualmente meno dotata si adatta perfettamente a me.
<BR>però ricorda che con l\'allenamento (per chi è dotato ci vogliono pochi anni per chi no decenni) si raggiungono livelli alti, naturalmente in teoria, poichè come ho già detto 45 volte e passa fare cose contro natura richiede una forte concentrazione e tenacia= volontà.
<BR>
<BR>detto questo ciau
<BR>
<BR>PS: il bello e che qui siamo su un forum non su una chat, sulla chat uno può dar veramente fastidio, ma su un forum può essere benissimo ignorato.[addsig]
"un uomo deve migliorare di qualcosa il mondo, se si vuole sentire realizzato..."
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