minimizzazione

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

trovare una condizione necessaria e sufficiente sui coefficienti a,b,c,d,e,f affinchè
 f(x,y)=ax^2+2bxy+by^2+dx+ey+f
 ammetta minimo

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

Una condizione sufficiente è che sia scrivibile come somma di quadrati più una costante... sarà anche sufficiente?

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

ho trovato una sol molto fica....

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

la soluzione consiste nella sostituzione x\' = x+p e y\' = x+q per opportuni p e q, con le opportune considerazioni su a b e c? e magari poi in un raccoglimento per ottenere somma di quadrati più costante?

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

alla fine alla somma di quadrato non ci ho pensato, ho provato a capire che conica viene fuori:
 ellisse dotata di minimo
 iperbole no
 parabola dipende
 impropria no (a meno di un solo punto reale)

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

mi sa che c\'è un b di troppo e una c di meno...

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Una condizione sufficiente è che sia scrivibile come somma di quadrati più una costante... sarà anche sufficiente?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 anch\'io ci avevo pensato...ovviamente la condizione è sufficiente, ma non sono sicuro che sia necessaria
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 ho trovato una sol molto fica....
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 puoi postarla please? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

a dire la verità non ho finito di fare i conti... domani li faccio per bene, ma coinvolge la classificazione delle coniche, in pratica ho ragionato così:
 un\'equazione di secondo grado come quella è una conica.
 Esistono diversi tipi di coniche, iniziamo da quelle non degeneri:
 ellisse: chiaramente se l\'equazione è quella di un\'ellisse essa ha minimo
 iperbole: non ammette minimo
 parabola: per la parabola è leggermente più complicato, ma non molto, con considerazione sulla concavità e sull\'asse si capisce quando essa ha minimo
 se la conica è degenere e quindi riducibile o fatta da due rette (eventualmente coincidenti) e non ha minimo a meno che non siano orizzontali, o ha un solo punto reale che allora è minimo, oppure è immaginaria, e allora non è minimo.
 Il teorema sulla classificazione delle coniche permette di stabilire tutto ciò (a parte forse qualcosa sulla parabola, ma ci penserò bene domani)

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

si ma la classificazione delle coniche discende analiticamente dallo studio di quest\'equazione, e geometricamente dalle loro proprietà geometriche... a mio parere conviene decisamente studiare \"a priori\" quest\'equazione dal punto di vista algebrico... poi, se vuoi postare anche la tua... non te lo impedisco di certo!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> comunque poi (nel senso \"dopo di adesso\", non \"dopo la tua\") posterò anche la mia..
 marco

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

mmm.... quello che dici può benissimo essere vero, e potrei in effetti cadere in un circolo vizioso, anche perché conosco il teorema della classificazione delle coniche ma non la sua dimostrazione, quindi...

lucapu · Messaggio da **lucapu** » 01 gen 1970, 01:33

Penso che questo problema sia riconducibile al fatto che sia nata prima la gallina o l\'uovo.Infatti chi può dire se sia nata prima la geometria analitica o prima l\'algebra.Secondo me la risoluzione di questo problema per via geometrica con il Teorema di classificazione delle coniche è molto più efficace al primo impatto ma risulta essere leggermente complicata nella trattazione delle parabole con asse non parallelo all\'asse x e y.
 Per questo risulta preferibile una trattazione per via analitica con la sostituzione proposta da ma_go
 Ciao
 a presto

pazqo · Messaggio da **pazqo** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-11-25 18:52, talpuz wrote:
 trovare una condizione necessaria e sufficiente sui coefficienti a,b,c,d,e,f affinchè
 f(x,y)=ax^2+2bxy+by^2+dx+ey+f
 ammetta minimo
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 e=d, b=a ? sicuramente è sufficente. non so se è anche strettamente necessaria!

pazqo · Messaggio da **pazqo** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-11-26 18:10, Biagio wrote:
 mi sa che c\'è un b di troppo e una c di meno...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 rifaccio i conti:
 f qualsiasi, poichè se ha un minimo , allora tutte le sue traslazioni lungo l\'asse z (considerando z=f(x,y)) hanno un minimo.
 faccio le derivate parziali. per avere un minimo, le derivate parziali devono essere entrambe nulle.
 quindi
 Df(x,y)/Dx = 2ax+2by+d=0
 Df(x,y)/Dy = 2by+2cy+e=0
 quindi ho un minimo solo se esistono soluzioni al sistema lineare.
 ho soluzioni sse ac = b^2 e e=d oppure
 ac <> b^2, per la formula (o metodo di Kramer, circa...). ma queste son solo condizioni necessarie. infatti il punto può essere di minimo o di massimo.
 il guaio è che il punto è comunque unico, poichè unica è la soluzione al sistema.
 Il guaio dei vostri ragionamenti è che la vedete come un problema di funzione implicita: f(x,y) = 0. in realtà il problema è quello di trovare un minimo di una superficie. e questa superificie non è una conica, ma una quadrica. precisamente può essere un elissoide, un paraboloide, due piani paralleli, un paraboloide iperbolico, iperboloide, etc...
 se invece l\'autore lo intendeva come f(x,y) = 0 allora il discorso è diverso. ciaooo

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-02 00:04, pazqo wrote:
 se invece l\'autore lo intendeva come f(x,y) = 0 allora il discorso è diverso.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 in effetti non la intendevo così, ma come l\'hai interpretato tu
 anch\'io ho calcolato le derivate parziali e ho imposto che fossero nulle (pur non sapendo una cicca di analisi II <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> )
 e avevo trovato anch\'io la tua condizione, che però è necessaria...
 come si dimostra che è anche sufficiente?? (se effettivamente lo è)

pazqo · Messaggio da **pazqo** » 01 gen 1970, 01:33

Non lo è. la figura in questione è una figura che ha un solo punto di minimo o di massimo. in particolare è una funzione esplicita, quindi a una coppia (x,y) associa una sola z. quindi la condizione non è sufficiente. e in effetti il punto può benissimo essere di minimo o di massimo. a questa bisogna aggiungere qualche condizione aggiuntiva. Non tirerei in ballo l\'analisi, si finisce a parlare di Hessiane e matrici definite positive. solo rogne. piuttosto ricorrerei alla classificazione delle quadriche in R^3, in particolare quelle che hanno z = f(x,y). può essere un punto di massimo, di minimo o di sella. in generale la superficie è una quadrica non a centro; può essere un Paraboloide iperbolico o un paraboloide elittico. se è un paraboloide iperbolico allora il punto trovato è un punto di sella (nè massimo ne minimo) se è un baraboloide iperbolico allora ho un massimo o un minimo a seconda della concavità. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: pazqo il 02-12-2003 21:19 ]