OliForum Matematico

E\' assegnata una legge che ad ogni coppia di interi x, y associa un intero x*y in modo che
 x*(y+z) = y*x + z*x
 per tutti gli interi x, y, z. Si dimostri che
 x*y = xy(1*1)

Chiamo 0) la relazione di partenza.
 
 1) 1*n=n*1
 
 poni x=1, z=1, y=n e trovi 1*(n+1)=n*1 + 1*1
 poni x=1, z=n, y=1 e trovi 1*(1+n)=1*1 + 1*n
 
 uguagli e trovi la 1)
 
 2) m*n=n*m
 
 poni x=m, z=1, y=n e trovi m*(n+1)=n*m + m*1
 poni x=m, z=n, y=1 e trovi m*(1+n)=1*m + n*m
 
 uguagli, usi la 1) e trovi la 2)
 
 3) visto che * e\' commutativa la 0) puo\' essere riscritta come la solita legge di distributivita\'
 
 4) 0*n=0
 
 applico la 0) per x=n, y=1 e z=0
 
 5) (-1)*n=-(1*n)
 
 applico la 0) per x=n, y=1, z=-1
 
 6) 1*n=n(1*1)
 
 la verifico per induzione se n e\' non negativo. Infatti per n=0 e\' vera. Il passo induttivo deriva dalla 0. Per n negativi uso la 5)
 
 7) m*n=mn(1*1)
 
 La verifico per induzione su m se m e\' non negativo. Infatti 1*n=n(1*1) per ogni n. Il passo induttivo viene di nuovo dalla 0). Per n negativi si ragiona in maniera analoga.

Ciao Camillo, non ho capito come hai fatto a dimostrare che la legge è commutativa.
 
 La relazione di partenza è:
 0) x*(y+z) = y*x + z*x
 
 Tu dici:
 
 > 1*(n+1)=n*1 + 1*1
 questo va bene
 > 1*(1+n)=1*1 + 1*n
 questo da dove lo prendi? Secondo la 0), il secondo membro dovrebbe venirti uguale a quello della relazione di prima...
 
 Non capisco se è un tuo errore o mi sfugge qualcosa..
 
 Il resto l\'ho capito, ci ero arrivato anch\'io... mi mancava appunto di dimostrare la commutatività.

Si\', sembra che l\'impeccabile Camillo questa volta si sia distratto! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

 Proviamo un\'altra linea di dimostrazione: <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

 

 a) 0*0 = 0*(0+0) = 0*0 + 0*0

 Quindi 0*0=2(0*0) e si deduce che 0*0=0 .

 

 b) 0*n = 0*(n+0) = n*0 + 0*0 = ... per a)

 = n*0 = n*(0+0) = 0*n + 0*n

 Quindi anche 0*n=n*0=0 .

 

 c) x*y = x*(y+0) = y*x + 0*x = y*x

 Et voila` la commutativita`! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> [addsig]

Centrato in pieno!
 Ho copiato l\'equazione su un pezzo di carta come x*(y+z)=x*y+z*x e poi non l\'ho piu\' ricontrollata... [ This message was edited by: Camillo on 2001-03-12 19:42 ]

Ragazzi, quest\'esercizio lo posso riciclare come equazione funzionale per l\'altra discussione (anzi due equazioni funzionali <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> )! Propongo a N3o di mandare sull\'altra discussione un messaggio con il testo e di rimandare a questa per chi volesse la soluzione...
 
 Ovviamente la nostra innata cattiveria <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> non puo\' che suggerirci la seguente modifica:
 
 Trovare tutte le funzioni f:ZxZ --> Z tali che
 
 f(x,(y+z))=f(y,x)+f(z,x)
 
 [ This message was edited by: Camillo on 2001-03-12 19:58 ]

Dal vecchio forum.
 Un messaggio di qualche mese fa.
 
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 E’ assegnata una legge che ad ogni coppia di interi x, y associa un intero xOy in modo che
 
 (1) xO(y+z) = yOx + zOx per tutti gli interi.
 
 Si dimostri che xOy = xy(1O1).(*)
 
 Dim.
 Se z=0 e y=x la (1) da’: xOx = xOx + 0Ox per ogni x. Pertanto 0Ox = 0.
 Da cui ponendo z=0 nella (1), si ottiene xOy = yOx per ogni x, y, cioe’ l’operazione O e’ commutativa. Percio’ la (1) si puo’ riscrivere come (2) (y+z)Ox = yOx + zOx.
 Essendo yOx un intero, risulta che 1(yOx) = yOx = (1y)Ox.
 Se ora supponiamo che k(yOx) = (ky)Ox, con k intero,
 ricaviamo che (k+1)(yOx) = k(yOx)+1(yOx)=(ky)Ox+yOx) e applicando la (2), si ha:
 (k+1)(yOx) =(ky+y)Ox=((k+1)y)Ox.
 Pertanto per il principio di induzione, si ha che (3) z(yOx)=(zy)Ox per tutti gli interi positivi z.
 La relazione e’ evidentemente verificata anche per z=0.
 Dalla (2) per z=-y, si ricava che: 0 = yOx + (-y)Ox, cioe’ (4) (-y)Ox = -(yOx).
 Pertanto se 0>z e quindi –z>0, per la (3) e (4), si ha
 –(z(yOx))=(-z)(yOx)= (-zy)Ox=-(zy)Ox=-((zy)Ox), cioe’ z(yOx) = (zy)Ox, per tutti gli interi.
 
 Pertanto, applicando le proprieta’ trovate, per ogni x, y si ha:
 
 xOy = x(1Oy) = x(yO1) = x( y(1O1)) = xy(1O1).
 
 
 (*)
 Questo problema e\' stato assegnato, fra gli altri, per l\'esame di ammissione alla classe di matematica per la Scuola Normale Superiore per l\'anno 1992. E\' stato riprosto nella ML tutor2000 e risolto da Jack202.
 
 
 
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 Sprmnt21

Hai ragione... pero\' ritengo lo stesso interessante riproporlo in veste \"equazione funzionale\". Infatti mi piacerebbe che molti notassero come gran parte delle loro difficolta\' sulle EF dipendono dal linguaggio. La mia impressione e\' che molti ragazzi non abbiano problemi a guardare esercizi formulati tipo \"c\'e\' una legge che ... bla bla bla\": molti giochini da rivista di enigmistica sono impostati cosi\'... Invece se la formulazione e\' \"trovare tutte le soluzioni dell\'eq. funzionale\" allora scatta un campanellino e nella testa dei piu\' appare una curva su un piano cartesiano. Non voglio dire che cio\' sia a priori una cosa sbagliata, pero\' bisogna capire quando certe nostre rappresentazioni mentali sono utili e quando no...
 
 OK. Questo discorso e\' tagliato con l\'accetta, ma spero siate d\'accordo con me che coglie un aspetto importante del perche\' le equazioni funzionali mietono vittime.
 
 [ This message was edited by: Camillo on 2001-03-14 20:56 ] [ This message was edited by: Camillo on 2001-03-14 20:58 ]

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Qualcuno mi dà una mano a risolvere questo?