3 simpatiche circonferenze

[NicolasBourbaki]

Cari amici e colleghi delle Olimpiadi della Matematica,
<BR>vorrei proporvi un esercizio non banale che spero qualcuno di voi mi aiuti a risolvere:
<BR>Sono date in un piano 3 circonferenze , di raggi diversi e dai centri non allineati. Siano esse C1,C2,C3 e si faccia l\'ipotesi che esse non abbiano punti comuni. Prese C1 e C2 traccio le due tangenti ad esse comuni che si incontrano in un punto P esterno al segmento che congiunge i loro centri.
<BR>Eseguo la stessa cosa per C2 e C3 trovando il punto Q;idem per C1 e C3 trovando il punto R. Dimostrare che P,Q ed R sono allineati.
<BR>
<BR>Un saluto particolare a Biagio, compagno di tante avventure a Sassoferrato e spero futuro collega alla Sant\'Anna.

[Wilddiamond]

Carlotto?!
<BR><IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

[Biagio]

oilà...sono contento di vederti sul sito!!
<BR>il problema effettivamente non è banale...adesso ci provo comunque.
<BR>ps:l\'11 dicembre c\'è la gara a milano di mate, ci vediamo li?
<BR>ciao ciao

[Wilddiamond]

Come come? Che gara c\'è??

[Belegrand]

Ciao Biagio, come va?
<BR>Ti scrivo dall\'università con la Laura, e ci chiedevamo che fine avevi fatto!!
<BR>Noi siamo qua a fare esercitazione di informatica, e siamo gli unici studiosi dello stage di mate qua a Parma.
<BR>Bello il problema, adesso ci penseremo...[addsig]

[cekko]

mi associo a wilddiamond.
<BR>che gara c\'è l\'11 dicembre a milano?

[ma_go]

http://users.mat.unimi.it/users/giochi/newgare.html

[pazqo]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-11-11 12:44, NicolasBourbaki wrote:
<BR>Cari amici e colleghi delle Olimpiadi della Matematica,
<BR>vorrei proporvi un esercizio non banale che spero qualcuno di voi mi aiuti a risolvere:
<BR>Sono date in un piano 3 circonferenze , di raggi diversi e dai centri non allineati. Siano esse C1,C2,C3 e si faccia l\'ipotesi che esse non abbiano punti comuni. Prese C1 e C2 traccio le due tangenti ad esse comuni che si incontrano in un punto P esterno al segmento che congiunge i loro centri.
<BR>Eseguo la stessa cosa per C2 e C3 trovando il punto Q;idem per C1 e C3 trovando il punto R. Dimostrare che P,Q ed R sono allineati.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>esercizio 118 del libro Pazzi Pazzi numeri. a mio tempo l\'avevo risolto. poi ho dimenticato la mia soluzione. se vuoi ti scrivo quella del libro...

[NicolasBourbaki]

Salve Pazqo,ti ringrazio per la replica e ti chiederei di propormi la soluzione contenuta nel libro che citi e che io , sinceramente, non conosco. Spero che questo mio appello non cada nel vuoto dato che il problema è meritevole di una certa attenzione !! Grazie e saluti BOURBAKI

[pazqo]

oggi no. domani certamente! a presto
<BR>ciao

[pazqo]

ooops, mi ero dimenticato! rimedio subito!
<BR>copio direttamente dal libro, se vuoi poi posso darti autore e casa editrice!
<BR>Consideriamo il problema nello spazio tridimensionale immaginando i cerchi come sfere tagliate nel mezzo (dal piano che contiene i centri delle 3 sfere). Tutte le tangenti esterne (cioè le linee rette per le quali passa un piano che non biseca le sfere e tale per cui le sfere di trovano tutte da un lato dello stesso) alle (semi)sfere 1 e 2 s\'intersecano nel punto P3, e analogamente accade per le tangenti alle (semi)sfere 1 e 3, che si incontrano in P2 e per le tangenti alle (semi)sfere 2 e 3 che si intersecano in P1.
<BR>immaginiamo di prendere un piano che sia tangente alle 3 sfere, ossia tangente a ognuna in un punto. quindi l\'intersezione del piano con le 3 sfere mi da 3 punti che posso unire disegnando un triangolo. ciascun lato del triangolo è tangente esternamente a 2 sfere, pertanto il prolungamento passa per il punto già trovato: se prendo i punti appartenenti alle sfere 1 e 2, la tangente passerà per P3 e così via. allora anche il piano tangente alle tre rette passa per i punti P1, P2, P3. inoltre i punti P1, P2, P3 appartengono al piano che contiene i centri delle 3 sfere. quindi i punti P1, P2, P3 appartengono a 2 piani non paralleli e non coincidenti. quindi appartengono alla loro intersezione, che è una retta:QED
<BR>ho rielaborato un po\' la dimostrazione che c\'era sul libro poichè questa ricorreva a un disegno che non potevo riprodurre qua...
<BR>ti interessa autore e casa editrice?
<BR>ciao
<BR>stefano
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: pazqo il 03-12-2003 12:17 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: pazqo il 03-12-2003 12:19 ]

[Antimateria]

Geniale!
<BR>
<BR>Detti a, b, c i raggi di C1, C2, C3 rispettivamente, con a>b>c, dimostrare che il rapporto P₃P₂/P₂P₁ dipende solo dai raggi, e vale (ab-ac)/(ac-bc).[addsig]

[Iulik]

Caro Alessandro, alias Bourbaki,
<BR>come sai stavo tentando di dimostrare il tuo problema con i vettori quando, dai vari disegni fin a stamattina fatti, mi sono accorto che i diametri congiungenti le coppie di tangenti comuni sono omotetiche fra loro due a due. Allora utilizzando il Teorema di Menelao il tutto diventa lapalissiano. Buon anno e ci vediamo a Pisa.
<BR>Giuliano

[Iulik]

Nella fretta di dare l\'ultima soluzione del 2003 ho dimenticato di far notare dove risiede la simpatia delle tre circonferenze.
<BR>Una volta che sai che ogni circonferenza è simile a un\'altra e che ognuna può quindi essere ottenuta dall\'altra per dilatazione non c\'è motivo per escludere che ad esempio le tre circonferenze siano costruite una dentro l\'altra per cui i tre centri di dilatazione sono collineari e allo stesso tempo sono i punti d\'intersezione delle tangenti ESTERNE. N.B. Così facendo si generalizza anche al caso che le tre circonferenze siano concentriche e quindi i loro centri <!-- BBCode Start --><I>a fortiori</I><!-- BBCode End --> collineari.
<BR>Giul.