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Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

sapreste dimostrare che la funzione (1 + 1/(x))^x è crescente?
 e che è minore di 3?
 grazie in anticipo...

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

In genere lo si dimostra per la successione (1+1/n)n, e lo si fa in modo elementare (provaci!). Per la funzione con x in R+, ti basta fare una derivata e sfruttare il risultato precedente.

mik84 · Messaggio da **mik84** » 01 gen 1970, 01:33

Per la successione è molto semplice... una serie di passaggi algebrici, partendo da a(n+1)/a(n)>1 ti porterà a giungere ad un rapporto... poi sfruttando la diseguaglianza di bernoulli (1+x)^n>1+xn ...

AleX_ZeTa · Messaggio da **AleX_ZeTa** » 01 gen 1970, 01:33

f(x)=(x+1/x)^x
 
 se x<=0 non esiste in R
 se x>0 :
 
 (x+1/x)^x=e^ln((x+1/x)^x)=e^(x*ln(x+1/x))
 
 f\'(x)=e^ln(x*ln(x+1/x))*(ln(x+1/x)+(x/(x+1/x)*(1-1/x^2)))
 
 f\'(x)=(x+1/x)^x*(ln(x+1/x)+(x^2-1)/(x+1))
 
 f\'(x)<=0 se e solo se ln(x+1/x)+(x^2-1)/(x+1)<=0
 
 
 
 quindi se ln(x+1/x)<=(1-x^2)/(x+1) <- A<=B
 
 se mi metto a risolvere sta cosa faccio casino^^ ti do una soluzione arrangiata, anke se secondo me è esatta:
 
 e^x è f(x) crescente. Quindi se a < c allora e^a < e^c.
 
 quindi
 e^A<=e^B
 A(x) e B(x) sono funzioni continue.
 
 x+1/x<=e^((1-x^2)/(x+1))
 
 PICCOLA DIGRESSIONE:
 ln(x+1/x)+(x^2-1)/(x+1) è negativo SE e solo se almeno uno dei due addendi è <0 (ovviamente).
 ln(x+1/x) NON è mai <0: infatti x+1/x<1 non ha soluzioni
 
 quindi la somma è <0 SE x^2-1<0 quindi se 0 < x < 1.
 
 
 Proseguo la dimostrazione considerando 0 < x < 1.
 
 x+1/x<=e^((1-x^2)/(x+1))
 
 la seconda è una funzione decrescente (è facile dimostrarlo, se aumenta x diminuisce l\'esponente e diminuisce la funzione) quindi ha il suo massimo relativo al limite di x->0 (0 è escluso dal dominio). ma se x->0 la prima tende a +infinito. Quindi la disequazione NON ha soluzioni.
 
 Quindi f\'(x)>0 per qualsiasi x>0.
 
 La funzione è quindi crescente. Se è SEMPRE crescente non ha massimo relativo e il suo \"valore massimo\" è il limite della funzione per x->+infinito.
 
 ma lim[x->+infinito] (x+1/x)^x è un limite fondamentale ed è uguale ad e
 
 quindi f(x) < e < 3
 
 
 la dimostrazione ke ho fatto può contenere errori^^ ed è sicuramente pesante: ce ne sono altre più veloci. Ti ho postato questa xkè se sai due o tre cose di analisi forse per quanto pedestre è la più comprensibile.
 
 ciao
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: AleX_ZeTa il 30-10-2003 19:21 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: AleX_ZeTa il 30-10-2003 20:41 ]

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

Pedeste? [ Questo Messaggio è stato Modificato da: publiosulpicio il 30-10-2003 19:19 ]

AleX_ZeTa · Messaggio da **AleX_ZeTa** » 01 gen 1970, 01:33

errore di battitura^^
 
 \"pedestre\"
 
 (nn so se esiste... lo usa la mia prof di mate quindi va bene <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">)

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Alex, credo che Biagio volesse una dimostrazione che non usasse il numero di Nepero, visto che quest\'ultimo e\' definito proprio dalla suddetta funzione! Secondo me occorre dimostrare prima che e\' vera sui naturali, poi (una volta definito il numero e, ed aver dimostrato tutte le proprieta\' sulle derivate), calcolare la derivata seconda e sfruttare semplicemente la concavita\' per estendere le proprieta\' dai narurali ai reali.

AleX_ZeTa · Messaggio da **AleX_ZeTa** » 01 gen 1970, 01:33

beh allora la prima parte (quella x dimostrare ke f(x) è crescente) rimane uguale, basta sostituire, ad es., 2 a e e log in base 2 a ln.
 
 la seconda ovviamente no^^ lo si fa con la successione

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Eh, no! Come trovi la derivata della funzione esponenziale senza conoscere il numero di Nepero?

Mathema · Messaggio da **Mathema** » 01 gen 1970, 01:33

Anzitutto, dimostriamo per induz. che a(n)>a(n-1):
 (1+1/n)^n > (1+1/(n-1))^(n-1) =>((n+1)/n)^n > (n/(n-1))^(n-1) => [dividiamo per (n/(n-1))^n] =>(n^2/(n^2-1))^n > (n-1)/n =>
 (1-1/n^2)^n > (1-1/n). Ma questa sappiamo che è vera per la disuguaglianza di Bernoulli. Infatti:
 (1-1/n^2)^n>1-n*1/n^2=1-1/n.
 
 Perciò il valore massimo della successione è espresso dal valore limite di questa succ., ovvero e. Per dire che e è minore di 3, o ti accontenti di guardare nella prima tabella che ti dia il valore di e, oppure fai così:
 1. applicando il binomio di Newton a (1+1/n)^n e facendone il limite a infinito, ottieni l\'altro modo di scrivere è, ovvero e=sum [k=0,+inf] 1/k!.
 2. dimostri per induzione che, per n>=4, n!>2^n => 1/n!<1/2^n =>
 => sum [k=4,+inf]1/k! < sum[k=4,+inf]1/2^k = 1/2^4.
 3. finalmente ottieni e=1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + sum[k=4,+inf]1/k! <
 < 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/2^4 = (circa) 2,9 < 3.
 
 Dim lunga e noiosa, ma è l\'unica che ho trovato. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">