Ecco qualche problema, giusto per un post-Pisa
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<BR>1)An even number of people have a discussion sitting at a circular table. After a break they sit down again in a different order. Show that there must be two people with the same number of people sitting between them before and after the break.
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<BR>2)f has positive integer values and is defined on the positive integers. It satisfies f( f(m) + f(n) ) = m + n for all m, n. Find all possible values for f(1988 ).
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<BR>3)c is the largest positive root of x^3 - 3x^2 + 1. Show that [c^1788] and [c^1988] are multiples of 17
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<BR>4)Find the number of odd coefficients of the polynomial (x² + x + 1)^n<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: lordgauss il 30-09-2003 16:35 ]
Pisani, dico a voi
Moderatore: tutor
oilà...
<BR>nel primo il numero di posti tra una persona e l\'altra vanno contati con un senso(tipo orario/antiorario)oppure si tiene conto della distanza(in posti)minore?
<BR>oppure: la prima ipotesi con l\'aggiunta che deve essere lo stesso anche l\'ordine (orario o antiorario) delle due persone prese in esame?<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 30-09-2003 17:13 ]
<BR>nel primo il numero di posti tra una persona e l\'altra vanno contati con un senso(tipo orario/antiorario)oppure si tiene conto della distanza(in posti)minore?
<BR>oppure: la prima ipotesi con l\'aggiunta che deve essere lo stesso anche l\'ordine (orario o antiorario) delle due persone prese in esame?<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 30-09-2003 17:13 ]
non sono un pisano ma ci provo
<BR>2)f(f(m)+f(n))=m+n
<BR>ponendo m=n risulta f(2f(n))=2n da cui si deduce che f è iniettiva
<BR>quindi applicando la relazione risulta
<BR>f(f(m+n)+f(0))=m+n
<BR>f(f(m-n)+f(2n))=m+n (m>n)
<BR>e per l\'iniettività
<BR>f(m+n)+f(0)=f(m-n)+f(2n) da cui, ponendo n=0, si ricava
<BR>f(0)=0
<BR>sostituendo, si ha f(n+m)=f(n)+f(m)
<BR>quindi la relazione iniziale è estensibile a un numero qualsiasi di addendi, diciamo q
<BR>f(f(n)+f(m)+...)=n+m+...
<BR>da cui, ponendoli tutti uguali
<BR>f(q*f(n))=q*n
<BR>ma n=f(f(n)) (ponendo m=0 nella relazione iniziale)
<BR>quindi f(q*f(n))=q*f(f(n))
<BR>e quindi in particolare f(n)=n*f(1)
<BR>ora, per verifica diretta può essere solo f(1)=1
<BR>(ponendo un qualsiasi altro valore per f(1) la relazione iniziale non vale più)
<BR>quindi f è la funzione identica f(n)=n, e f(1988 )=1988
<BR>spero di non aver preso troppe cose x scontate e di non aver sparato troppe assurdità <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> bye
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<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 01-10-2003 21:38 ]
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<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 01-10-2003 21:38 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 01-10-2003 21:40 ]
<BR>2)f(f(m)+f(n))=m+n
<BR>ponendo m=n risulta f(2f(n))=2n da cui si deduce che f è iniettiva
<BR>quindi applicando la relazione risulta
<BR>f(f(m+n)+f(0))=m+n
<BR>f(f(m-n)+f(2n))=m+n (m>n)
<BR>e per l\'iniettività
<BR>f(m+n)+f(0)=f(m-n)+f(2n) da cui, ponendo n=0, si ricava
<BR>f(0)=0
<BR>sostituendo, si ha f(n+m)=f(n)+f(m)
<BR>quindi la relazione iniziale è estensibile a un numero qualsiasi di addendi, diciamo q
<BR>f(f(n)+f(m)+...)=n+m+...
<BR>da cui, ponendoli tutti uguali
<BR>f(q*f(n))=q*n
<BR>ma n=f(f(n)) (ponendo m=0 nella relazione iniziale)
<BR>quindi f(q*f(n))=q*f(f(n))
<BR>e quindi in particolare f(n)=n*f(1)
<BR>ora, per verifica diretta può essere solo f(1)=1
<BR>(ponendo un qualsiasi altro valore per f(1) la relazione iniziale non vale più)
<BR>quindi f è la funzione identica f(n)=n, e f(1988 )=1988
<BR>spero di non aver preso troppe cose x scontate e di non aver sparato troppe assurdità <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> bye
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<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 01-10-2003 21:38 ]
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<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 01-10-2003 21:38 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 01-10-2003 21:40 ]
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]
Ottino contributo, Claudio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">. Ovviamente i problemi non li ho scritti, li ho pastati da kalva.
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<BR>Rispondo anche a talpuz. Mi sembra tutto ok. Solo due osservazioni:
<BR>
<BR>(a) *stilistica* visto che le equazioni funzionali si risolvono tramite smanettamenti, conviene suddividere le dimostrazioni in passi, enunciando chiaramenti le varie tesi, in modo da rendere agevole la lettura.
<BR>
<BR>(b) quando arrivi alla relazione additiva f(a+b) = f(a)+f(b), puoi concludere automaticamente f(x)=kx [k=f(1)] per i razionali. Per i reali, invece, hai bisogno di qualcosa in più (continuità, monotonia, limitatezza...)
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<BR>Rispondo anche a talpuz. Mi sembra tutto ok. Solo due osservazioni:
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<BR>(a) *stilistica* visto che le equazioni funzionali si risolvono tramite smanettamenti, conviene suddividere le dimostrazioni in passi, enunciando chiaramenti le varie tesi, in modo da rendere agevole la lettura.
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<BR>(b) quando arrivi alla relazione additiva f(a+b) = f(a)+f(b), puoi concludere automaticamente f(x)=kx [k=f(1)] per i razionali. Per i reali, invece, hai bisogno di qualcosa in più (continuità, monotonia, limitatezza...)
uhm.. direi che l\'unico metodo di risoluzione si basa sulle successioni:
<BR>allora, le radici di quell\'equazione sono
<BR>|x_1|,|x_2|<1, x_1x_2<1. x_3>1.
<BR>adesso, crea una successione per ricorrenza del tipo a_(n+3) = 3a_(n+2) - a_n, e vedi che a_n = a(x_1)^n + b(x_2)^n + c(x_3)^n. a,b e c si ricavano dai primi tre termini, se la successione è assegnata. ora tu ponili pari ad 1. hai che [(x_3)^1788] = a_1788 - 1, visto che la successione salta fuori intera... ora suffice considerare le congruenze modulo 17 della successione e salta fuori la soluzione... idem per 1988.
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<BR>allora, le radici di quell\'equazione sono
<BR>|x_1|,|x_2|<1, x_1x_2<1. x_3>1.
<BR>adesso, crea una successione per ricorrenza del tipo a_(n+3) = 3a_(n+2) - a_n, e vedi che a_n = a(x_1)^n + b(x_2)^n + c(x_3)^n. a,b e c si ricavano dai primi tre termini, se la successione è assegnata. ora tu ponili pari ad 1. hai che [(x_3)^1788] = a_1788 - 1, visto che la successione salta fuori intera... ora suffice considerare le congruenze modulo 17 della successione e salta fuori la soluzione... idem per 1988.
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<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR> hai che [(x_3)^1788] = a_1788 - 1
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>perchè?
<BR>grazie cmq
<BR> hai che [(x_3)^1788] = a_1788 - 1
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>perchè?
<BR>grazie cmq
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]