Sommare i quadrati

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Catraga
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Messaggio da Catraga » 01 gen 1970, 01:33

trovare una forma chiusa per:
<BR>Sum[{i,1...n},(-1)^(i+1)*i^2]
<BR>ovvero 1-4+9-16....
<BR>Si prega di non ricorrere all\'Abramovitz! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
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alberto
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Messaggio da alberto » 01 gen 1970, 01:33

-1^(n+1)*(n)(n+1)/2
<BR>la dimostrazione + comoda è * induzione ed è lasciata come esercizio per il lettore
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: alberto il 21-09-2003 19:58 ]

J4Ck202
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Messaggio da J4Ck202 » 01 gen 1970, 01:33

Una prova diretta spunta fuori con i binomiali.
<BR>Uso una notazione accelerata ma spero comprensibile.
<BR>
<BR>sum n^2 (-1)^n = 2 sum (n 2) (-1)^n + sum (n 1) (-1)^n
<BR>
<BR>Ora il secondo addendo vale palesemente round(n/2)*(-1)^n
<BR>Tramite l\'identità
<BR>
<BR>(a+1 2) - (a 2) = a^2 / 2
<BR>
<BR>Il primo addendo può essere ricondotto alla somma
<BR>
<BR>sum (2n)^2 = 4 sum n^2 = 2/3 * n(n+1)(2n+1)
<BR>
<BR>E aggiustando i pezzi otteniamo la tesi.
<BR>Bye.
<BR>
<BR>- NB
<BR>Più semplicemente:
<BR>Raggruppando i termini a 2 a 2 otteniamo la somma
<BR>3+7+11+..+(4j-1) =
<BR>4+8+12+..+4j - j =
<BR>4(1+2+3+...+j) - j = 2j^2 + j
<BR>Alchè è fatta.
<BR>- fine NB<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: J4Ck202 il 22-09-2003 14:52 ]

Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

1)se n è pari basta prendere i termini a due a due, a questo punto si ottiene la somma dei primi n/2 numeri dispari del tipo 4k - 1 moltiplicata per meno uno da cui:
<BR>-(4(1+2+...n/2) - n/2)=-(n(n+1)/2)
<BR>2)se n è dispari, basta prendere i termini a due a due saltando l\'uno, allora la sommatoria diventerà la somma dei primi (n-1)/2 numeri dispari del tipo 4k+1 più uno, allora si ottiene:
<BR>1+(4(1+2+..(n-1)/2) + (n-1)/2)=n(n+1)/2
<BR>==>in sintesi: - ((-1)^(n+1))*n(n+1)/2
<BR>
<BR>azz...non ho visto jack...
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 22-09-2003 15:02 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 22-09-2003 15:07 ]

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XT
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Messaggio da XT » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Si prega di non ricorrere all\'Abramovitz! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Che è l\'Abramovitz?
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Catraga
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Messaggio da Catraga » 01 gen 1970, 01:33

L\'Abramowitz è un super-mega-stra-ordinario formulario di matematica, che assieme all\'enciclopedia delle serie di Sloane e alle CRC-Tables cotituisce il corpus del \"cio di cui non puoi fare a meno\" di ogni matematico.
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