Riguardo alla sommatoria infinita di Elfi e Cerchi a Camelot sbagliata da LB, ecco un teorema che le risolve in modo generale.
<BR> PRIMO TEOREMA DI AUDRITO (Forse anche di qualcun\'altro: boh!)
<BR>
<BR>Dati 0<x<1 e un qualsiasi polinomio p(x) di grado d = deg(p),
<BR>
<BR>Sum(n, 0->inf) [p(n)*x^n] = Sum(n, 0->d) [(x^n)/((1-x)^n)*Sum(i, 0->n) [(-1)^i * Bimon(n, i ) * p(n-i)] ]
<BR>
<BR>Che è meno difficile di quel che sembra. Sum(i, 0->n) [(-1)^i * Bimon(n, i ) * p(n-i)] ad esempio è un numero (infatti perchè p(x) sia definito bisogna conoscere almeno deg+1 valori) e ha un significato ben preciso.
<BR>Suggerimento: provate a scrivere quel numero per ricorrenza, definendoli x-n(y) es:
<BR>x0(0) = p(0) ( x0(1) = p(1), x0(y) = p(y) )
<BR>x1(0) = x0(1) - x0(0) ( x1(y) = x0(y+1) - x0(y) )
<BR>x2(0) = x1(1) - x1(0)
<BR>
<BR>in gen: x-n(y) = x-n-1(y+1) - x-n-1(y)
<BR>
<BR>Questi numeri sono i Sum(i, 0->n) [(-1)^i * Bimon(n, i ) * p(n-i)].
<BR>E che cosa significano questi numeri?
<BR>
<BR>DIMOSTRATELO!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
Dimostratelo!
Moderatore: tutor
Certo che lo so, il tuo indirizzo! Però ho appena reinstallato Windows - dopo svariati problemi e esperimenti - e non ho neanche office, per cui non so cosa di meglio ti potrei spedire.
<BR>
<BR> Cerco di riesprimermi a parole. Quella formulettina-ina-ina serve se vogliamo calcolare una sommatoria infinita dei termini <!-- BBCode Start --><B>x^n</B><!-- BBCode End --> ciascuno moltiplicato per un certo coefficiente, in cui però i coefficienti seguono una legge polinomiale qualsiasi <!-- BBCode Start --><B>p(x)</B><!-- BBCode End -->. Naturalmente <!-- BBCode Start --><B>0<x<1</B><!-- BBCode End --> se no non converge. --------- spiegazione di <!-- BBCode Start --><B>Sum(n, 0->inf) [p(n)*x^n]</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>Il risultato di ciò è una sommatoria finita in n da 0 al grado del polinomio
<BR>dei termini <!-- BBCode Start --><B>(x^n)/((1-x)^(n+1))</B><!-- BBCode End --> , ciascuno moltiplicato per un certo coefficiente che è espresso dalla formula <!-- BBCode Start --><B>Sum(i, 0->n) [(-1)^i * Bimon(n, i ) * p(n-i)]</B><!-- BBCode End --> e si calcola solo dai primi deg+1 valori di p(x), peraltro necessari perchè il polinomio sia univocamente definito.
<BR>Quella brutta sommatoria è in realtà la successione degli <!-- BBCode Start --><B>qN(0)</B><!-- BBCode End --> che viene da questa succesione di polinomi:
<BR><!-- BBCode Start --><B>q0(x) = p(x)</B><!-- BBCode End -->
<BR><!-- BBCode Start --><B>qN+1(x) = qN(x+1) - qN(x)</B><!-- BBCode End -->
<BR>In realtà io ho trovato i coefficienti prima in questa forma, poi li ho formalizzati.
<BR>
<BR>L\'ho chiamato primo teorema di audrito per fare una sboronata, ma nessuno me l\'ha rimproverata! Io l\'ho dimostrato da solo, ma è pressochè sicuro che esistesse già.
<BR>
<BR>CiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiao
<BR>
<BR>------Non chiedetemi come faccia, ma con Ctrl-ins è + facile------
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<BR> Cerco di riesprimermi a parole. Quella formulettina-ina-ina serve se vogliamo calcolare una sommatoria infinita dei termini <!-- BBCode Start --><B>x^n</B><!-- BBCode End --> ciascuno moltiplicato per un certo coefficiente, in cui però i coefficienti seguono una legge polinomiale qualsiasi <!-- BBCode Start --><B>p(x)</B><!-- BBCode End -->. Naturalmente <!-- BBCode Start --><B>0<x<1</B><!-- BBCode End --> se no non converge. --------- spiegazione di <!-- BBCode Start --><B>Sum(n, 0->inf) [p(n)*x^n]</B><!-- BBCode End -->
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<BR>Il risultato di ciò è una sommatoria finita in n da 0 al grado del polinomio
<BR>dei termini <!-- BBCode Start --><B>(x^n)/((1-x)^(n+1))</B><!-- BBCode End --> , ciascuno moltiplicato per un certo coefficiente che è espresso dalla formula <!-- BBCode Start --><B>Sum(i, 0->n) [(-1)^i * Bimon(n, i ) * p(n-i)]</B><!-- BBCode End --> e si calcola solo dai primi deg+1 valori di p(x), peraltro necessari perchè il polinomio sia univocamente definito.
<BR>Quella brutta sommatoria è in realtà la successione degli <!-- BBCode Start --><B>qN(0)</B><!-- BBCode End --> che viene da questa succesione di polinomi:
<BR><!-- BBCode Start --><B>q0(x) = p(x)</B><!-- BBCode End -->
<BR><!-- BBCode Start --><B>qN+1(x) = qN(x+1) - qN(x)</B><!-- BBCode End -->
<BR>In realtà io ho trovato i coefficienti prima in questa forma, poi li ho formalizzati.
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<BR>L\'ho chiamato primo teorema di audrito per fare una sboronata, ma nessuno me l\'ha rimproverata! Io l\'ho dimostrato da solo, ma è pressochè sicuro che esistesse già.
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<BR>CiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiaoCiao
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AAARGH!
<BR>Non so cos\'ho fatto, ma è successo un bel casino. Questo forum è zeppo di bugs!
<BR>Come al solito non si può scrivere 0 minore x minore 1, e si sono sballati tutti i grassetti. Pazienza!
<BR>
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><I>La magia è il mio filo, la volontà il mio ago con cui intesso nella tua mente...</I><!-- BBCode End -->
<BR>Non so cos\'ho fatto, ma è successo un bel casino. Questo forum è zeppo di bugs!
<BR>Come al solito non si può scrivere 0 minore x minore 1, e si sono sballati tutti i grassetti. Pazienza!
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<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><I>La magia è il mio filo, la volontà il mio ago con cui intesso nella tua mente...</I><!-- BBCode End -->
Anch\'io intendevo un documento word con ampio uso di Equation Editor, ma non avendo né l\'uno né l\'altro non ho potuto.
<BR>Ovviamente per p(x) = 0 non funziona, anche perchè d = deg(p) non è definito, ma è un caso così ovvio che mi rifiuto di trattarlo.
<BR>Con p(x) = 1 funziona, perchè no? Dà 1/(1-x) che è la risposta giusta.
<BR>Ma mi sono accorto adesso che nel primo testo del problema c\'è un errore: è (x^n)/((1-x)^(n+1)) e non (x^n)/((1-x)^n); nella riscrittura è giusto.
<BR>Cmq la dim non è così difficile... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>Ovviamente per p(x) = 0 non funziona, anche perchè d = deg(p) non è definito, ma è un caso così ovvio che mi rifiuto di trattarlo.
<BR>Con p(x) = 1 funziona, perchè no? Dà 1/(1-x) che è la risposta giusta.
<BR>Ma mi sono accorto adesso che nel primo testo del problema c\'è un errore: è (x^n)/((1-x)^(n+1)) e non (x^n)/((1-x)^n); nella riscrittura è giusto.
<BR>Cmq la dim non è così difficile... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
Faccio un altro es. p(x) = x + 1. La formula dà:
<BR>1/(1-x) + x/((1-x)^2) = (1-x+x)/((1-x)^2) = (1/(1-x))^2
<BR>E si può anche ricavare così (poniamo s = sum(n, 0->inf) x^n = 1/(1-x) ):
<BR>1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4......
<BR>Raccogliamo s:
<BR>s + sx + sx^2 + sx^3 + sx^4 .... =
<BR>s( 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 ...... ) = s*s = (1/(1-x))^2
<BR>Non vedo perchè non dovrebbe funzionare, anche perchè l\'ho dimostrata....
<BR>
<BR>Forza ma_go!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><I>------ non sempre la forza agisce allo stesso modo .... -----</I><!-- BBCode End -->
<BR>1/(1-x) + x/((1-x)^2) = (1-x+x)/((1-x)^2) = (1/(1-x))^2
<BR>E si può anche ricavare così (poniamo s = sum(n, 0->inf) x^n = 1/(1-x) ):
<BR>1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4......
<BR>Raccogliamo s:
<BR>s + sx + sx^2 + sx^3 + sx^4 .... =
<BR>s( 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 ...... ) = s*s = (1/(1-x))^2
<BR>Non vedo perchè non dovrebbe funzionare, anche perchè l\'ho dimostrata....
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<BR><!-- BBCode Start --><I>------ non sempre la forza agisce allo stesso modo .... -----</I><!-- BBCode End -->