Diofantea

[Stoker]

Determinare tutte le soluzioni intere di x^2+y^2+z^2=x^2*y^2

[Biagio]

oltre alla sol. banale x=0, y=0, z=0, non ce ne sono.
<BR>se infatti supponiamo che y<>0, ==> x<>0
<BR>poniamo allora
<BR>k=(x^2+z^2)/y^2
<BR>h=(y^2+z^2)/x^2
<BR>otteniamo allora:
<BR>ky^2 + y^2=x^2
<BR>hx^2 + x^2=y^2
<BR>ma non si può avere che x^2|y^2 e viceversa, a meno che x=y,
<BR>ma in tal caso si ottiene:
<BR>2x^2 + z^2=x^4
<BR>da cui
<BR>z^2= x^2(x^2-2)
<BR>ma x^2 e (x^2-2) non possono essere entrambi quadrati perfetti.
<BR>

[Maus]

Propongo un\'altra soluzione. Consideriamo le congruenze mod4. Se x è dispari ci sono 2 casi: se y è pari il 2°membro è ==0, mentre il 1° può essere solo ==1,2; se y è dispari il 2°membro è ==1 e il 1° ==2,3.
<BR>Se x è pari sempre per le congruenze mod4 y e z sono pari. Ponendo x=2*x_1, y=2*y_2 e z=2*z_3, sostituendo e facendo analoghe considerazioni si vede che l\'equazione dà luogo ad una discesa infinita, quindi l\'unica soluzione è x=y=z=0.

[publiosulpicio]

Ma scusa, quando poni k=(x^2+z^2)/y^2 non dovrebbe rimanerti ky^2 + y^2=x^2*y^2 ??
<BR>

[Biagio]

porc... ora devo uscire, la completo quando torno
<BR>