Costante

[Stoker]

Ciao raga!!
<BR>Mi dispiace che abbiate ignorato il mio mex, per gli esami della Normale, poteva essere utile!!
<BR>Cmq eccovi un esercizietto facile facile:
<BR>Determinare la migliore costante (C) per cui valga sempre:
<BR>(x-y)(2y-x)<=Cxy con x e y reali
<BR>
<BR>Ciao

[logicus]

\"migliore\"? Intendi con approssimazione elevata (317 decimali)?

[Stoker]

esprimi il tutto con un numero irrazionale!!
<BR>tu cosa hai trovato?

[ma_go]

penso che per \"migliore\" intenda \"minima\", sbaglio?
<BR>beh, in tal caso essa è 3-2sqrt2...
<BR>se volete la dimostrazione, non avete che da chiedere...
<BR>comunque non è difficile scovarla: alla fin fine si tratta di applicare (ragionandoci) le medie...

[W28]

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<BR>
<BR>Vedi il forum su irrazionalità di PI

[Stoker]

Ok! centrato
<BR>Ah ma-go puoi postare il tuo ragionamento?, perchè io ho risolto l\'esercizio senza le medie e mi interesserebbe confrontare i due procedimenti
<BR>
<BR>Grazie!!

[ma_go]

dunque... riscriviamo il tutto come x²+2y² >= (3-C)xy... *
<BR>dividiamo ambo i membri per 2 e estraiamo la radice quadrata...
<BR>si ottiene che QM(x,y*sqrt(2)) >= sqrt[(3-C)/2sqrt(2)]*GM(x,y*sqrt(2)).
<BR>confrontando con la diseguaglianza tra le medie, si ha che (3-C)/2sqrt2 = 1, quindi C = 3-2sqrt2.
<BR>questo se x e y sono concordi.
<BR>se sono discordi è evidente che vale la disuguaglianza * per ogni (3-C) positiva, quindi per ogni C<3.
<BR>la miglior costante è quindi 3-2sqrt2