Baltic Way

[Stoker]

Salve a tutti!
<BR>Sono ormai alcuni anni che seguo il forum ma mi sono iscritto solo ora!
<BR>su internet ho trovato questo problema che vorrei risolveste:
<BR>I numeri reali a,b,c soddisfano le seguenti condizioni mod(a)=>mod(b+c); mod(b)=>mod(c+a); mod(c)=>mod(a+b) (con mod indico il valore assoluto del numero fra parentesi), dimostrare che a+b+c=0
<BR>
<BR>Grazie in anticipo!!!

[info]

Dato che nessuno capisce la mia ironia (però, che brutto fare dell\'ironia, è + bello ma difficile essere umoristi, anche se nn parlo certo dell\'umorismo di bassa lega; cercherò nel futuro di fare meglio...) dicevo, prima di lasciarvi come ultima fatica provo a rispondere al buon Stoker.
<BR>
<BR>Data la simmetria della situazione, poniamo mod(a)>=mad(b)>=mod(c).
<BR>Se b e c fossero discordi l\'equazione mad(a)=mad(b+c) si potrebbe riscrivere come mod(a)=mad(b)-mod(c). Ma questo è assurdo, in quanto se mad(a)>=mod(b) a maggior ragione è mod(b)-mod(c) [notiamo che questa differenza, per ipotesi, è sempre positica]. b e c sono quindi concordi.
<BR>
<BR>Di contro, se a e b fossero concordi, dalla terza equazione mod(c)=mod(a+b) otteniamo mod(c)=mad(a)+mod(b). Anche questo, per ipotesi, è assurdo, a e b sono quindi discordi.
<BR>
<BR>Possiamo quindi distinguere 2 casi
<BR>1) a positivo, b e c negativi;
<BR>2) a negativo, b e c positivi;
<BR>
<BR>Esaminiamo il primo caso: il sistema viene così a riscriversi:
<BR>a= -(b+c);
<BR>-b= a+c; (poichè mod(a)>mod(c));
<BR>-c= a+b; (per motivi simili)
<BR>Sommo le ultime 2:
<BR>-(b+c)=2a+b+c.
<BR>-(b+c)=a
<BR>Sottraggo:
<BR>a+b+c = 0
<BR>
<BR>Eseguendo lo stesso identico procedimento nel secondo caso, si arriva a:
<BR>-a-b-c=0........e cambiando i segni: a+b+c=0;
<BR>Credo quindi ora (salvo errori) di poter scrivere il fatidico c.v.d.
<BR>Ciao InFo<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 01-07-2003 20:46 ]

[Stoker]

Rilancio:
<BR>Determinare i valori del primo (p) per cui il polinomio
<BR>x^2+px-144p ha radici intere <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">

[alberto]

se p^2+(24^2)p è quadrato perfetto (a^2), allora la radice è intera;
<BR>a^2=p^2(1+(24^2/p));
<BR>bisogna che 1+(24^2/p) sia quadrato perfetto;
<BR>p divide 24 quindi è 2 o 3;
<BR>l\'unico valore di p che soddisfa la richiesta è 2

[EvaristeG]

siano a e b le soluzioni intere.
<BR>Si sa che:
<BR>
<BR>a+b=-p e ab=-144p
<BR>
<BR>Poichè a e b sono interi, essi dovranno essere della forma:
<BR>
<BR>|a|=2^h * 3^k e |b|= p*2^(4-h)*3^(2-k)
<BR>
<BR>per il segno: se |a|>|b| b<0; se |a|<|b| a<0.
<BR>
<BR>noi sappiamo che a+b=-p
<BR>
<BR>A seconda del segno, avremo che
<BR>
<BR>p=[2^h * 3^k]/[2^(4-h)*3^(2-k) +- 1]
<BR>
<BR>comunque, si vede che p potrà essere uguale a 2 o a 3, poichè questi sono gli unici primi che dividono il numeratore.
<BR>
<BR>Provando si nota che solo p=2 da soluzioni intere.
<BR>Azz, mi ha fregato alberto <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 02-07-2003 12:00 ]

[Stoker]

Eh già!!!
<BR>Bravi!
<BR>Ora, visto che la maggior parte di noi ha concluso con la matura e visto anche che a settembre in molti si presenteranno all\'esame della Normale, mi domandavo, perchè a turno non postiamo una seria di problemi in normal style, così potremmo prepararci e confrontare le soluzioni e magari, perchè no, conoscerci meglio!!
<BR>Che ne dite??
<BR>Rispondete numerosi...
<BR>Ciao a tutti

[Stoker]

up!
<BR>