OliForum Matematico

Un matematico ha la bella pensata di farsi una gita al Polo Nord partendo dall\'Equatore, ma è così rincoglionito che sbaglia direzione, ed invece di andare a Nord va a Nord-Est. Supponendo (senza perdere in generalità) che il matematico non abbia bisogno di mangiare nè di fermarsi o cambiare direzione, e che proceda in stato di trance a velocità costante sempre verso Nord-Est, dire se raggiungerà il Polo Nord prima del collasso dell\'Universo, ed in caso affermativo dopo quanto tempo (in funzione della sua velocità V e del raggio della Terra R).

effettivamente è un bel rincoglionito!!!

Concordo pienamente con Mola! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
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<BR>Cmq prima o poi dovrebbe arrivare, anche se la terra è un geoide, si può tranquillamente approssimarla ad una sfera...
<BR>
<BR>A ripensarci, però, dipende da come si intende Nord-Est...
<BR>a.) Va sempre secondo il Nord-Est della bussola --> non arriverà mai a causa della declinazione magnetica; ora come ora, se è molto veloce, dovrebbe arrivare in 70°N 100°W (l\'attuale posizione del polo Nord magnetico, che varia di anno in anno ruotando sul parallelo 70°N).
<BR>b.) Va sempre nella stessa direzione, che quindi sarà Nord-Est solo all\'inizio.
<BR>Ma il caso b si suddivide ancora...
<BR> b1.) Parte secondo il Nord-Est della bussola (e quindi il tutto dipende dal meridiano da cui parte).
<BR> b2.) Va in direzione Nord-Est nel senso che all\'inizio il vettore direzione crea un angolo di 45° con il meridiano da cui lui parte.
<BR>
<BR>Attendo...

Allora, Anti (o qualcun\'altro), qual è l\'interpretazione giusta?

fede, risolvi tutti i casi, poi ti diremo quel\'è quello giusto... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

a.) Va sempre secondo il Nord-Est della bussola
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<BR>credo che sia questo, e che suponiamo che il viaggiatore sia un punto, la terra una sfera, il polo nord magnetico e geografico coincidano ecc.
<BR>
<BR>alex

Beh, allora, a parte tutte le orribili semplificazioni che disapprovo, arriva certamente, in quanto, continuando a dirigersi verso Nord, dovrà rrivare al polo Nord, in quanto è il punto più a Nord.

credo anch\'io.
<BR>ma quanti ci mette?

per me funziona così:
<BR>se si dirige sempre verso NE allora (idealizzando secondo il modello di Alex) la sua traiettoria fa sempre 45° con la linea che lo collega al polo nord.
<BR>Ne segue, unica cosa che posso dire, che la proiezione della sua traiettoria sul piano equatoriale è una spirale logaritmica (in coordinate polari
<BR>r(a)=k*e^(ma) con r raggio e a angolo, k ed m costanti ed e numero di nepero).
<BR>Trovare poi la lunglezza , è una faccenda che solo qcuno + esperto di me può fare!!!
<BR>Ciao
<BR>Mircea
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<BR>

no
<BR>scusate
<BR>ho sbagliato
<BR>le cose non sono così semplici...
<BR>non va bene considerare la terra pianeggiante (!)
<BR>
<BR>Mi faccio risentire un\'altra volta con qualcosa di più preciso...
<BR>Mircea

Anti, visto che credo neppure tu avessi considerato che il polo magnetico non è il Polo Nord, proveresti anche tu a cimentarti nel caso più complesso (questo, appunto...)?

Orbene, certamente avevo considerato un modello di Terra abbastanza semplicistico, che corrisponde a quello descritto da Alex (e che peraltro è lo stesso che il matematico ha in mente). Aggiungo anche che il quesito non è così difficile come sembra...
<BR>
<BR>Riguardo gli altri casi che ha ipotizzato Fede, direi che non ci sono problemi di sorta:
<BR>a.) Se va sempre secondo il Nord-Est della bussola, ma vuole raggiungere il Polo Nord geografico, allora dipende dal punto dell\'Equatore da cui parte. E\' facile dimostrare che, fissato un punto P sull\'Emisfero Nord della Terra (diverso dal Polo Nord magnetico), esiste uno ed un solo punto di partenza sull\'Equatore che gli permetta di passare per P. [In realtà, a priori dipenderebbe anche dal parallelo su cui è situato il Polo Nord magnetico, ma se è superiore a 45°N (e secondo Fede è a 70°N), allora possiamo stare tranquilli.]
<BR>b2.) In questo caso non tocca nessuno dei 2 Poli Nord: infatti descrive una circonferenza massima inclinata di 45° rispetto all\'Equatore, quindi toccherà solo punti situati su paralleli da 0°N a 45°N. In particolare, non toccherà mai nè il Polo Nord geografico, nè quello magnetico, che si trovano rispettivamente a 90°N e 70°N.
<BR>b1.) Analogo al precedente, ma un po\' più complicato. Consideriamo gli angoli che le circonferenze massime che passano per il Polo Nord magnetico formano con l\'Equatore: si vede facilmente che variano da 70° a 110°. Quindi, partendo secondo il Nord-Est della bussola, le circonferenze massime percorribili formeranno con l\'Equatore degli angoli da 25° a 65°. Ma per passare per il Polo Nord geografico c\'è bisogno di un angolo di 90°, quindi niente da fare. Non si passa neanche per il Polo Nord magnetico, ovviamente, visto che la circonferenza massima percorsa è diversa dall\'unica circonferenza massima che unisce punto di partenza e Polo Nord magnetico.[addsig]

sarò semplicistico... localmente la sfera è approssimata da un piano (possiamo prenderla come definizione di bidimensionalità), dove l\'angolo vale 45°. Perciò a ogni minitratto dx nella componente N corrisponde un minitratto sqrt2*dx, integrando da 0 a pi/2*R, alla distanza da percorrere nella componente N corrsisponde una distanza sqrt2/2*pi*R e un tempo sqrt2/2*pi*R/V
<BR>(un risultato più interessante è che nel frattempo avrà fatto infiniti giri attorno alla Terra, il che comporta una velocità angolare nella componente E non indifferente, e problemi di stomaco invero fastiddiosi)

Giusto, DD. Ma come dimostri che la curva gira infinite volte attorno al Polo Nord?
<BR>
<BR>Comunque, alla fine della storia il matematico ha raggiunto il Polo Nord, e si concede un po\' di meritato riposo. Nel frattempo, pensa che per tornare indietro potrebbe ripercorrere lo stesso tragitto in senso inverso, quindi andando verso Sud-Ovest. Ma, dopo essersi reso conto che dal Polo Nord può spostarsi solo verso Sud, conclude che è impossibile ripercorrere la strada appena fatta. E dopo essersi accertato che il suo ragionamento ha perfettamente senso, sconsolato, esplode.

A un angolo dy=dx/r in direzione N corriponde un angolo dx/r*cos(x/r)=dy/cosy in direzione E. Integrando da 0 a pi/2, in direzione E risulta un angolo infinito (Int sec x=log tg (2x+pi)/4)