OliForum Matematico

Sulla settimana enigmistica è apparso questo problema ma con una soluzione erreta o incompleta; aiutatemi!
<BR>Disporre in una scacchiera 8x8 tutti i numeri naturali tra 1 e 64 (estremi inclusi) in modo tale che facendo la differenza tra i numeri scritti in caselle con un lato in comune il risultato sia sempre strettamente minore di 6.
<BR>

...continua il ravanamento nei messaggi morti e sepolti.
<BR>
<BR>Ho rinvenuto questa chicchina, che uppo volentieri.
<BR>
<BR>Le perplessità di Masso sono più che giustificate: in effetti la richiesta così come è formulata è impossibile.
<BR>
<BR>Chi se la sente di dimostrarlo?
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]

Esiste un percorso massimo da 1 a 64 in 12 \"mosse\". Ma 12*5 = 60 < 63...
<BR>
<BR>EDIT: Ah, auguri a tutti di buon anno! Perdonate il ritardo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 05-01-2005 12:12 ]

Non torna. La distanza-Torre massima di una scacchiera è 14, e quindi il divario massimo è 70, sufficiente per coprire la differenza.

E\' vero. Ho fatto uno schizzo con una 7x7, sbagliando a contare (ho preso poco caffè stamattina). Allora in linea teorica sembra possibile, cosa ti fa sospettare che non lo sia? <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 05-01-2005 11:47 ]

...Perché ho in mano una dimostrazione che \'un si pole.
<BR>
<BR>Che la differenza sia abbastanza ampia è NECESSARIO perché si possa. Ma è anche sufficiente? Io sostengo di no...
<BR>
<BR>Avanti, avanti, ché risolto questo, ho già pronto il carico da undici da calarci sopra...

Scusate l\'immane ignoranza, ma cosa vuol dire \"percorso massimo\", e come lo si conta?

Ciao.
<BR>
<BR>Non è ignoranza: semplicemente abbiamo dato un po\' di cose scontate. Quello su cui stiamo discutendo è il seguente fatto:
<BR>
<BR>Su una scacchiera 8x8, prendendo due case qualsiansi, esiste un percorso di Torre che tocca al massimo 14 case che va dall\'una all\'altra.
<BR>
<BR>Dim.: Sia A la casa di partenza, sia B quella di arrivo. Prendo il seguente cammino: mi muovo trasversalmente dalla colonna di A alla colonna di B; poi mi muovo lungo la colonna fino a B. Ognuna di queste mosse di torre è lunga al massimo 7, e quindi il cammino totale è lungo al massimo 14. []
<BR>
<BR>DB ha cercato di usare questo fatto nel seguente modo: seguendo un percorso di Torre, ogni volta che tocco una casella nuova, il numero contenuto può aumentare di cinque al massimo (per ipotesi). Ora, è possibile andare dalla casella che contiene 1 alla casella che contiene 64 con al massimo 14 passi. Il massimo raggiungibile è perciò 1+14*5 (ossia 14 aumenti di al massimo 5 ognuno) = 71. DB, sbagliando i conti, era arrivato a 1+12*5 = 61 e quindi non c\'era modo di sistemare 1 e 64 abbastanza lontano: la scacchiera è troppo piccola. Purtroppo però, il risultato vero è 71 e quindi il suo ragionamento crolla.
<BR>
<BR>Va meglio?
<BR>
<BR>M.[addsig]

Perfetto, grazie mille. Ora devo solo documentarmi su questo \"percorso di Torre\", non ne avevo mai sentito parlare prima (sono in 4^ liceo scientifico, e ho ancora una marea di cose da imparare <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> )

Non devi documentarti: ti basta saper giocare a Scacchi. Per \"percorso di Torre\" intendo semplicemente un percorso che una Torre degli Scacchi può seguire (ossia formato da una successione di caselle che hanno un lato in comune). La \"distanza-Torre\" è la lunghezza del cammino più breve che congiunge gli estremi. Il fatto che ti ho dimostrato nel post precedente lo puoi riformulare dicendo che la massima distanza-Torre possibile su una scacchiera 8x8 (che, se vuoi, puoi anche chiamare \"diametro-Torre\") è 14.
<BR>
<BR>Non è terminologia standard, ma per chi sa giocare a Scacchi dovrebbe risultare obbastanza chiara.
<BR>
<BR>Esercizi a margine: quante vale il diametro-Re (facile)? Il diametro-Cavallo (difficile)? Il diametro-Alfiere (occhio!!)?
<BR>
<BR>

Per \"congiunge gli estremi\" intendi gli estremi in diagonale della scacchiera oppure gli estremi relativi ad ogni pedina (ad esempio, i due re, se non sbaglio, sono l\'uno di fronte all\'altro, quindi la distanza minima è 7)?

Sono contento che sia tornato a galla questo problema perchè all\'epoca ci avevo passato un mucchio di tempo ed ero anche giunto alla generalizazione dell\' n minimo affinche si possano scrivere i naturali tra 1 e k^2 in una scacchiera di lato k con caselle adiacenti che abbiano come differenza massima n; ma purtroppo non ricordo più la soluzione e come direbbe Gobbino se non ci si ricorda la soluzione è come non averlo mai fatto <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
<BR>
<BR>@dimpim: per \"congiungere gli estremi\" di solito si intende gli estremi in diagonale della scacchiera
<BR>
<BR>@marco: il \"diametro-cavallo\" mi risulta 6, perchè ogni volta che ci si sposta si cambia la parità delle coordinate e perciò bisogna spostarsi per un numero pari di volte, inoltre con quattro spostamenti ci si sposta al più di 12 caselle-torre che è chiaramente troppo poco; in un gara la soluzione potrebbe finire qua o bisognerebbe fornire anche la serie di 6 mosse che risolvono il quesito?
<BR>PS: ho anche la configurazione vincente ma vien difficile spiegarla a voce <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-05 13:19, dimpim wrote:
<BR>Per \"congiunge gli estremi\" intendi gli estremi in diagonale della scacchiera oppure gli estremi relativi ad ogni pedina (ad esempio, i due re, se non sbaglio, sono l\'uno di fronte all\'altro, quindi la distanza minima è 7)?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Hai ragione: ho sottaciuto di nuovo troppa roba. Deformazione professionale. Allora ti racconto la storia fino in fondo.
<BR>
<BR>No: avete mal-interpretato entrambi: la distanza si misura tra coppie di punti (= di case della scacchiera) gli \"estremi\" sono i punti di cui volete misurare la distanza.
<BR>
<BR>In matematica, si dice <!-- BBCode Start --><I>distanza</I><!-- BBCode End --> tra due punti (= elementi) di un certo insieme X una funzione a due argomenti e valori reali
<BR>
<BR>d: X x X -- > R
<BR>
<BR>che soddisfa i seguenti assiomi:
<BR>
<BR>d(x,y) = 0 se e solo se x = y
<BR>d(x,y) = d(y,x) [simmetria]
<BR>d(x,z) < = d(x,y) + d(y,z) [disuguaglianza triangolare: facendo deviazioni, la distanza totale aumenta]
<BR>
<BR>per tutti i valori possibili di x,y,z.
<BR>
<BR>Nel nostro caso scacchistico, date due case A e B, definisco d(A,B) come il minimo numero di case che una Torre deve attraversare per poter andare da A a B, cioè, di tutti i percorsi di Torre che vanno da A a B, scelgo il più breve e lo misuro.
<BR>
<BR>Per poterla chiamare \"distanza\" dovrei verificare che soddisfa i tre assiomi. (cosa che ti lascio fare per esercizio). Questa è la distanza-Torre.
<BR>
<BR>Ad esempio: d(c1,f3) = 3.
<BR>
<BR>Altro esempio: i due re avversari quando partono si fronteggiano. E la loro d-Torre è, come giustamente dici, 7.
<BR>
<BR>Il <!-- BBCode Start --><I>diametro</I><!-- BBCode End --> di un insieme è invece il massimo che prende la funzione d(-,-) al variare di tutti i valori possibili.
<BR>
<BR>(si chiama diametro, perché se prendi come distanza la distanza solita, quella con cui siamo diventati tutti grandi, e come insieme, i punti di un cerchio, il massimo possibile per la distanza solita è per l\'appunto il diametro del cerchio. Btw, i matematici non la chiamano \"distanza solita\", ma preferiscono chiamarla \"distanza euclidea\", ma si sa, i matematici sono gente strana...)
<BR>
<BR>Il Fatto che ti ho dimostrato dice che, comunque presi A e B, la distanza Torre è < = 14. Non è proprio come dire che il diametro-Torre di tutta la scacchiera fa 14, ma quasi. Che cosa manca? Manca di fare vedere che <!-- BBCode Start --><B>esistono</B><!-- BBCode End --> due case la cui d-Torre sia proprio 14. Queste due case sono gli angoli opposti, che distano appunto 14.
<BR>
<BR>@Masso: il diametro-Cavallo è 6, ma ti manca un pezzo di soluzione: chi ti assicura che i punti diametralmente lontani sono gli angoli opposti? Ad esempio: sei in grado di andare da a1 a h7 in meno di sei mosse (= in cinque, vista la parità)? Il tuo sketch dimostra solo che il diametro è >= 6.
<BR>
<BR>Per descrivere la configurazione vincente a voce non è poi così difficile: \"a1-b3-d4-c6-e5-f7-h8\"
<BR>
<BR>Ma mi pare che stiamo un po\' scivolando off-topic...
<BR>
<BR>Alla prox.
<BR>
<BR>M.
<BR>
<BR>EDIT: Corretta la condizione d(x,x). Grazie Mind.
<BR>
<BR>
<BR>\"Maybe. But so great a claim will need to be established, and clear proofs will be required.\"<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: marco il 07-01-2005 08:40 ]

Spiegazione più che esauriente, grazie mille! Ora posso iniziare a lavorarci sopra (a dire il vero dovrei studiare latino, ma, tutto sommato... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> )

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-05 14:53, marco wrote:
<BR>In matematica, si dice <!-- BBCode Start --><I>distanza</I><!-- BBCode End --> tra due punti (= elementi) di un certo insieme X una funzione a due argomenti e valori reali
<BR>
<BR>d: X x X -- > R
<BR>
<BR>che soddisfa i seguenti assiomi:
<BR>
<BR>d(x,x) = 0 [\"riflessività\"]
<BR>d(x,y) = d(y,x) [simmetria]
<BR>d(x,z) < = d(x,y) + d(y,z) [disuguaglianza triangolare: facendo deviazioni, la distanza totale aumenta]
<BR>
<BR>per tutti i valori possibili di x,y,z.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Perdonami, ma dimentichi di dire che d(x,y) non è 0 per x diverso da y.