Problemuccio

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Moderatore: tutor

Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

ok raga, forse ho la soluzione!!
<BR>caso 1) p = 2 allora si ha che:
<BR> 2^x - 1 = y^2, che considerando i resti quadratici modulo 4,
<BR> y^2==1 (mod4) perchè dispari
<BR> ==> 2^x==2 (mod4), ma cio è vero solo per x=1,
<BR> da cui si arriva alla sol. p=2, x=1, y=1
<BR>caso 2) p > 2 allora si ha che:
<BR> p^x -1 = y^p con y pari
<BR> ==>p^x=y^p+1^p=(y+1)(1-y+y^2...+y^(p-1)) siccome p è dispari
<BR> caso 2a)y=1 ==> non ci sono soluzioni
<BR> caso 2b)y>1 poiché (1-y+y^2...+y^(p-1))>=(y+1)>1
<BR> ==> y+1=p^a, 1-y+y^2...+y^(p-1)=p^b con b>=a e b+a=x
<BR> ==>p^a deve dividere sia y+1,che 1-y+y^2...+y^(p-1),
<BR> ma se y+1==0 (mod p^a) ==> y==-1 (mod p^a)
<BR> ==> 1-y+y^2...+y^(p-1)==p (mod p^a)
<BR> ==> 1-y+y^2...+y^(p-1)==0 (mod p^a) se e solo se a=1
<BR> ==> anche b=1, altrimenti 1-y+y^2...+y^(p-1)==0 (mod p^a) con a>1
<BR> ==> p^x=p*(1-(p-1)+(p-1)^2-(p-1)^3...+(p-1)^(p-1))
<BR> ==> 1-(p-1)+(p-1)^2-(p-1)^3...+(p-1)^(p-1))=p e y-1=p
<BR> ==> p^x=p^2, da cui si deduce che x=2
<BR> ==> si giunge finalmente a p^2=(p-1)^p + 1
<BR> poichè p>2, la funzione di destra crescerà più velocemente di quella di sinistra ed in particolare ciò si verifica per ogni p>3, e nel caso particolare di p=3, si ottiene la soluzione p=3, x=2, y=2
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

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mens-insana
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Messaggio da mens-insana » 01 gen 1970, 01:33

Grande BIAGIO!!!!!!![addsig]
<b>Un problema degno di essere attaccato si dimostra tale resistendo agli attacchi. <i>Piet Hein</i></b>

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XT
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Messaggio da XT » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>==>p^x=y^p+1^p=(y+1)(1-y+y^2...+y^(p-1)) siccome p è dispari
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>
<BR>qua mi perdo, non ho capito il raccoglimento, tutto il resto mi è chiaro. Qualcuno mi illumina?
<BR> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: XT il 28-05-2003 19:02 ]
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thematrix
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Messaggio da thematrix » 01 gen 1970, 01:33

molto semplice:
<BR>hai presente a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)?
<BR>il principio è esattamente lo stesso,solo che è applicato a una potenza maggiore
<BR>difatti,se non sbaglio,a^n+b^n=(a+b)((a^n-1 )- (a^n-2)(b)+...-(a)(b^n-2)+(b^n-1)),con n dispari
<BR>PS chiedo scusa xkè nn ho risp in chat,non ho sentito l\'arrivo...
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: thematrix il 28-05-2003 19:09 ]
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thematrix
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Messaggio da thematrix » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-05-24 13:40, mario86x wrote:
<BR>le uniche potenze la cui differenza è 1 sono 3^2 e 2^3.
<BR>non mi ricordo come si chiamava il teorema e dove l\'ho letto, ma credo fosse così.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Si chiama congettura di Catalan,e in questo sito c\'è anche un forum al riguardo...
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Messaggio da thematrix » 01 gen 1970, 01:33

ecco,ora la pagina dovrebbe essere visualizzata bene
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alberto
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Messaggio da alberto » 01 gen 1970, 01:33

ecco un problema simile (cortona-pisa 2003/1)
<BR>(non so se è permesso postarlo...se mi verranno fatte minacce lo cancellerò)
<BR>19^a - p^b= 2^a
<BR>trovare le terne a,p,b di interi positivi
<BR>
<BR>
<BR>p primo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: alberto il 29-05-2003 15:09 ]

pennywis3
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Messaggio da pennywis3 » 01 gen 1970, 01:33

VAI NEL RETRO SANATAAAAAAAAA!!!!
ok, è vero, mangio i bambini, ma d\'altronde sono più teneri.... e poi voi per pasqua non mangiate tutti quei poveri agnellini?

Mef
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Messaggio da Mef » 01 gen 1970, 01:33

Sicuro che a,p,b siano semplicemente interi? Non è che magari p è primo?

Ospite

Messaggio da Ospite » 01 gen 1970, 01:33

mef p dovrebbe essere primo se no...cacchiolina! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [addsig]

Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

salve salvino... sulla spinta della sconfitta della juve <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> ,provo a trovare qualche motivo di distrazione nella matematica!
<BR>(se p intero)
<BR>19^a - 2^a=p^b
<BR>1 caso) se a pari con a=2c
<BR> ==> (19^c-2^c)(19^c+2^c)=p^b
<BR> ==> poiché 19^c+2^c >=19^c-2^c>1
<BR> ==> p deve dividere entrambi, dunque 19^c==2^c (modp)
<BR> che sostituendo nel secondo fattore si ottiene 2^c+2^c==0 (modp)
<BR> ==>assurdo perchè p dispari
<BR>2 caso) se a dispari
<BR> ==>(sempre per la solita scomposizione)
<BR> (19-2)(19^(a-1) + 19^(a-2)2 + ....19*2^(a-2) + 2^(a-1))=p^b
<BR> che è come dire (17)(19^(a-1) + 19^(a-2)2 + ....19*2^(a-2) + 2^(a-1))=p^b
<BR> da cui si ricava che p=(17*d)^b, si ha però che
<BR> (19^(a-1) + 19^(a-2)2 + ....19*2^(a-2) + 2^(a-1))==a*2^(a-1) che non può ovviamente essere ==0 (mod17)
<BR> ==> a parte la sol. banale a=1, b=1, p=17, non ci sono altre soluzioni.
<BR> se b maggiore di 1, si avrebbe infatti che la scomposizione di p^b conterrebbe 17^1, il che è impossibile.
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 28-05-2003 22:57 ]

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XT
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Messaggio da XT » 01 gen 1970, 01:33

grazie thematrix e non ti preoccupare se non mi hai visto, sarà per un\'altra volta <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>ora scappo che sono pieno di compiti fino al collo
"Signore, (a+b^n)/n=x, dunque Dio esiste!" (L.Euler)

alberto
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Messaggio da alberto » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-05-28 22:51, Biagio wrote:
<BR>....
<BR>si ha però che
<BR> (19^(a-1) + 19^(a-2)2 + ....19*2^(a-2) + 2^(a-1))==a*2^(a-1) che non può ovviamente essere ==0 (mod17)
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>perchè no?
<BR>
<BR>PS: p primo

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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

azz... se a è divisibile per 17... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>beh, ora ci proverò per p primo(comunque la prima parte va bene.

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