Quadrati e cubi smussati

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

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Galois85
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Messaggio da Galois85 » 01 gen 1970, 01:33

voglio la terza stelletta!!!
Evariste Galois

Fede_HistPop
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Messaggio da Fede_HistPop » 01 gen 1970, 01:33

Si vede!!!!!
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WindowListener
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Messaggio da WindowListener » 01 gen 1970, 01:33

ma_go visto che hai già fatto metà del lavoro riesci a darmi l\'equazione in forma parametrica...... se si credo di avere trovato una soluzione (sinceramente di mio nn c\'è proprio nulla) utilizzando gli integrali curvilineii ....
<BR>
<BR>ciao
import javax.swing.geom.*;

ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

spiegati meglio please... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">

WindowListener
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Messaggio da WindowListener » 01 gen 1970, 01:33

se mi puoi dare la funzione in forma parametrica
<BR>
<BR>x = f(t);
<BR>y = g(t);
<BR>
<BR>questa è una possibile riformulazione
<BR>
<BR>x = t^(1/4)
<BR>y = (1-t)^(1/4)
<BR>
<BR>ma nn so se ce ne siano di migliori .... altrimenti integrare questa è un pelo difficile....
<BR>
<BR>se hai ancora dubbi chiedi...
import javax.swing.geom.*;

afullo
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Messaggio da afullo » 01 gen 1970, 01:33

può essere utile notare come l\'area di x^2k+y^2k=1 tende a 1 avvicinandosi k all\'infinito (l\'esponente deve però essere pari). è solo una considerazione
Iscritto all'OliForum dal 19/02/2003, giorno delle selezioni provinciali individuali di quell'anno.

2003 : 9 punti - menzione (193°) | 2004 : 19 - argento (33°) | 2005 : 21 - bronzo (69°) | 2006 : 25 - argento (20°)

Finalista nazionale capitano della squadra dell' ITC B. Pascal di Giaveno (TO) - 2005: 6° | 2006: 8°

Attuale Allenatore (dal 2008/2009) del LS N. Copernico di Torino, del LS G. Ferraris di Torino, e (dal 2011/2012) del LS I. Newton di Chivasso (TO).

Belegrand
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Messaggio da Belegrand » 01 gen 1970, 01:33

Scusate che forse sto cannando tutto o non ho capito cosa ha detto ma_go, ma il raggio della curva non è costante, e mi sembra che lo abbia considerato così. Ditemi dove sbaglio![addsig]
Cogito ergo sum.

ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

il raggio non è affatto costante, altrimenti sarebbe una circonferenza, e altrimenti sqrt2=1, che non mi pare proprio correttissima...
<BR>comunque... non ho mai pensato ad una parametrica, sinceramente... però potrebbe essere un\'idea... ma di fatto convertire in coordinate polari non è parametrizzare il tutto??
<BR>certo, forse non è il miglior modo di farlo, però...

Mathema
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Messaggio da Mathema » 01 gen 1970, 01:33

Hola Ma_go! Scusa, ma qual è l\'equazione di quella specie di quadrato smussato, in coordinate polari? No, perchè a me viene qualcosa di piuttosto intoccabile... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">

ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

x^4+y^4=1 => (r^4)*[(senp)^4+(cosp)^4]=1 => r = g(p) = [((senp)²+(cosp)²)²-(2cosp*senp)²/2]^(-1/4) = (1-(sen2p)²/2)^(-1/4) =>
<BR>g²(p) = sqrt(2)/sqrt(1+1-(sen2p)²) = sqrt(2)/(sqrt(1+(cos2p)²).
<BR>4*int[(1-x^4)^(1/4),0,1]dx = 4sqrt(2)*int[(1+(cos2p)²)^(-1/2),0,pi/2]dp = -2sqrt(2)*int[(t-t³)^(-1/2),1,0]dt
<BR>sempre che non abbia cannato qualche conto idiota...
<BR>
<BR>ps. ma_go, please, non Ma_go...

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

up!
<BR>mi kiedevo una cosa...esplicitando la y nell\'equazione (kiaramente si perde il pezzo sotto, ma tanto per la simmetria già notata da ma_go non ci sono problemi) e integrando la funzione ottenuta nell\'intervallo [0;1] con metodi \"classici\" (ovvero niente coordinate polari o limiti di somme, ma solo calcolo integrale) non ci sono speranze???
<BR>i miei tentativi sono stati totalmente inutili, ma magari qulacuno + esperto può riuscirci...
<BR>se può aiutarvi la funz circonferenza da 0 a 1 si può integrare x sostituzione ponendo x=cost, xkè poi sqrt(1-cos^2t)=sqrt(sen^2t)=sent ovviamente se c\'è una radice quarta le cose si complicano...
<BR>beh, pensateci...io il sasso l\'ho buttato... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>bye
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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Occhio a dove li tiri, certi macigni, talpuz...
<BR>cmq, visto che la discussione era da un po\' di tempo morta, posto, come tentativo di rianimazione un mio tentativo di soluzione, arenatosi a metà:
<BR>
<BR>(1-x^4)^(1/4) = 1/2*(1-x^4)^(1/4)+1/2*(1-x^4)^(1/4) (bella scoperta....)
<BR>
<BR>d/dx 1/2*(1-x^4)^(1/4)= - x^3/(2*(1-x^4)^(3/4)) (e anche qui, niente di che...)
<BR>
<BR>ora, poichè d/dx x =1 e -x^3 * x= -x^4 (da far invidia a Lapalisse...)
<BR>
<BR>d/dx x/2*(1-x^4)^(1/4) = -x^4/(2(1-x^4)^(3/4)) + 1/2*(1-x^4)^(1/4) (...)
<BR>
<BR>vediamo che (1-x^4)/(2(1-x^4)^(3/4) = 1/2*(1-x^4)^(1/4) dunque
<BR>
<BR>(1-x^4)^(1/4)=-x^4/(2(1-x^4)^(3/4))+1/2*(1-x^4)^(1/4)+1/(2(1-x^4)^(3/4))
<BR>
<BR>da cui, Int[(1-x^4)^(1/4)]dx= x/2*(1-x^4)^(1/4) + Int[1/(2(1-x^4)^(3/4))]dx
<BR>
<BR>Ecco, si accettano suggerimenti per la risoluzione di quel integrale restante... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>Ripeto la domanda del mio ultimo messaggio su questo forum: sono proprio fuori strada? Jack o chiunque altro sappia o creda di sapere, rispondetemi!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Ho capito che sono l\'unico che sta ancora tentando di risolvere questo problema, ma visto che mi piace....
<BR>dunque, eravamo (ero) arrivati a dire che
<BR>
<BR>Int[ (1-x^4)^(1/4),x]= 1/2x(1-x^4)^(1/4)+Int[1/2(1-x^4)^(-3/4),x]
<BR>
<BR>ora, (1-x^4)^(-3/4)=1+3/4x^4+21/32x^8+77/128x^12+... sviluppando la serie;
<BR>
<BR>questa serie può essere scritta come
<BR>
<BR>Sum[a=0.....Inf,x^4a*1/2^a*Sum dove C(k;h) è il coefficiente binomiale
<BR>
<BR>integrando e raccogliendo una x si ottiene
<BR>
<BR>x*Sum[a=0.....Inf,x^4a * 1/2^a * 1/(4a+1)*Sum
<BR>
<BR>e se qualcuno avesse voglia di calcolare il rapporto tra un coefficiente e il precedente, otterrebbe che tale valore è
<BR>
<BR>x^4*[(a+1/4)*(a+3/4)]/[(a+1)*(a+5/4)]
<BR>
<BR>ma allora quella serie è una serie ipergeometrica :
<BR>
<BR>2F1 (1/4,3/4,5/4,x^4)
<BR>
<BR>e dunque l\'integrale di (1-x^4)^(1/4) è
<BR>
<BR>1/2x*(1-x^4)^(1/4) + 1/2x* 2F1 (1/4,3/4,5/4,x^4)
<BR>
<BR>Adesso rimane il problema di integrare tra 0 e 1 e moliplicare per 4...per farlo serve sapere che
<BR>
<BR>2F1(1/4,3/4,5/4,1)=G(5/4)*G(1/4)/G(1/2) dove G è la funzione gamma
<BR>
<BR>=G(5/4)*G(1/4)/(2*Pi^(1/2))
<BR>
<BR>mentre è ovvio che 2F1(1/4,3/4,5/4,0)=1
<BR>
<BR>Quindi l\'integrale definito è
<BR>
<BR>G(5/4)*G(1/4)/(2*Pi^(1/2)) e l\'area è
<BR>
<BR>2*G(5/4)*G(1/4)/Pi^(1/2)
<BR>
<BR>circa 3,70815....
<BR>
<BR>In effetti il problema era simpatico <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 14-06-2003 11:07 ]
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 14-06-2003 11:16 ]

publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 01 gen 1970, 01:33

mmm... carino come ragionamento...e ti confermo che il risultato che trovi è esatto, ma un paio di domande: quando sviluppi la serie cosa sono m e k?E come diavolo hai fatto a riscriverla così?

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Sarò breve e onesto: i k e gli m sono spariti poichè erano errore di trascrizione... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>la serie ho potuto riscriverla così poichè ho trovato una serie che era 1 3/2 21/8 77/16 ... e quindi mi è bastato moltiplicare per 1/2^a per ottenere quello che serviva a me....(ho un po\' barato...)
<BR>Tu come l\'hai risolto?

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