Disuguaglianza olimpica

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pennywis3
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Messaggio da pennywis3 » 01 gen 1970, 01:33

Ecco un problema serie IMO 1978:
<BR>
<BR>Data una sequenza di interi positivi distinti {a[1], a[2],..., a[n],...} Dimostrare che per ogni n si ha:
<BR>SUM[k=1, n](a[k]/k^2) >= SUM[k=1, n] (1/k)
<BR>
<BR>Risolvetelo e potrete vantarvi con i vostri amici che nel 1978 anche voi avreste vinto una menzione d\'onore.
<BR>
<BR>
<BR>~p3~
ok, è vero, mangio i bambini, ma d\'altronde sono più teneri.... e poi voi per pasqua non mangiate tutti quei poveri agnellini?

ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

up!
<BR>questo problema è molto interessante, e non è difficillimo!

Luke04L
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Messaggio da Luke04L » 01 gen 1970, 01:33

Qualcuno può postare una soluzione formale?
<BR>Ho trovato una soluzione, ma la dimostrazione è scadente... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
<BR>Io ho preso il primo membro minimo ed ho così ottenuto l\'uguaglianza...
<BR>voi come avete fatto?
Luca M.

ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

in che senso \"il primo membro minimo\"?

Luke04L
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Messaggio da Luke04L » 01 gen 1970, 01:33

cioè a1=1,a2=2...an=n...
<BR>(ho preso i primi n interi positivi e li ho disposti in modo tale che la somma del primo membro sia minimo)
Luca M.

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

Se {b[1], b[2], ..., b[n]} e\' una permutazione che mette in ordine strettamente crescente gli {a} per la proprieta\' dei riarrangiamenti si ha che:
<BR>
<BR>
<BR>SUM[k=1, n](a[k]/k^2) > = SUM[k=1, n] (b[k]/k^2) .
<BR>
<BR>Ma essendo b > =i, si ha che
<BR>
<BR>SUM[k=1, n] (b[k]/k^2) > = SUM[k=1, n] (k/k^2)=SUM[k=1, n] 1/k.
<BR>

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

Ho scoperto, visitando il sito <a href="http://www.kalva.demon.co.uk/imo/imo78.html" target="_blank" target="_new">http://www.kalva.demon.co.uk/imo/imo78.html</a>, di aver dato la stessa soluzione che si trova cola\': del resto il problema e\' quello e la soluzione e\' praticamente obbligata.
<BR>
<BR>Ho trovato pero\', una soluzione diversa da quella cola\' proposta, di un altro problema delle IMO dello stesso anno , il seguente:
<BR>
<BR>In the triangle ABC, AB = AC. A circle is tangent internally to the circumcircle of the triangle and also to AB, AC at P, Q respectively. Prove that the midpoint of PQ is the center of the incircle of the triangle.
<BR>
<BR>

DD
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Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

l\'omotetia H di centro A e rapporto 1/cos^2(BAC/2) manda il punto medio di PQ nel centro della circonferenza tangente, e il punto medio di BC nel punto di c(ABC) diametralmente opposto ad A.
<BR>La circonferenza tangente è ovviamente la cirocnferenza circoscritta a H(ABC)
<BR>
<BR>è uguale alla tua, a quella del sito o a nessuna?
<BR>
<BR>(il bello dei problemi di geometria è che lasciano più spazio alla fantasia)
[img:2sazto6b]http://digilander.iol.it/daniel349/boy_math_md_wht.gif[/img:2sazto6b]

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

Si. Ho pensato anch\'io di usare l\'omotetia delle figure.

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