questi 2 problemi mi assillano da parecchio tempo e non riesco a venirne a capo.
<BR>
<BR>1)Siano A,B,C,D quattro vertici di un n-agono regolare. Si sa che (1/AB)=(1/AC)+(1/AD). Determinare n. (vi prego di non usare, se possibile, una dimostrazione che sfrutti la trigonometria)
<BR>
<BR>2) (+ difficilotto credo) Sia A l\'insieme dei punti formati dai vertici di un quadrato e di altri 7 punti all\'interno del quadrato. Se il quadrato ha lato 1, dimostrare che almeno uno dei triangoli formati dai punti dell\'insieme A ha area <= 1/16
2 problemi
Moderatore: tutor
2) tracciamo una diagonale del quadrato.
<BR>per il principio dei cassetti in uno dei due triangoli formati dai vertici del quadrato ci saranno almeno 4 punti.
<BR>supponiamo che in A non ci siano punti allineati, altrimenti avremmo già trovato un triangolo di area 0.
<BR>dei quattro punti all\'interno di uno dei 2 triangoli ne scegliamo tre e costruiamo il triangolo che ha per vertici questi 3 punti.
<BR>per ogni vertice di questo tracciamo il segmento che lo unisce a un solo vertice del triangolo formato dai vertici del quadrato, in modo che ogni vertice del triangolo esterno sia collegato con 1 e 1 solo vertice del triangolo interno (la dimostrazione che ciò è possibile è facile...se volete che la posto chiedetelo).
<BR>si sono foemati in questo modo 3 quadrilateri, dividiamo ognuno di essi in due triangoli.
<BR>ora in tutto abbiamo diviso il triangolo esterno in 7 triangoli.
<BR>a questo punto riprendiamo il quarto punto che non avevamo considerato; esso si troverà all\'interno di uno dei 7 triangoli.
<BR>tracciamo tre segmenti che collegano il punto ai vertici del triangolo in cui è contenuto, dividendolo così in 3 triangoli .
<BR>a questo punto abbiamo diviso il triangolo di area 1/2 in 9 triangoli.
<BR>è chiaro che questi 9 triangoli non possono avere tutti area > di 1/18. ce ne sarà almeno uno con area <=1/18 (mi sono permesso di migliorare il risultato <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> )
<BR>per il principio dei cassetti in uno dei due triangoli formati dai vertici del quadrato ci saranno almeno 4 punti.
<BR>supponiamo che in A non ci siano punti allineati, altrimenti avremmo già trovato un triangolo di area 0.
<BR>dei quattro punti all\'interno di uno dei 2 triangoli ne scegliamo tre e costruiamo il triangolo che ha per vertici questi 3 punti.
<BR>per ogni vertice di questo tracciamo il segmento che lo unisce a un solo vertice del triangolo formato dai vertici del quadrato, in modo che ogni vertice del triangolo esterno sia collegato con 1 e 1 solo vertice del triangolo interno (la dimostrazione che ciò è possibile è facile...se volete che la posto chiedetelo).
<BR>si sono foemati in questo modo 3 quadrilateri, dividiamo ognuno di essi in due triangoli.
<BR>ora in tutto abbiamo diviso il triangolo esterno in 7 triangoli.
<BR>a questo punto riprendiamo il quarto punto che non avevamo considerato; esso si troverà all\'interno di uno dei 7 triangoli.
<BR>tracciamo tre segmenti che collegano il punto ai vertici del triangolo in cui è contenuto, dividendolo così in 3 triangoli .
<BR>a questo punto abbiamo diviso il triangolo di area 1/2 in 9 triangoli.
<BR>è chiaro che questi 9 triangoli non possono avere tutti area > di 1/18. ce ne sarà almeno uno con area <=1/18 (mi sono permesso di migliorare il risultato <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> )
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<BR>On 2003-04-11 18:35, alberto wrote:
<BR>per ogni vertice di questo tracciamo il segmento che lo unisce a un solo vertice del triangolo formato dai vertici del quadrato, in modo che ogni vertice del triangolo esterno sia collegato con 1 e 1 solo vertice del triangolo interno (la dimostrazione che ciò è possibile è facile...se volete che la posto chiedetelo).
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<BR>
<BR>visto che ho un po\' di tempo dimostro questa cosa:
<BR>prendiamo due dei punti del triangolo piccolo (A,B)e uniamoli a due vertici del triangolo grande(D,E).
<BR>_se il terzo punto del triangolo piccolo (C) si trova dalla stessa parte del terzo vertice (F) rispetto alla spezzata DABE che abbiamo costruito, siamo già a posto
<BR>_altrimenti sostituiamo il segmento AD con AF e tracciamo CD.
<BR>
<BR>On 2003-04-11 18:35, alberto wrote:
<BR>per ogni vertice di questo tracciamo il segmento che lo unisce a un solo vertice del triangolo formato dai vertici del quadrato, in modo che ogni vertice del triangolo esterno sia collegato con 1 e 1 solo vertice del triangolo interno (la dimostrazione che ciò è possibile è facile...se volete che la posto chiedetelo).
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<BR>visto che ho un po\' di tempo dimostro questa cosa:
<BR>prendiamo due dei punti del triangolo piccolo (A,B)e uniamoli a due vertici del triangolo grande(D,E).
<BR>_se il terzo punto del triangolo piccolo (C) si trova dalla stessa parte del terzo vertice (F) rispetto alla spezzata DABE che abbiamo costruito, siamo già a posto
<BR>_altrimenti sostituiamo il segmento AD con AF e tracciamo CD.
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