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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da lordgauss
Asian Pacific Mathematical Olympiad, 1999
<BR>
<BR>Determinare tutte le coppie (a,b) di interi tali che a²+4b e b²+4a siano entrambi quadrati perfetti.
<BR>
<BR>[per gentile concessione di francescocaracciolo]

Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Kornholio
immagino si parlasse di interi positivi, ovvero
<BR>dell\'insieme N[0]...
<BR>affinchè a^2+4b e b^2+4a siano
<BR>contemporaneamente quadrati devono
<BR>essere soddisfatte le relazioni (con j,k in N[0])
<BR>
<BR>4b = 2ka + k^2
<BR>4a = 2jb + j^2
<BR>
<BR>quindi k,j pari
<BR>
<BR>8a = 2jka + jk^2 + 2j^2
<BR>
<BR>dev\'essere quindi
<BR>
<BR>(8 - 2jk) | (jk^2 + 2j^2)
<BR>
<BR>il che può essere riscritto nella forma
<BR>(in virtù del fatto che j e k devono essere pari)
<BR>
<BR>(4 - jk) | (j^2+2k)
<BR>
<BR>poichè il termine sx dev\'essere >0,
<BR>si vede immediatamente che le uniche
<BR>sol in N[0] sono
<BR>
<BR>j=1 k=1
<BR>j=2 k=1
<BR>
<BR>ma in entrambi i casi j e k non sono
<BR>contemporaneamente pari, contraddicendo
<BR>l\'ipotesi iniziale. In N[0] il problema non ha
<BR>quindi soluzioni.

Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da lordgauss
Io ho tradotto letteralmente il testo inglese (che riporto sotto) ed ovviamente per interi senza altra specificazione si intendono gli interi relativi, ovvero a,b devono appartenere a Z.
<BR>
<BR>\"Find all pair of integers a,b such tath a²+4b and b²+4a are squares\"[addsig]

Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Kornholio
Ok, come vuoi tu...
<BR>
<BR>Escludiamo innanzitutto [a=0,b=0]
<BR>
<BR>nel caso a e b siano di segno concorde il
<BR>discorso di riallaccia a quello fatto in
<BR>precedenza. Nel caso siano discordi si tratta
<BR>di risolvere in N[0]
<BR>
<BR>a^2 - 4b = c^2
<BR>b^2 + 4a = d^2
<BR>
<BR>Procediamo :
<BR>
<BR>b = (a^2 - c^2)/4 a=c mod2
<BR>a = (d^2 - b^2)/4 d=b mod2
<BR>
<BR>(a^2 - c^2)^2 + 64a = (4d)^2
<BR>
<BR>a+c = 2e c=e-f
<BR>a-c = 2f a=e+f
<BR>
<BR>(ef)^2 + 4(e+f) = d^2
<BR>
<BR>4s = (d-p)(d+p)
<BR>
<BR>esclusi i casi e=1,f=1,[e=2 AND f=2] si può affermare che p>s
<BR>due numeri congruenti in modulo 2 il cui prodotto sia 4s
<BR>hanno come differenza al massimo 2(s-1). Per essere uguali
<BR>al prodotto (d-p)(d+p) dovrebbero avere come differenza
<BR>2p, ma 2(s-1)<<2p. Le uniche soluzioni derivano quindi dai
<BR>casi banali, e sono quindi tutte del tipo
<BR>
<BR>a=k+1 c=k-1
<BR>b=k d=k+2
<BR>
<BR>con k in N[]
<BR>
<BR>Ora basta negativizzare a oppure b
<BR>per avere una soluzione razionale
<BR>del sistema di partenza.
<BR>
<BR>Soddisfatto ?

Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da BlaisorBlade
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2001-08-19 01:40, Kornholio wrote:
<BR>...
<BR>(8 - 2jk) | (jk^2 + 2j^2)
<BR>il che può essere riscritto nella forma
<BR>(in virtù del fatto che j e k devono essere pari)
<BR>(4 - jk) | (j^2+2k)
<BR>...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Perché, scusa?? 2(4-jk) | (jk^2 + 2j^2), cioè
<BR>4 - jk |(j²+jk²/2), ma da jk²/2 come arrivi a 2k?

Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da sprmnt21
<BR>Tanto per dare uno spunto per riaprire la discussione, molto alla buona,proporrei una cosa del genere. Due numeri sono quadrati sse la loro differenza e\' esprimibile come prodotto della somma e differenza di altri due numeri.
<BR>
<BR>Notando che a^2+4b-(b^2+4a) = [(a-2)+(b-2)][(a-2)-(b-2)] = (a-2)^2 - (b-2)^2 si puo\' imporre che:
<BR>
<BR>a^2+4b = (a-2)^2 cioe\' a+b = 1 ;
<BR>
<BR>e (per conferma)
<BR>
<BR>b^2+4a = (b-2)^2 cioe\' a+b = 1.
<BR>
<BR>Il retrogusto di questa cosa non e\' del tutto definito, anche tenendo conto del fatto che da A^2-B^2 = C^2 - D^2 non necessariamente segue che A=C e B=D. Cosa ne pensate? C\'e\' del buono?
<BR>
<BR>Chi prova in maniera rigorosa che non ci sono altre soluzioni oltre a a quelle definite da a+b=1?
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>