Questo forum è irrazionale, anche se si avvicina indefinitam

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lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Sia data la retta y=ax, con a irrazionale. Dimostrare che, benchè non passi per punti a coordinate intere (fatta eccezione per 0,0), passa arbitrariamente vicino ad opportuni punti a coordinate intere.

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Questa pratica è forse illegale
<BR>quel che è certo è che è immorale
<BR>ma per un problema irrazionale
<BR>la goduria il rischio, il fio, vale:
<BR>
<BR>UUUUP!!!

Azarus
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Messaggio da Azarus » 01 gen 1970, 01:33

Un irrazionale A è il limite di almeno una successione di frazioni a numeratori e denominatori interi, basta prendere infatti le prime n cifre di A e porre x=10^n
<BR>y=a_n*10^n , con a_n le prime n cifre nello sviluppo decimale di A.
<BR>Dimostriamo ora che è possibile avvicinarsi quanto vogliamo ad A.
<BR>chiamiamo p/q la frazione minore di A ed r/s quella maggiore di A che meglio lo approssimano.
<BR>l\'intervallo fra p/q e r/s può essere vuoto o non vuoto, ma essendo i razionali un ordine denso se fosse vuoto dovremmo avere che p/q=r/s , da cui segue che A è razionale, assurdo.
<BR>se fosse non vuoto allora sicuramente esiste il razionale media aritmetica di p/q e r/s, che risulta più vicino ad A di almeno uno dei 2.
<BR>questo procedimento è chiaramente ripetibile infinite volte, dunque è pssibile avvicinarsi ad A a piacere.
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Azarus il 18-03-2003 13:30 ]

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

Azarus, tu hai provato che, dato un numero reale positivo e (piccolo a piacere) e\' possibile trovare una coppia di interi (m,n) tali che |m/n-a| < e.
<BR>
<BR>Il problema chiede pero\', dato e positivo e piccole a piacere, di trovare (m,n) tale che |m-an| < e (in effetti non e\' proprio questa la tesi, ma e\' facilmente deducibile da questa).
<BR>
<BR>

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Forse è il titolo che fa casino... si deve dimostrare che la retta si avvicina a lattice points
<BR>
<BR>Sicuramente questo farà ancora più casino <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

alberto
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Messaggio da alberto » 01 gen 1970, 01:33

premessa: non credo di saper risolvere questo tipo di problemi e credo che senza un enorme sforzo sia impossiblie capire questa soluzione: scusatemi e se qualcuno l\'ha capita (e se è giusta) lo prego di tradurla in una scrittura comprensibile.
<BR>
<BR>chiamiamo [y_x] la differenza tra y e il più grande intero maggiore di y, calcolata per tutti gli x interi.
<BR>su un segmento AB di lunghezza 1 segnamo tutti i segmenti AB_n che giaciono su AB,hanno un vertice in A e hanno lunghezza [y_x]
<BR>è chiaro che dopo 1/e (o il più piccolo intero maggiore di 1/e) passaggi ci saranno almeno due punti B_k;B_h, tali che la loro distanza è minore di e(questo per il teorema dei cassetti), cioè se [y_h]>[y_k] allora y_h - y_k = a+b, con a intero e b minore di e.
<BR>quindi [y_(h-k)] minore di e, quindi la distanza tra il lattice point di coordinate (h-k;parteinteradiy_(h-k)) e la retta sarà sicuramente minore di e per ogni scelta di e
<BR>si capisce? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
<BR>
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: alberto il 18-03-2003 20:52 ]

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

Si! si capisce, e\' corretta ed e\' molto bella (imho).
<BR>
<BR>Forse potresti spendere qualche parola in piu\' sul come si arriva a dire che
<BR>\"[y_(h-k)] e\' minore di e\".
<BR>
<BR>Forse (ma e\' questione di gusti) sarebbe stato megli (piu\' economico a livello di parole necessarie <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">) impostare il ragionamento sulla parte frazionaria di y_x per x intero cioe\' {y_x}, anziche\' su questa sorta di \"complento ad intero\" che hai dovuto definire ex-novo.
<BR>
<BR>Se non mi ricordo male, gli elementi per risolvere questo problema stanno in uno dei problemi proposti sul sito dell\'universita\' di Milano sezione gare matematiche.
<BR>
<BR>Io non riesco piu\' ad accedere a questo sito.
<BR>
<BR>Qualcuno mi sa dire come fare?
<BR>
<BR>Chi mi da\' un link buono, VERIFICATO FUNZIONANTE?
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>

alberto
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Messaggio da alberto » 01 gen 1970, 01:33


lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Ciao Alberto (ehm... come ti dovrei chiamare?).
<BR>Sì, questa è la soluzione che mi aspettavo. Ed è spiegata chiaramente. Ecco, proprio a voler fare un appunto ha ragione sprmnt: la funzione parte frazionaria di x è già nota.

alberto
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Messaggio da alberto » 01 gen 1970, 01:33

ecco un problema simile che ho trovato sull\'engel (è inutile che cercate,tanto di questo non c\'è la soluzione)
<BR>
<BR>tizio....anzi kayo... cammina intorno a un cerchio di circonferenza lunga 1(immaginatevi un equilibrista su una palla) e ha passo di lunghezza irrazionale k(misurato sulla circonferenza). il cerchio ha un buco di grandezza epsilon. prova che prima o poi il povero kayo cadrà nel buco, non importa quanto sia grande epsilon

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

si, Alberto, i link sono questi. ma a me non funzionano. tu li hai provati recentemente?
<BR>

alberto
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Messaggio da alberto » 01 gen 1970, 01:33

sì...e con recentemente intendo ieri

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