Un quesito che resiste da tempo

Kornholio · Messaggio da **Kornholio** » 01 gen 1970, 01:33

Trovare tutte le soluzioni in N[0]
 dell\'equazione
 
 a! = b! * c!
 
 diverse da quelle del tipo
 
 a = x!
 b = x
 c = x!-1
 
 (magari non ce ne sono, solo che io non so
 dimostrarlo ! chiedo aiuto soprattutto alla
 nostra squadra olimpionica internazionale, e
 poi a Lucio, Tax, Gauss, RL e tutti gli altri
 mostri...)

Gauss · Messaggio da **Gauss** » 01 gen 1970, 01:33

Questo problema deve cessare di esistere, a mio avviso. Quello che per ora riesco a dare è però un piccolo contributo, ma ho in mente altri metodi da analizzare. A dire il vero non so neppure se il risultato sia già stato raggiunto.
 
 Quello che voglio dimostrare è che non si ha mai che a!^2=b!.
 Quella espressione può essere trasformata in a!=(a+1)(a+2)...(a+h). Se a è primo allora perchè si abbia che il secondo membro sia divisibile per a allora l\'ultimo termine a+h dovra essere come minimo uguale a 2a. Per il teorema di bertrand (si chiama così?) tra a e 2a c\'è sempre un primi, quindi uno dei fattori del prodotto a destra sarà un numero primo maggiore di a che quindi non dividerà a!.
 Se a non è un primo consideriamo invece il più grande primo per cui a! è divisibile, e chiamiamolo p. Perchè il secondo membro sia divisibile per p si dovrà avere che come minimo uno dei fattori a destra sia divisibile per p, dopo p, il minor numero divisibile per p è 2p, quindi il secondo membro conterà tra i suoi fattori 2p. Sempre per il teorema di bertrand tra p e 2p ci sarà un primo, essendo però p il massimo primo che divide a! allora questo si troverà al secondo membro, e non dividerà quindi a! essendo maggiore di a.
 Un\'obiezione a questa seconda ipotesi potrebbe essere il fatto che 2p, sia contenuto nel primo membro. Tra p e 2p continuerebbe ad esserci un primo, q, maggiore di p arrivando ad un assurdo visto che si era posto p come il massimo primo per cui a! era divisibile.
 
 Nell\'equazione a!*b!=c! si dovrà quindi avere (se b>a) a!=(b+1)(b+2)...(b+h), e sempre per l\'ormai famosissimo teorema di bertrand (grazie a Dio che erdos l\'ha dimostrato) h dovrà necessariamente essere minore di b...
 
 Dì, le tue ultime preghiere infausta equazione, la tua ora sta per scoccare.... MUAHAHAH[addsig]

Kornholio · Messaggio da **Kornholio** » 01 gen 1970, 01:33

Così ad occhio mi pare regga come dimostrazione... però come spieghi
 soluzioni decisamente sconvolgenti come
 
 10! = 6! * 7!

Gauss · Messaggio da **Gauss** » 01 gen 1970, 01:33

Il problema ora starebbe nel trovare un intervallo di numeri consecutivi, nel quale non siano presenti primi (come 8*9*10), non troppo esteso, per via del teorema di bertrand.
 Purtroppo quando si parla di primi le cose si fanno dure, e spero, ma non credo affatto, che 6!*7!=10! sia l\'unica soluzione.
 Una cosa da notare, è che dato a!, ho un limite superiore ed uno inferiore all\'interno dei quali cercare il mio intervallo. Il limite inferiore è (a+1) dal quale (per il post precedente non può partire il prodotto) e quello superiore, e la soluzione ovvia che ridurrebbe il prodotto ad un solo termine, cioè a!. Del resto queste sono chiacchiere pressochè inutili.[addsig]

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Ecco cosa si trova andando in giro per
 
 http://guide.supereva.it/cgi-bin/sendur ... iscnum.htm
 
 
 3!*5!=6!
 
 3!*5!*7!=10!
 
 
 
 Ciao
 
 Sprmnt21

Gauss · Messaggio da **Gauss** » 01 gen 1970, 01:33

Mi sa tanto che questo problema andrà riposto nell\'armadio. Stamani infatti anche io gironzolando ho trovato qualcosa di scoraggiante, per esempio c\'è una congettura di Erdos che riguarda il numero di soluzioni di x(x+1)=n! (con x naturale), ed è ancora un problema aperto se quella equazione abbia un numero finito o infinito di soluzioni, si sa solo, da quello che ho capito che la densità delle soluzioni, sia per questa equazione che per P(x)=n! (con P un polinomio a coefficienti interi e x un numero intero) è zero [ This message was edited by: Gauss on 2001-08-31 11:37 ]