exp(i*x*pi) razionale con x irrazionale

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perna
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Messaggio da perna » 01 gen 1970, 01:33

Salve!
<BR>
<BR>qualcuno sa dirmi se il seguente problema ha una soluzione? Qualunque contributo è gradito
<BR>
<BR>Trovare numero irrazionale x per cui valgano le seguenti:
<BR>
<BR>sin(x*pi) = m/2^s
<BR>cos(x*pi) = n/2^s
<BR>
<BR>con m, n ed s interi; pi = pi greco
<BR>

Kornholio
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Messaggio da Kornholio » 01 gen 1970, 01:33

x irrazionale, m,n,s interi
<BR>
<BR>sin(x*pi) = m / 2^s
<BR>cos(x*pi) = n / 2^s
<BR>
<BR>per l\'uguaglianza trigonometrica fondamentale
<BR>
<BR>m^2 + n^2 = 4^s
<BR>
<BR>per le regole di generazione delle terne pitagoriche PRIMITIVE
<BR>
<BR>m = a^2-b^2
<BR>n = 2ab
<BR>2^s = a^2+b^2
<BR>
<BR>se s=0 a=1 b=0
<BR>se s=1 a=1 b=1
<BR>
<BR>se s>=2 2^s=0mod4 --> a pari b pari, poniamo a=2c b=2d
<BR>2^(s-2) = c^2 + d^2
<BR>e così via ad anello, ottenendo come soluzioni le uniche
<BR>
<BR>s=2x+1
<BR>a=2^x
<BR>b=2^x
<BR>
<BR>da queste considerazioni evinciamo che una delle
<BR>seguenti uguaglianze è necessariamente vera :
<BR>
<BR>A] a=b, deinde sin(x*pi)=0
<BR>B] ab=0, deinde cos(x*pi)=0
<BR>
<BR>le possibili soluzioni sono del tipo
<BR>
<BR> x elemento di R[]
<BR> x elemento di R[] + 1/2
<BR>
<BR>quindi la x NON può essere un num irrazionale
<BR>
<BR>Se la terna pitagorica [m,n,2^s] non fosse primitiva si avrebbe
<BR>
<BR>2^s = k(a^2+b^2)
<BR>
<BR>ma k può essere solo del tipo 2^t...
<BR>
<BR>2^(s-t) = a^2+b^2
<BR>
<BR>e si ritornerebbe al discorso fatto prima.
<BR>
Lex maxima : se qualcosa può andar male, prima o poi lo farà

Kornholio
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Messaggio da Kornholio » 01 gen 1970, 01:33

Il mio discorso sarebbe stato lo stesso anche se al posto del 2, nel testo del problema, ci fosse stato un 3 o un 4. Col 5 le cose si complicano...
<BR>
<BR>anyway, una risoluzione più tecnica
<BR>sarebbe stata
<BR>
<BR>cos(x*pi) razionale con x irrazionale implica
<BR>e^(pi*i*x) razionale con x irrazionale implica
<BR>-(e^x) razionale con x irrazionale,
<BR>ma e è un numero trascendente dunque
<BR>l\'equazioni risulta priva di soluzioni.
<BR>
Lex maxima : se qualcosa può andar male, prima o poi lo farà

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