Quesito clamoroso

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CavalloPazzo
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Messaggio da CavalloPazzo » 01 gen 1970, 01:33

Si tratta di determinare i punti di discontinuità della fz: x(sen1/x)
<BR>Premesso che si deve determinare il limite per x-->0.
<BR>
<BR>Verrebbe subito in mente di fare cosi lim con x-->0 di [(sen1/x)/(1/x)] =1.
<BR>Da quanto mi hanno detto a scuola nn si può usare questa tecnica perchè nn fa parte di nessuna forma indeterminata [sen (1/x) è sen di infinito quindi nn esiste]
<BR>
<BR>Seconda cosa che viene in mente:
<BR>posto lim f(x)=l e lim g(x)= m si dice che:
<BR> [lim f(x)*g(x)]= l*m
<BR>Allora si dice limx*lim sen(1/x)= 0* (nn esiste). quindi si potrebbe dire che il limite o nn esiste o è uguale a 0; dubbio amletico.
<BR>
<BR>Quindi il limite o nn esiste perche si che dice che nn si può moltiplicare un qualcosa di reale con un qualcosa che nn c\'è. Oppure si potrebbe dire che è uguale al numero (0 in questo caso) perchè se si moltiplica per qualcosa che nn c\'è si potrebbe anche dire che il \"qualcosa che nn c\'è\" lascia il tutto senza modifiche. Se la proprietà è giusta e io l\'ho applicata bene, queste sono le alternative.
<BR>
<BR>Infine c\'è il fatto di dire: siccome io considero vicino a zero e nn proprio zero si potrebbe dire che per quanto piccolo sia il numero il seno(1/x) avrà sempre un valore e siccome che va moltiplicato per \"qualcosa vicino a zero\" il limite è 0. Però poi nn mi si venga a dire che lim (1/x) con x-->0 =infinito perch senno mi incazzo!
<BR>
<BR>RAgà voi che dite? Dov\'è la ragione???
<BR>
<BR>P.S. x-->0 sta per x tendente a 0 (nn sapevo com fare la freccetta).
<BR>
<BR>
<BR>P.P.S. Potrà sembrarvi strano, ma a me la matematica del quinto (con rispetto e ammirazione parlando) per certe cose (cose come quelle appena illustrate, punti di discontinuità, e per certi versi i limiti) mi sembra un\'opinione!
IL cane lecca la mano dell\'uomo, ma nn vede il coltello nascosto nell\'altra (Cavallo Pazzo 1842-1877)

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

L\'hai studiato Chauchy, vero? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
<BR>Il limite è un procedimento che si avvale degli infinti solo come espressione abbreviata per definizioni quali \" dato M in R esiste sempre un x nel CdE tale che f(x)>M\" (e anche questa non è tutta la verità...)
<BR>Comunque, il limite di sen(1/x) per x->0 non esiste poichè il seno è una funzione periodica, ma questo non significa che il suo valore non possa essere delimitato: |sin(x)|<=1 per ogni x, quindi anche per x che diventa grande oltre ogni prefissato M |sen(x)| non può essere maggiore di 1. Quindi puoi (non formalmente, ma solo per capirci qualcosa) trasformare quel limite di xsen(1/x) nella famiglia di limiti (non Paolo):
<BR>
<BR>lim x*sin(a) per x->0 e c appartenente a [-1;1]
<BR>tutti questi limiti valgono 0 e per ogni x puoi trovare una a tale che sin(1/x)=sina quindi il limite vale 0. <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 07-03-2003 16:04 ]

CavalloPazzo
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Messaggio da CavalloPazzo » 01 gen 1970, 01:33

Chi è Chauchy.
<BR>Cmq il libro dice che è disc. di 3 specie, però ho il grande dubbio.
<BR>
<BR>Esprimetevi!
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publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 01 gen 1970, 01:33

Puoi provare che il limite vale 0 semplicemente applicando la definizione...
<BR>per calcolarlo puoi utilizzare il teorema del confronto con le funzioni modulo di x e -modulo di x

CavalloPazzo
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Messaggio da CavalloPazzo » 01 gen 1970, 01:33

Siamo d\'accordo che si può provare che il limite vale 0 con la definizione, però il problema mia era di natura diversa e si catalizza soprattutto sul secondo punto della mia osservazione.
<BR>
<BR>P.S. Mi esponi il metodo, please. E\' un qualcosa che nn conosco, quello che hai detto.
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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

E per quello chiedevo se aveva studiato Cauchy: la definizione di limite è la sua!!!!
<BR>Per quel che riguarda la discontinuità, prova a pensare da cosa dipende una disc. di 3° specie, ovvero dall\'impossibilità di calcolare la funzione in quel punto o dall\'esistenza di un limite diverso dal valore della funzione.
<BR>Siamo ovviamente nel primo caso: la funzione sin(x) è definita per ogni x in R, ma non esiste alcun x tale che x*0=1 perciò la funzione sin(1/x) con x=0 non è calcolabile e di conseguenza neanche la funzione x*sin(1/x).

publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 01 gen 1970, 01:33

Siano f(x), g(x) e h(x) tre funzioni definite nello stesso intervallo, eccettuato al più un punto c di questo, e si abbia f(x) < = h(x) < = g(x) e anche lim x-->c f(x) = lim x-->c g(x) = l allora si ha lim x-->c h(x) = l.
<BR>Se f(x)= |x|, g(x)= -|x| e h(x)= x*sin(1/x) hai rispettate tutte le condizioni del teorema e trovi che il limite vale 0.
<BR>
<BR>Il teorema che dice che il limite del prodotto è il prodotto dei limiti non si applica a questo caso poiché ha nelle sue condizioni inziali che i due limiti esistano e siano finiti.

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Messaggio da CavalloPazzo » 01 gen 1970, 01:33

allora tutti i punti sarebbero di 3 specie perchè ogni volta che si calcola un limite, nei punti nei quali si calcola il limite la funzione nn esiste quindi nn può essere calcolata.
<BR>
<BR>Riguardo al fatto che senx valga tra -1 e +1 nn c\'è dubbio, ma tra il valere -0.9 e +0.91 c\'è una differenza.
<BR>
<BR>Dovendo fare il limite del solo sen(1/x) si dice che il limite nn esiste.
<BR>Però se è vero che sen(1/x) è riconducibile a sen (a) e lim sen (a) credo che abbia un valore altrimenti mi sembra più un metodo per cambiare le carte in tavola e aggirare il problema e nn per risolverlo anche lim sen (1/x) dovrebbe avere un valore!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: CavalloPazzo il 07-03-2003 16:43 ]
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Messaggio da CavalloPazzo » 01 gen 1970, 01:33

Grazie publio, nn ricordavo il fatto che per applicare il teorema il limite doveva esistere ed essere diverso da 0.
<BR>
<BR>Cmq la storia dei limiti in questi casi mi puzzeranno sempre di un espediente per aggirare il tutto!!
<BR>
<BR>P.S. Scusate, ma nn ricordavo che fosse stato Chauchy a dare la definizione di limite!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: CavalloPazzo il 07-03-2003 16:33 ]
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Allora... l= lim f(x) per x->inf vuol dire che esiste una M tale che, data una e>0 per ogni x>M |f(x)-l|<e e un tale M per un qualunque l non esiste per sin(1/x) quando x->inf. Ciò non toglie che sin(1/x) sia calcolabile per qualunque x<>0 in R ed è proprio per questo che nelle condizioni del teorema del limite del prodotto è specificato che il limite di ognuno deve esistere finito.
<BR>Il metodo di ridurre sin(1/x) con x in R diverso da 0 a sin(a) compreso questo sicuramente tra -1 e 1 non è una giustificazione formale del risultato, ma un modo per farti capire la validità della conclusione.

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Messaggio da CavalloPazzo » 01 gen 1970, 01:33

ah ok, però:
<BR>è valido perchè x-->0 se invece il testo era:
<BR>
<BR>lim x-->a(prendiamolo in N per comodità) di x*sen [1/(x-a)] , credo che sarai d\'accordo con me nel dire che pure riconducendo a sen (a) qualcosa cambia.
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Messaggio da publiosulpicio » 01 gen 1970, 01:33

Non ho detto che il limite debba esistere ed essere diverso da 0, ma debba esistere ed essere finito.
<BR>Devi cercare di essere rigoroso se vuoi ottenere risultati rigorosi!

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Messaggio da publiosulpicio » 01 gen 1970, 01:33

Nel tuo caso, se a < > 0 allora il limite cercato non esiste, come si può provare facilmente osservando che essa continua ad oscillare indefinitamente in qualsiasi intorno di a
<BR>Se vuoi essere davvero rigoroso puoi ottenere il risultato cercato per assurdo, osservando che se il limite esiste deve essere finito, dato che la funzione seno è sempre compresa tra -1 e 1, applicando la definizione di limite giungi ben presto ad un assurdo.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: publiosulpicio il 07-03-2003 17:22 ]

CavalloPazzo
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Messaggio da CavalloPazzo » 01 gen 1970, 01:33

Ci siamo capiti male.
<BR>
<BR>Il tuo teorema è giustissimo, va bene pure se il limite è 0.
<BR>
<BR>
<BR>La mia osservazione era dovuta a quanto detto da EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Certo, il limite
<BR>lim x*sin(1/(x-a))
<BR>non è certo la stessa cosa di limx*sin(1/x). In questo caso sfruttiamo il fatto che 0*r=0 per qualunque valore reale di r, mentre è assurdo dire che a*r con a reale sia costante al variare di r in R.
<BR>Inoltre la discontinuità in questo caso è di 2° specie, poichè nessuno dei due limiti (dx o sx) esiste.

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