Rincomincio!

Azarus · Messaggio da **Azarus** » 01 gen 1970, 01:33

Nuovi problemi!
 
 1) Ad una festa ci sono 13 persone.Supposta che la conoscenza fra due persone sia simmetrica dimostrare che esistono 2 persone con lo stesso numero di amici nella festa.
 
 2) Dimostrare che Sum[1..k]di n^2 * (-1)^n = k(k+1)/2
 
 3) Nel piano sono assegnati due punti A e B con AB = 4
 Dimostrare che esistono infiniti quadrilateri convessi ABCD in modo che
 BC = 3 , CD = 2 , AD = 1.
 Dimostrare che almeno uno di questi poligoni ha i vertici su una circonferenza.
 
 4) Dimostrare che se n è naturale allora 5n+2 non è mai un quadrato.
 
 Questi problemi sono presi dalle gare di matematica di Firenze 1995-1996,
 a qualcuno perciò risulteranno familiari.

edony · Messaggio da **edony** » 01 gen 1970, 01:33

L\'ultimo mi sembra il più carino:
 5n+2 o finisce per 2 o finisce per 7,ma è facile dimostrare che non esistano quadrati perfetti dove compaia come ultima cifra o 2 o 7 infatti la sequenza di ultime cifre che compaiono nei quadrati di numeri dispari è 1,9,5,9,1; nei quadrati di numeri pari la sequenza è 0,4,6,6,4.

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

1)ogni persona può conoscere un numero di persone compreso tra 0 e 12, e poichè le persone sono 13, l\'unica possibilità è che esista 1 persona che non conosce nessuno, un\'altra che ne conosce 1.....ed infine una che ne conosce 12.
 quest\'ultima però, poiché ne conosce 12, conosce tutte le altre persone che sono alla festa e dunque, siccome la conoscenza tra due persone è simmetrica, nessuna persona non può conoscere nessuno, e cio entra in contraddizione con quanto detto. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 04-03-2003 16:29 ]

Israfel_FMD · Messaggio da **Israfel_FMD** » 01 gen 1970, 01:33

3) Primo quesito: il triangolo ABC ha due lati costanti e il terzo che diminuisce (minimo 1) o aumenta (massimo 7) al variare dell\'angolo opposto. Siccome su questo lato AC si devono \"appoggiare\" i lati CD e AD di lunghezza 2 e 1, se AC è compreso fra la loro somma (3) e la loro differenza (1) si ottiene sempre un quadrilatero valido. Per dimostrare che il quadrilatero è sempre convesso basta mostrare che lo sono i casi limite di AC=3 e AC=1 (gli angoli nel loro variare non escono da questi estremi)
 
 Secondo quesito: dire che esiste un quadrilatero convesso ABCD inscrivibile in una circonferenza equivale a dire che esiste una circonferenza che inscrive sia ABC che ACD, e in questo caso specifico equivale a dire che i circocentri di ABC e ACD coincidono (le due circonferenze circoscritte coincidono avendo due punti, A e C, in comune oltre al centro). Al variare della lunghezza di AC (ricordando i limiti di 1 e 3), i due circocentri si spostano lungo l\'asse del lato comune AC, ma siccome procedono in senso opposto e coprono alcune parti in comune dell\'asse (questo lo si mostra facilmente usando una figura), esiste un punto nel quale essi coincidono, che è il centro della circonferenza circoscritta ad ABCD.
 
 \"Tomorrow will take us away
 Far from home
 No-one will ever know our names
 But the bards\' songs will remain\"
 Blind Guardian - \"The Bard\'s Song: In The Forest\" [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Israfel_FMD il 04-03-2003 18:15 ]

ale86 · Messaggio da **ale86** » 01 gen 1970, 01:33

Il secondo credo che sia (-1)^k* k(k+1)/2. Giusto?
 Dunque: se la condizione vale per un dato k, allora vale anche per il successivo (che avrà valore assoluto uguale a (n+1)^2 - (n^2+n)/2 = (n+1)(n+2)/2). Visto che vale per k=1 la tesi è dimostrata per induzione.
 
 Uhm... al solito mi sono espresso da schifo ma spero sia chiaro il concetto <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ale86 il 04-03-2003 18:30 ]

Israfel_FMD · Messaggio da **Israfel_FMD** » 01 gen 1970, 01:33

Abbozzo frettoloso di soluzione del secondo: la sommatoria si sviluppa come una serie di differenze, tutte di segno positivo (infatti si parte con un numero dispari, quindi negativo, che sottratto al successivo dà una differenza positiva, e così via), pari tutte a (n+1)^2 - n^2 = 2n+1. Rappresentandole graficamente in forma di colonne alte 2n+1, abbiamo un trapezio rettangolo la cui area dovrebbe risultare, se non ho sbagliato nulla, essere quella cercata, cioè k(k+1)/2[addsig]

Luke04L · Messaggio da **Luke04L** » 01 gen 1970, 01:33

Anche a me torna come dici tu ale...