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Azarus
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Messaggio da Azarus » 01 gen 1970, 01:33

Nuovi problemi!
<BR>
<BR>1) Ad una festa ci sono 13 persone.Supposta che la conoscenza fra due persone sia simmetrica dimostrare che esistono 2 persone con lo stesso numero di amici nella festa.
<BR>
<BR>2) Dimostrare che Sum[1..k]di n^2 * (-1)^n = k(k+1)/2
<BR>
<BR>3) Nel piano sono assegnati due punti A e B con AB = 4
<BR> Dimostrare che esistono infiniti quadrilateri convessi ABCD in modo che
<BR> BC = 3 , CD = 2 , AD = 1.
<BR> Dimostrare che almeno uno di questi poligoni ha i vertici su una circonferenza.
<BR>
<BR>4) Dimostrare che se n è naturale allora 5n+2 non è mai un quadrato.
<BR>
<BR>Questi problemi sono presi dalle gare di matematica di Firenze 1995-1996,
<BR>a qualcuno perciò risulteranno familiari.

edony
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Messaggio da edony » 01 gen 1970, 01:33

L\'ultimo mi sembra il più carino:
<BR>5n+2 o finisce per 2 o finisce per 7,ma è facile dimostrare che non esistano quadrati perfetti dove compaia come ultima cifra o 2 o 7 infatti la sequenza di ultime cifre che compaiono nei quadrati di numeri dispari è 1,9,5,9,1; nei quadrati di numeri pari la sequenza è 0,4,6,6,4.

Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

1)ogni persona può conoscere un numero di persone compreso tra 0 e 12, e poichè le persone sono 13, l\'unica possibilità è che esista 1 persona che non conosce nessuno, un\'altra che ne conosce 1.....ed infine una che ne conosce 12.
<BR>quest\'ultima però, poiché ne conosce 12, conosce tutte le altre persone che sono alla festa e dunque, siccome la conoscenza tra due persone è simmetrica, nessuna persona non può conoscere nessuno, e cio entra in contraddizione con quanto detto.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 04-03-2003 16:29 ]

Israfel_FMD
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Messaggio da Israfel_FMD » 01 gen 1970, 01:33

3) Primo quesito: il triangolo ABC ha due lati costanti e il terzo che diminuisce (minimo 1) o aumenta (massimo 7) al variare dell\'angolo opposto. Siccome su questo lato AC si devono \"appoggiare\" i lati CD e AD di lunghezza 2 e 1, se AC è compreso fra la loro somma (3) e la loro differenza (1) si ottiene sempre un quadrilatero valido. Per dimostrare che il quadrilatero è sempre convesso basta mostrare che lo sono i casi limite di AC=3 e AC=1 (gli angoli nel loro variare non escono da questi estremi)
<BR>
<BR>Secondo quesito: dire che esiste un quadrilatero convesso ABCD inscrivibile in una circonferenza equivale a dire che esiste una circonferenza che inscrive sia ABC che ACD, e in questo caso specifico equivale a dire che i circocentri di ABC e ACD coincidono (le due circonferenze circoscritte coincidono avendo due punti, A e C, in comune oltre al centro). Al variare della lunghezza di AC (ricordando i limiti di 1 e 3), i due circocentri si spostano lungo l\'asse del lato comune AC, ma siccome procedono in senso opposto e coprono alcune parti in comune dell\'asse (questo lo si mostra facilmente usando una figura), esiste un punto nel quale essi coincidono, che è il centro della circonferenza circoscritta ad ABCD.
<BR>
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<BR> But the bards\' songs will remain\"</b>
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ale86
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Messaggio da ale86 » 01 gen 1970, 01:33

Il secondo credo che sia (-1)^k* k(k+1)/2. Giusto?
<BR>Dunque: se la condizione vale per un dato k, allora vale anche per il successivo (che avrà valore assoluto uguale a (n+1)^2 - (n^2+n)/2 = (n+1)(n+2)/2). Visto che vale per k=1 la tesi è dimostrata per induzione.
<BR>
<BR>Uhm... al solito mi sono espresso da schifo ma spero sia chiaro il concetto <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ale86 il 04-03-2003 18:30 ]

Israfel_FMD
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Messaggio da Israfel_FMD » 01 gen 1970, 01:33

Abbozzo frettoloso di soluzione del secondo: la sommatoria si sviluppa come una serie di differenze, tutte di segno positivo (infatti si parte con un numero dispari, quindi negativo, che sottratto al successivo dà una differenza positiva, e così via), pari tutte a (n+1)^2 - n^2 = 2n+1. Rappresentandole graficamente in forma di colonne alte 2n+1, abbiamo un trapezio rettangolo la cui area dovrebbe risultare, se non ho sbagliato nulla, essere quella cercata, cioè k(k+1)/2[addsig]
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Luke04L
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Messaggio da Luke04L » 01 gen 1970, 01:33

Anche a me torna come dici tu ale...
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