Altro problema

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

Per la gioia di chi volesse provare ad entrare alla normale propongo un altro problema dell\'esame d\'ammissione di non so più che anno, che tra l\'altro mi ha fatto penare non poco:
 Dimostrache per per ogni intero n maggiore o uguale a 2 si ha:
 ( n! ) ^ ( 1/n ) < ( n + 1 )/2
 e che il secondo membro della disuguaglianza non è mai un multiplo intero del primo.
 Ah, ora mi ricordo era del 1991.
 Buona fortuna!
 ps: io ho fatto una fatica che la metà bastava e un ragionamento che non finiva più... la loro soluzione dura mezza pagina! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">

Squirtledgl · Messaggio da **Squirtledgl** » 01 gen 1970, 01:33

( n! ) ^ ( 1/n ) < ( n + 1 )/2
 
 Prima di perdere il cervello su cose sbagliate:
 
 n! che vuol dire???
 ^ significa elevato alla giusto? Quindi è (n!) alla (1/n) < (n+1)/2

acarus · Messaggio da **acarus** » 01 gen 1970, 01:33

Salve, Squirtledgl (poi magari spieghi un po\' a tutti che significa...)
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 dunque: n! si legge n fattoriale ed è tale che:
 
 n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...*1
 
 Modifico per mettere pure un esempio: 7! = 5040 = (7*6*5*4*3*2*1)
 Ciao <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: acarus il 26-02-2003 16:08 ]

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Ok, sono un bastardo. Ma i problemi se no si accumulano...
 
 (n+1)/2 = (1+2+...+n)/n > n!^(1/n), ove ho applicato la AM-GM e il fatto che 1 è diverso da 2. Eh eh
 
 Poniamo (n+1) = 2k(n!^(1/n)), ovvero (n+1)^n = (2k)^n*n! e spiegatemi come fa n>1 a dividere n+1.

Wilddiamond · Messaggio da **Wilddiamond** » 01 gen 1970, 01:33

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

Poniamo (n+1) = 2k(n!^(1/n)), ovvero (n+1)^n = (2k)^n*n! e spiegatemi come fa n>1 a dividere n+1.
 
 Mi sfugge il senso di questa frase.... Illuminatemi x favore...

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Supponiamo che il secondo membro sia un multiplo intero del primo
 
 Poniamo (n+1) = 2k(n!^(1/n)), ovvero (n+1)^n = (2k)^n*n! [elevo alla n] e spiegatemi come fa n>1 a dividere n+1 [è impossibile, poichè MCD(n,n+1) = 1]
 
 Ecco, ci metto anche le miniature o può bastare così?

massiminozippy · Messaggio da **massiminozippy** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-02-26 16:14, lordgauss wrote:
 Ok, sono un bastardo. Ma i problemi se no si accumulano...
 
 (n+1)/2 = (1+2+...+n)/n > n!^(1/n), ove ho applicato la AM-GM e il fatto che 1 è diverso da 2. Eh eh
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Cosa è la AM-GM?

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

si risolve anche utilizzando l\'induzione:
 -per il primo termine (2) la disuguaglianza vale.
 -per n+1 la diseq. diventa
 (n+1)n!<((n+2)/2)^(n+1)
 da cui n!<(((n+2)/2)^(n+1))/(n+1)
 ora si confronta (((n+2)/2)^(n+1))/(n+1) con ((n+1)/2)^n
 e si nota che la prima espressione è superiore alla seconda, dunque se la disequazione vale per n, vale anche per n+1(la disequazione infatti si è rafforzata).

Azarus · Messaggio da **Azarus** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-02-26 18:15, massiminozippy wrote:
 
 Cosa è la AM-GM?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 stanno per media aritmetica e media geometrica.
 vale la diseguaglianza MA>=MG
 
 la media aritmetica di n numeri è la loro somma diviso n,
 la media geometrica la radice quadrata del loro prodotto.
 chiaramente l\'uguaglianza vale solo se tutti gli n numeri sono uguali. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Azarus il 26-02-2003 20:59 ]

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 la media geometrica la radice quadrata del loro prodotto.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 n-esima

Israfel_FMD · Messaggio da **Israfel_FMD** » 01 gen 1970, 01:33

cazzo, siete troppo veloci, speravo di farcela a postare la dimostrazione x induzione... va bè, sarà x il prossimo.
 aggiungo che con la dimostrazione per induzione si ha il vantaggio di mostrare anche che il \"dislivello\" cresce all\'aumentare di n...