Geometria solida/2

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lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Visto che c\'è chi si interessa di geometria solida (v. il nostro amico puntiglioso Antimateria) eccovi un problema che ritengo stimolante.
<BR>
<BR>Il punto b) è il problema, che nella parte finale della soluzione utilizza la tesi del punto a), che enuncio come esercizio separatamente, in modo da non fare alcun tipo di discriminazione: così chiunque possiede gli strumenti per la risoluzione.
<BR>
<BR>a) Dimostrare che per ogni terna di reali positivi a,b,c si ha
<BR>a²+b²+c² >= ab + bc + ac (quando vale l\'uguaglianza?).
<BR>
<BR>b) Nel tetraedro ABCD, angolo BDC = 90, e il piede della perpendicolare condotta da D ad ABC è l\'intersezione delle altezze di ABC. Dimostrare che
<BR>(AB+BC+CA)² <= 6(AD²+BD²+CD²)
<BR>

alberto
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Messaggio da alberto » 01 gen 1970, 01:33

la a) è una disuguaglianza famosa...ci sono almeno quattro soluzioni, tutte molto istruttive... vediamo se si riesce a trovarle tutte....
<BR>io posto quella che forse è la meno immediata per chi non è familiare con la tecnica:
<BR>
<BR>definiamo f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2-ab-ac-cb
<BR>f(ta,tb,tc)=t^2*f(a,b,c)...[f è omogenea di 2° grado]
<BR>f(a,b,c)>=0 se e solo se f(ta,tb,tc)>=0.
<BR>si può scegliere t in modo che:
<BR>ta=1
<BR>tb=1+x
<BR>tc=1+y
<BR>[quando è omogenea si può sempre]
<BR>f(ta,tb,tc) risulta:
<BR>x^2+y^2-xy
<BR>quindi (x-y/2)^2 + 3/4*y^2
<BR>[somma di quadrati sempre maggiore = zero]
<BR>=0 solo quando a=b=c.
<BR>
<BR>ora sta a voi trovare altre soluzioni....

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Engel docet, magico alberto. Sì, è molto istruttivo cercare tutte le soluzioni (fatelo!) però vi prego di non perdere di vista il problema b)... altrimenti ho tradotto una roba dall\'inglese per nulla...

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

Veramente un bel problema. Qual e\' la fonte?
<BR>
<BR>Do\' una giustificazione intuitiva che provero\' a rendere rigorosa, appena ho piu\' tempo.
<BR>
<BR>Sia H l\'ortocentro di ABC e P,Q ed R i piedi delle altezze di ABC da A, B e C rispettivamente. Sia O il punto medio di BC. I punti B,C, D, Q ed R stanno su una sfera di centro O e raggio OB. I circoncentri di ABC e BCD (nel seguito c(ABC) e analoghi) sono cerchi massimi. Il piano BQD, essendo perpendicolare a c(ABC), per simmetria determina sulla sfera una sezione circolare di cui BQ e\' un diametro. Quindi BD e\' perpendicolare a QD ed essendo, per ipotesi, perpendicolare a CD e\' perpendicolare anche ad AD.
<BR>Similmente si prova che AD e CD sono ortogonali.
<BR>Pertanto AB^2+BC^2+CA^2 = 2(AD^2+BD^2+CD^2). Da questo e dal punto a) segue b).
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>

colin
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Messaggio da colin » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-02-26 12:00, alberto wrote:
<BR>
<BR>si può scegliere t in modo che:
<BR>ta=1
<BR>tb=1+x
<BR>tc=1+y
<BR>[quando è omogenea si può sempre]
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>mi sfugge la comprensione di questo passaggio...<IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: colin il 27-02-2003 09:06 ]

alberto
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Messaggio da alberto » 01 gen 1970, 01:33

faccio un esempio:
<BR>a=5, b=8, c=3
<BR>
<BR>scegliendo t=1/5 si ha:
<BR>
<BR>a=1, b=1+3/5, c=1+(-2/5)
<BR>
<BR>[quando è omogenea si può sempre]...questo lascialo perdere...in questo caso non serve a niente.
<BR>
<BR>P.S.: ma in questo forum c\'è qualcuno che la mattina va a scuola?

alberto
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Messaggio da alberto » 01 gen 1970, 01:33

orsù...datevi da fare nel trovare le altre dimostrazioni...
<BR>suggerimento:
<BR>cominciare col dimostrare che a^2+b^2>=2ab

alberto
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Messaggio da alberto » 01 gen 1970, 01:33

b)
<BR>chiamiamo i lati di ABC a,b,c (tanto per contraddire lordgauss)
<BR>chiamiamo o l\'ortocentro di ABC
<BR>chiamiamo H,K,Z i piedi delle altezze su a,b,c rispettivemente
<BR>chiamiamo h,k,z i segmenti OH,OK,OZ.
<BR>chiamiamo d,e,f i segmenti OA,OB,OC.
<BR>dimostriamo che a^2+b^2+c^2<= 2d^2+2e^2+2f^2:
<BR>a^2=f^2-h^2+e^2-h^2
<BR>b^2=f^2-k^2+d^2-k^2
<BR>c^2=d^2-z^2+e^2-z^2
<BR>
<BR>sommando le tre equazioni si ottiene appunto:
<BR>a^2+b^2+c^2<= 2d^2+2e^2+2f^2
<BR>
<BR>ora, per a) si sa che a²+b²+c² >= ab + bc + ac, quindi
<BR>3(a²+b²+c²) >=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac.
<BR>quindi (a+b+c)^2 <= 3(a²+b²+c²)<=3(2d^2+2e^2+2f^2)
<BR>
<BR>ora è evidente che AD,BD,CD sono rispettivamente>= d,e,f, quindi la disuguaglianza :
<BR>(a+b+c)² <= 6(AD²+BD²+CD²)
<BR>rimane verificata.
<BR>
<BR>scusate se ho fatto qualche errore der cazz... ma sono in pessime condizioni fisiche <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Premetto che per ripicca verso la tua notazione non ho letto la soluzione... ma mi salta agli occhi questo: a^2+b^2+c^2 <= 2d^2+2e^2+2f^2 <= 2AD²+2BD²+2CD².
<BR>Ora, come dice Rocco [ah, la fonte è l\'IMO del \'70] vale l\'uguaglianza. Dunque, i \"<=\" li hai messi per fare il figo? Oppure c\'è qualcosa che non va (eventualmente anche in me stesso)?
<BR>

alberto
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Messaggio da alberto » 01 gen 1970, 01:33

non ho capito una bega di quello che hai detto... ma mi salta agli occhi questo:<=
<BR>probabilmente l\'= in a^2+b^2+c^2<= 2d^2+2e^2+2f^2 si può anche togliere...ma infondo che male fa?
<BR>PS:la notazione alternativa non era per cattiveria... serviva solo a snellire un po\' le espressioni...non te la prendere
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Ok, stamattina non sono andato a scuola per davvero.
<BR>Detto questo, Andrea, la mia domanda era:
<BR>come mostrato da sprmnt, mi pare che dovrebbe valere a^2+b^2+c^2 = 2d^2+2e^2+2f^2 = 2AD²+2BD²+2CD². Dunque, c\'è un errore o solo qualche incomprensione?
<BR>

alberto
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Messaggio da alberto » 01 gen 1970, 01:33

io non credo ci siano i segni di = anzi credo che la prima disequazione sia stretta(a^2+b^2+c^2 < 2d^2+2e^2+2f^2), e che lo sia anche la seconda (2d^2+2e^2+2f^2 < 2AD²+2BD²+2CD²)a meno che il tetraedro non degeneri in un triangolo...
<BR>sto impazzendo o è solo un clamoroso caso di incomprensione? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">

alberto
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Messaggio da alberto » 01 gen 1970, 01:33

nell\'attesa che arrivino le nuove soluzioni per:
<BR>a) Dimostrare che per ogni terna di reali positivi a,b,c si ha
<BR>a²+b²+c² >= ab + bc + ac (quando vale l\'uguaglianza?).
<BR>
<BR>...posto un\'altra disuguaglianza interessante,[disuguaglianza di Nesbitt]...non cambio forum per non essere dispersivo:
<BR>
<BR>c)dimostrare preliminarmente che a/b+b/a>=2
<BR>
<BR>d)a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >=3/2
<BR>

colin
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Messaggio da colin » 01 gen 1970, 01:33

La c è troppo facile...con un paio di passaggi viene (a-b)^2>=0 che è soddisfatta per ogni a,b reali...per l\'altra ci penso...
<BR>
<BR>
<BR>P.S. ma non va a scuola nessuno \'sti giorni??? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

che a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >=3/2
<BR>
<BR>si puo\' provare cosi\' (se non ho commesso strafalcioni):
<BR>
<BR>si somma 3 a destra e sinistra, ottenendo:
<BR>
<BR>(a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(a+c)+(a+b+c)/(b+a) >=9/2
<BR>
<BR>
<BR>che si puo\' scrivere come:
<BR>
<BR>
<BR>(2a+2b+2c)[1/(b+c)+1/(a+c)+1/(b+a)]>=9
<BR>
<BR>
<BR>o ancora
<BR>
<BR>
<BR>[(a+b)+(b+c)+(c+c)]/3>= 3/[1/(b+c)+1/(a+c)+1/(b+a)]
<BR>
<BR>
<BR>che e\' la nota diseg. tra MA e MH.
<BR>
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