Problema

[publiosulpicio]

Questo problema faceva parte del test d\'ammissione della Normale del 1997, l\'ho trovato particolarmente bello, quindi ve lo propongo.
<BR>Si determinino
<BR> tutti gli interi positivi n che sono divisibili per tutti gli interi positivi minori o uguali a sqrt(n).
<BR>Nel testo dava anche un suggerimento, ma per il momento non ve lo dico... (che stronzo), così da stimolarvi un po\'...
<BR>Io l\'ho risolto in circa mezz\'ora e mi ha dato una bella soddisfazione anche se la loro dimostrazione è decisamente più elegante della mia...

[publiosulpicio]

Su... nessuno vuole provarci... <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">

[surreAle]

scusa forse sono stupida io, ma voglio capire bene: chiede tutti gli n divisibili per ? che vuol dire sqrt (n) ?

[publiosulpicio]

sqrt(n) vuol dire radice quadrata di n, è il modo che si usa nei testi dove non si ha la possibilità di scrivere comodamente il simbolo di radice, lo si usa anche in diversi linguaggi di programmazione.
<BR>Il testo chiede di trovare tutti gli interi positivi divisibili per tutti gli interi positivi minori della propria radice, per esempio 8 ha la proprietà richiesta in quanto i numeri interi positivi minori della radice di otto sono 1 e 2 e otto è divisibile per entrambi, 19 invece, sempre per esempio, non gode della propietà richiesta in quanti gli interi positivi minori della radice di 19 sono 1 2 3 e 4, e 19 non è divisibile per tutti questi (in particolare per nessuno, ma ne basterebbe anche solo uno che non lo divide per stabilire che 19 non gode della proprietà richiesta).
<BR>Quali sono tutti i numeri che , come 8, godono di questa proprietà?

[Squirtledgl]

Ci provo... promesso!!! Tu mi spieghi una cosa: come cavolo si fa ad aumentare il numero delle stelline? Quelle che differenziano membri junior (come me), senior e VIP (come te)! La domanda è per chiunque la legga e conosca la risposta....! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>Che brutta la gara di Febbraio!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">

[ale86]

Devi raggiungere un certo numero di messaggi. Alla buona: 12 è per caso il più alto?

[publiosulpicio]

Scrivi taaanti messaggi e il numero di stelline aumenterà magicamente
<BR>In particolare detto n il numero di messaggi scritti si ha:
<BR>se 0<n<21 ==> hai una stella
<BR>se 20<n<51 ==> hai due stelline
<BR>se n>50 hai tre stelline
<BR>lo so che potevo dirlo più semplicemente ma mi è girato così
<BR>girano voci su cosa incredibili che succedono se n>1000 ma non c\'è niente di sicuro...
<BR>Grazie per il senior ma come vedi è facilissimo e c\'è un sacco di gente con più messaggi di me...

[publiosulpicio]

No Ale... questa volta hai sbagliato...

[ale86]

Peccato. Allora mi dovrò impegnare sul serio...

[ale86]

Che pirla, è 24 il più alto!
<BR>Basta fare la seguente semplice considerazione: se n! è maggiore di (n+1)^2 non è possibile trovare un numero che abbia per divisori i primi n numeri e la cui radice quadrata sia compresa tra n e n+1.
<BR>Gli altri valori si trovano facilmente.
<BR>
<BR>Ora, però, concedetemi un minimo di autoesaltazione: ragazzi, sono un mito: l\'ho risolto a mente mandando messaggi privati in giro e messaggiando col cell. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ale86 il 24-02-2003 19:20 ]

[surreAle]

Allora questi numeri sono davvero pochi, se vedo giusto: infatti dovrebbero essere: 1 (1), 2 (1), 3(1), 4 (1, 2), 6 (1, 2), 8 (1, 2), 12 (1, 2, 3) 24(1, 2, 3, 4); non so se sono in grado di spiegare il perchè: allora un numero n per essere divisibile per i numeri minori/uguali alla sua radice deve essere multiplo di questi; questo però si verifica 1)solo per numeri pari tranne 1 e 3 la cui radice è rispett. 1 e <2, quindi abbiamo eliminato i dispari. 2)poi ci servono quei numeri che siano multipli dei minori uguali alla loro radice, ma minori del quadrato perfetto del numero intero successivo al loro divisore più grande. es: 18 sarebbe multiplo di(1, 2, 3) ma maggiore di 16, quadrato di 4, così come 24, ultimo della serie, <25, perchè dal 5 dobbiamo richiedere n divisib per 3, 4, 5 ossia 60 che >di 6^2(che non è un problema),ma > anche di 7^2=49, e purtroppo non è divisibile per 7. Andando avanti gli n richiesti diventano sempre più grandi, ma implicano anche più divisori. (60 per 7=720>/= 26^2 necessario essere divisibile per (1,2, 3, 4, 5, 6,7,8,9, 10,11,12 etc fino a 26
<BR>spero di essere stata chiara
<BR>boh, ditemelo voi <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: surreAle il 24-02-2003 19:38 ]

[publiosulpicio]

A parte delle obiezioni che si possono porre alla parte centrale della dimostrazione rimane quel \"ci sono sempre più divisori\", è vero, si \"vede\" benissimo, ma questo in mate non basta, serve una dimostrazione rigorosa...
<BR>in effetti c\'è qualche errorino piuttosto grave anche nella parte centrale, tipo 18 che non è maggiore del quadrato del successivo del suo divisore più grande (come d\'altra parte nessun numero), infatti il suo divisore più grande è 9, non 4!
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: publiosulpicio il 24-02-2003 19:53 ]

[lordgauss]

Perdonami mito, ma dire che un numero è divisibile per tutti gli interi da 1 a n non è esattamente come dire che n! divide il numero...
<BR>
<BR>Piuttosto mcm(1,2,...,n) divide il numero.

[lordgauss]

Mi rivolgo ad ale86

[publiosulpicio]

Bravo lord gauss che ha tirato in ballo il mcm...
<BR>vi dico il suggerimente che c\'era nel testo (anche i candidati alla normale lo sapevano): si consideri il mcm dei numeri minori o uguali a sqrtn...