Numeri Complessi, molto Complessi

Gauss · Messaggio da **Gauss** » 01 gen 1970, 01:33

Voglio aprire questo topic, perchè in questo forum fino ad ora non se ne è parlato per niente, od in generale veramente poco, potrebbe nascere una conversazione interessante no?
 Intanto, diamo per scontato di sapere che un numero complesso è un numero a+bi, dove i è l\'unità immaginaria e a e b sono reali, cioè la radice quadrata di meno uno. Diciamo pure che i numeri complessi possono essere rappresentati come punti sul piano complesso dove l\'ascissa rappresenta la parte reale (a) e l\'ordinata (b) il coefficiente della parte immaginaria. Si definisce poi il modulo di un numero p come la distanza i p dall\'origine del sistema di assi del piano complesso, il suo argomento come l\'angolo che forma con l\'asse delle x ed a questo modo si può mettere in relazione un numero complesso (come punto sul piano complesso) alle funzioni trigonometriche. E fino a qui ci siamo abbastanza, sono cose tutto sommato facili.
 Ora però mi sorgono alcune domande, più \"numeriche\" se così si può dire. Per esempio, ha un senso parlare di un numero complesso come primo o composto (nello stesso senso che vale per i numeri interi)?. Se ho un insieme di numeri complessi, posso trovare un massimo ed un minimo?. Che cos\'è una funzione a variabile complessa? mah... e meno male che mi chiamo gauss <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 [addsig] [ This message was edited by: Gauss on 2001-06-28 09:48 ]

Ero · Messaggio da **Ero** » 01 gen 1970, 01:33

So, che non è possibile determinare nè un minimo nè un massimo in un insieme di numeri complessi!

Gauss · Messaggio da **Gauss** » 01 gen 1970, 01:33

Prima in chat ho incontrato Fra, ed abbiamo parlato approfonditamente della questione. La prima cosa che è stata riscontrata è che nell\'insieme dei numeri complessi, non vale la fattorizzazione unica, questo significa che la fattorizzazione unica non esiste neppure dei numeri naturali, se trattati in ambito complesso. Infatti, se si considerano due numeri complessi A=r_a*(cos(a)+i*sin(a)), B=r_b(cos(b)+i*sin(b)) (espressi nel piano complesso tramite le funzioni trigonometriche, con r_a e r_b i moduli e a e b gli argomenti), si ha che il loro prodotto è uguale a AB=r_a*r_b*(cos(a+b)+i*(sin(a+b)), quindi A*B è un numero complesso con modulo uguale al prodotto dei moduli e argomento uguale alla somma degli argomenti. Da questo deriva che dato un qualsiasi numero questopuò essere scomposto in altri due tramite il suo argomento ed il suo modulo (un numero naturale giacerà sull\'asse x, avra quindi argomento zero, ovvero la somma di due argomenti uno apposto all\'altro).
 Poi abbiamo parlato delle funzioni con variabile complessa, ma ora ripensandoci ho capito che abbiamo fatto casino. L\'insieme C, non è un insieme ordinato e fino a qui ci siamo. Quello che avevamo pensato era che una funzione a variabile complessa potesse essere rappresentata tranquillamente nel piano complesso usando le coordinate polari. E l\'errore sta proprio qui, utilizzando le coordinate polari, le variabili, non sono numeri complessi, bensì un angolo ed una lunghezza, che sono reali. Sarebbe come cercare di rappresentare una funzione reale sulla retta dei reali. Quindi adesso ho iniziato a ipotizzare che servsse un sistema cartesiano tridimensionale, l\'interesezione ortogonale tra due piani complessi. Un punto (x,y) sarebbe quindi stato dato, da due punti uno per piano complesso di riferimento. Ma l\'errore stava anche qui, visto che date due coordinate il punto nello spazio poteva benissimo non esserci. La soluzione definitiva che ho trovato è la seguente: i numeri complessi non si possono rappresentare su una retta, in quanto non sono ordinabili, bensì su un piano. Una funzione a variabile complessa dovrà esser definita in un sistema cartesiano formato da quattro piani tra loro perpendicolari.
 
 Mica avrò sbagliato anche qui, mica saranno solo 3? oddiiiiiiiiiiiiiiiio... no, sono sicuro che siano 4, perchè con tre il punto può continuare benissimo a non esistere, ma 4 piani perpendicolari in 3 dimensioni non ci stanno[addsig]
 
 [ This message was edited by: Gauss on 2001-06-28 21:13 ]
 
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N3o · Messaggio da **N3o** » 01 gen 1970, 01:33

E\' giusto, Gauss, puoi rappresentare le funzioni complesse a variabili complesse in un piano quadridimensionale che è il prodotto cartesiano tra due piani complessi, che se non sbaglio portano il tuo nome... vergogna! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 In tutti i casi, le funzioni complesse credo siano un argomento un po\' troppo spinoso e complicato per essere compreso a fondo senza alcune nozioni preliminari, e soprattutto senza l\'aiuto di un testo.
 
 Io ne so pochissimo, ma ricordo, poiché se ne parla nel libro sul teorema di Fermat, che in questo piano quadridimensionale è possibile rappresentare figure con una particolare simmetria traslatoria, che rimangono uguali a se stesse in seguito ad una qualunque traslazione (cosa alquanto fuori dall\'ordinario).
 
 Queste figure si chiamano figure modulari e sono quelle a cui fa riferimento il teorema di Taniyama-Shimura, che ha permesso la dimostrazione dell\'ultimo teorema di Fermat.
 
 Tornando, invece, al discorso della fattorizzazione, se vai sul vecchio forum e cerchi tra i post uno che si intitola \"una domanda\", troverai una lunga e dettagliata spiegazione di Camillo su come definire i numeri primi in un sottoinsieme di C in modo tale da rispettare le due condizioni fondamentali:
 
 - un primo è divisibile solo per se stesso e per 1
 - se p è primo, e p|ab, allora p|a o p|b
 
 dalle quali si può far discendere il teorema fondamentale dell\'aritmetica, vale a dire l\'unicità della fattorizzazione.
 
 
 [ This message was edited by: N3o on 2001-06-28 21:59 ] [ This message was edited by: N3o on 2001-06-28 22:00 ]

Camillo · Messaggio da **Camillo** » 01 gen 1970, 01:33

Effettivamente nel vecchio forum avevo discusso con altre due-tre persone sulle possibili estensioni dell\'aritmetica dei numeri naturali a sottoinsiemi di numeri complessi. Ho gia\' visto domande riguardanti le stesse cose in altre discussioni di questo forum: potrebbe valere la pena di copiare quella vecchia discussione qui da qualche parte.
 Tanto per dare un\'idea sulle cose che avevamo discusso ecco qui una cosa che potrebbe interessare Gauss:
 
 Se chiamiamo interi complessi i numeri della forma a+ib con a e b interi, allora nell\'insieme degli interi complessi si puo\' dare una nozione piuttosto soddisfacente di numero primo. In particolare negli interi complessi vale un teorema analogo alla fattorizzazione unica.
 
 Tra l\'altro questi interi complessi vengono chiamati \"interi di Gauss\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">