Numeri curiosi

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

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lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Cerchiamo di vedere, con l\'aiuto (spero) di tutti, alcune proprietà curiose di numeri (o classi di numeri) più o meno importanti.
<BR>Iniziamo con un numero celebre, il rapporto aureo 1,618033...(che d\'ora in poi indicheremo con Y).
<BR>Innanzitutto ecco da dove viene fuori: dato un quadrato di lato l, costruire su di esso un rettangolo con l\'altro lato L tale che
<BR>L:l=l<IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">L-l). Il rapporto L/l è Y.
<BR>Un rettangolo con L/l=Y è per esempio riscontrabile nella struttura del Partenone.
<BR>Ecco allora due semplici proprietà di Y.
<BR>1) 1/Y = Y-1
<BR>2) Y^n+Y^(n+1)=Y^(n+2), quest\'ultima già citata nel giornalino informatico.
<BR>Chi le vuol dimostrare?
<BR>Ciao <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> [addsig]

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

La proporzione dove c\'è la faccina va letta
<BR>L sta a l come l sta a (L meno l).

Gauss
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Messaggio da Gauss » 01 gen 1970, 01:33

Io ti posso dimostrare che il rapporto tra due numeri successivi della successione di Fibonacci tende a (1+sqrt(5))/2 (cioè a phi, il rapporto aureo, quello che può essere ricavato dalla tua proporzione).
<BR>La successione di Fibonacci è caratterizzata dalla seguente legge che permette di calcolare per ricorrenza i suoi termini:
<BR>a_n+1 = a_n + a_n-1
<BR>Dividendo per a_n si ottiene:
<BR>a_n+1/a_n = 1 + a_n-1/a_n.
<BR>Noi vogliamo calcolare il limite a cui tende a_n+1/a_n se n tende all\'infinito. Questo limite sarà lo stesso a cui tende a_n/a_n-1, quindi chiamando tale limite L si ha che, dalla equazione precedente: L = 1 + 1/L, quindi L^2 - L- 1=0. Le soluzioni di questa equazione sono L=(1+sqrt(5))/2 e L=(1-sqrt(5))/2. La seconda è negativa e si scarta, la prima è proprio (tadaaaam) il rapporto aureo.
<BR>
<BR>A questo punto si dimostrano entrambe le tue proprietà, per la prima basta sostituire e fare i calcoli, la seconda discende dal fatto che L (o come lo chiami tu Y) è soluzione dell\'equazione x^2=x+1, e quindi la seconda proprietà che hai trovato si ottiene moltiplicando entrambi i membri dell\'equazione per x^n.
<BR>
<BR>PS. Come avrai notato, per definire la successione di fibonacci ho usato solo la regola di ricorrenza e non i due termini iniziali. Questo perchè qualunque siano i due termini iniziali, se si parla di una successione descritta da quella legge, allora il rapporto tra due termini successivi tende sempre a phi.
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N3o
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Messaggio da N3o » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>La seconda è negativa e si scarta,
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Gauss!! Ma l\'hai detto tu stesso che del maiale non si butta via niente! Perché scartare la soluzione negativa?
<BR>Proviamo a vedere la successione nei due versi:
<BR>
<BR>... -21 13 -8 5 -3 2 -1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 ...
<BR>
<BR>Come puoi notare se fai il rapporto tra due termini consecutivi, allontanandoti verso sinistra, il limite è proprio quel numero negativo che hai scartato tu, che non è altro che -1/phi.
<BR>
<BR>Ciao!

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Continuiamo con la serie di Fibonacci. Ecco due belle domandine:
<BR>1) Dimostrare che
<BR>sum[j=1...n]a_j=a_(n+2) -1
<BR>2) Dimostrare che
<BR>sum[j=1...n]a_( 2j-1)=a_2n
<BR>Ciao ciao <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> [addsig]

Lucio
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Messaggio da Lucio » 01 gen 1970, 01:33

Inducendo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">:
<BR>n=1 --> a_1=a_3 - 1 --> ok
<BR>se sum[j=1...n]a_j=a_(n+2) - 1 per un certo n, allora
<BR>sum[j=1...n+1]a_j=a_(n+2) - 1 + a_(n+1)=a_(n+3) - 1
<BR>
<BR>similmente:
<BR>n=1 --> a_1=a_2 ok
<BR>se sum[j=1...n]a_(2j-1)=a_2n per un certo n, allora:
<BR>sum[j=1...n+1]a_(2j-1)=a_2n + a_(2n+1)=a_2(n+1)
<BR>
<BR>Accipicchia, che parto scrivere tutti sti simboli, nollo faccio +... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
<BR>
<BR>Tschüss

Gauss
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Messaggio da Gauss » 01 gen 1970, 01:33

Ecco, sono tornato a Siena.
<BR>Il rapporto aureo è ricavato geometricamente prendendo un segmento unitario AB ed un punto C al suo interno, in modo che AC stia a CB come CB sta ad AB. E se io prendessi tre due punti C e D (con C che precede D) e dividessi il segmento unitario in 3 parti (x, y e 1-(x+y)) in modo che AC/CD=CD/CB=CB/AB?
<BR>Ho fatto un pò di calcoli ma alla fine devo risolvere un\'equazione di terzo grado... uffa
<BR>
<BR>PS a proposito N3o, a questo punto è chiaro che questo sistema assiomatico è troppo ristretto per contenere sia me che i numeri negativi... ed il maiale....<BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: Gauss on 2001-06-24 10:49 ]</font>
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lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

A questo punto cambierei argomento...
<BR>Un\'importante classe di numeri con proprietà particolari è quella dei numeri triangolari.
<BR>Sono i termini della successione 1,3,6,10,15,... definita per mezzo della seguente formula di ricorrenza:
<BR>a_1=1
<BR>a_n=a_(n-1)+n.
<BR>Ecco due semplici esercizi:
<BR>1) Individuare (attraverso un\'apposita notazione) i numeri triangolari nel triangolo di tartaglia.
<BR>2) Dimostrare che a_(n-1)+a_n=m² per ogni valore di n e per unopportuno valore intero di m.
<BR>Ciao a tutti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>[addsig]<BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: lordgauss on 2001-06-24 19:58 ]</font>

N3o
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Messaggio da N3o » 01 gen 1970, 01:33

Innanzitutto dimostriamo per induzione che a_n = n(n+1)/2
<BR>
<BR>Infatti:
<BR>a_1 = 1*2/2
<BR>a_(n+1) = a_n + n = n(n+1)/2 + n + 1 = (n+1)(n+2)/2
<BR>
<BR>---
<BR>
<BR>Esprimiamo il generico a_n come coefficiente binomiale:
<BR>a_n = n(n+1)/2 = (n+1)!/((n-1)! 2!) = C(n+1,2)
<BR>Dunque la sequenza dei numeri triangolari è la terza colonna del triangolo di tartaglia.
<BR>
<BR>---
<BR>
<BR>Dimostriamo ora che la somma di due numeri triangolari consecutivi è un quadrato:
<BR>
<BR>a_(n-1) + a_n = n(n-1)/2 + n(n+1)/2 = n/2 (n+1+n-1) = 2n^2/2 = n^2

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Complimenti N3o per le brillanti dimostrazioni. Passiamo avanti, ai numeri perfetti. Un numero si dice perfetto se è uguale alla somma dei suoi divisori (incluso l\'uno ma escluso il numero stesso). Ad es. 28 è perfetto. Ecco allora un problema che ho trovato nel sito
<BR>web.tiscalinet.it/scoleri:
<BR>Dimostrare che i numeri della forma
<BR>2^n · (2^(n+1)-1)
<BR>sono perfetti se il secondo fattore è un numero primo.
<BR>Ciao <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [addsig]

Lucio
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Messaggio da Lucio » 01 gen 1970, 01:33

Suggerimento:
<BR>quando si cambia discorso è meglio aprire una nuova discussione. Quindi i numeri perfetti li si tratti da un\'altra parte <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>(tra l\'altro avevo scritto la dimostrazione e ho dovuto riavviare <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> Grrrrr)
<BR>
<BR>Cmq: tornando al caro figlio di Bonaccio:
<BR>come si prova che se n|k allora F(n)|F(k) ?
<BR>[F(n) è l\'n-simo numero della serie (e vaaa?!) con le solite convenzioni.]
<BR>Ne seguirebbe che se F(p) è primo, anche p è primo (p>4)
<BR>
<BR>Di + <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">: se k=2n
<BR>F(2n)=F(n)(F(n+1)+F(n-1))
<BR><IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
<BR>
<BR>Tschüss<BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: Lucio on 2001-06-24 23:35 ]</font>

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