convessità

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psion_metacreativo
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Messaggio da psion_metacreativo » 01 gen 1970, 01:33

Se di una funzione f(x) non riesco a calcolare la derivata seconda, o proprio non è definità come posso discutere della sua convessità o concavità? e come faccio a dimostrare che è convessa in un certo intervallo?
<BR>sono graditi oltre che giustificazioni teoriche anche qualche esempio pratico. Per favore rispondete il meno high level possibile grazie.

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Suppongo che te ti riferisca a funzioni reali di variabile reale, giusto? Presumo inoltre, là dove affermi di non riuscire a \"calcolare la derivata seconda\", che tu voglia dire di non poterne gestire facilmente l\'espressione, ossia di non riuscirne a stabilire gli intervalli di positività e gli eventuali nulli, dacché di forma particolarmente complicata, giusto?
<BR>
<BR>Se mi chiarisci questo punto, magari quando torno dall\'università (ché adesso mi tocca salire al dipartimento per sbrigare un numero titanico di faccenduole), vedrò di completare il discorso, sempre ammesso che qualcuno non gli provveda prìa che me!!! D\'accordo? Ciao, Psion! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
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Messaggio da psion_metacreativo » 01 gen 1970, 01:33

Si mi riferisco a funzioni reali di variabile reale, e dove dico di non riuscire a \"calcolare la derivata seconda\", voglio dire di non poterne gestire facilmente l\'espressione, ossia di non riuscirne a stabilire gli intervalli di positività e gli eventuali nulli, dacché di forma particolarmente complicata,
<BR>oppure proprio non so calcolare la derivata perchè le normali regole non bastano (ma quest\'ultimo caso m\'interessa più in linea teorica come curiosità che altro).

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Messaggio da psion_metacreativo » 01 gen 1970, 01:33

P.S. una retta è concava o convessa dato che ha la derivata seconda costantemente uguale a 0?

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Antimateria
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Messaggio da Antimateria » 01 gen 1970, 01:33

La definizione di convessità di una funzione non è con la derivata seconda, che non sempre esiste, ma è:
<BR>
<BR>f(tx+(1-t)y) <= tf(x)+(1-t)f(y)
<BR>
<BR>per ogni x, y, e per ogni t in [0,1] o in molte altre forme equivalenti. Per la concavità, la definizione è la stessa ma con il >=. Per visualizzare meglio quella formula, pensa a un grafico in cui, per ogni coppia di punti, la funzione sta \"sotto\" il segmento che li unisce.
<BR>
<BR>Quindi, se non riesci a derivare o vedere positività, etc, puoi cercare di dimostrare questa formula.
<BR>
<BR>
<BR>Btw, una retta è convessa, perchè la definizione di convessità di insiemi è diversa da quella di funzioni... Se invece ti riferisci a una funzione il cui grafico è una retta, per le definizioni di cui sopra, essa è sia concava che convessa.[addsig]

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Messaggio da psion_metacreativo » 01 gen 1970, 01:33

Come faccio a dimostrare quella formula visto che deve valere <!-- BBCode Start --><B>per ogni</B><!-- BBCode End --> x, y, t ?

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Uhm... mio malgrado, mi trovo costretto a dissentire con alcune affermazioni formulate da quel neurone polimorfico del <!-- BBCode Start --><I>gran trifolator de li culi adusti</I><!-- BBCode End -->! Speriamo soltanto non me ne voglia a male, il bontempone!!! Prrrrrrrr! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>
<BR>Allooora... supponiamo sia f(-) una funzione reale di variabile reale definita in un <!-- BBCode Start --><I>g</I><!-- BBCode End -->erto sottoinsieme X non vuoto di R. Diciamo innanzi<!-- BBCode Start --><I>all</I><!-- BBCode End --> <!-- BBCode Start --><B>epigrafico di f(-) in X</B><!-- BBCode End --> l\'insieme Epi(f)<sub>X</sub> := {(x,y)€R<sup>2</sup>: x€X, y ≥ f(x)}.
<BR>
<BR>Ammettiamo adesso che sia I := ]a,b[ un intervallo non degenere, <!-- BBCode Start --><I>eventually unbounded</I><!-- BBCode End -->, interamente contenuto in X. Diciamo che f(-) è <!-- BBCode Start --><B>convessa</B><!-- BBCode End --> (risp., <!-- BBCode Start --><B>concava</B><!-- BBCode End -->) in I se l\'epigrafico Epi(f)<sub>I</sub> della restrizione su I della f(-) è un insieme convesso (risp., concavo) in R<sup>2</sup>, ovvero se comunque scelti due punti (x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>), (x<sub>2</sub>,y<sub>2</sub>)€Epi(f)<sub>I</sub>, il segmento che li congiunge giace (risp., non giace) interamente contenuto in Epi(f)<sub>I</sub>.
<BR>
<BR>Ora, si prova facilmente che f(-) è convessa (risp., concava) in I <!-- BBCode Start --><B>se e solo se</B><!-- BBCode End -->, comunque fissati x, y€I e per ogni t€[0,1], resta dimostrato che:
<BR>
<BR><center>f(tx+(1-t)y) ≤ t*f(x)+(1-t)*f(y)<font color=white>......</font>[risp., f(tx+(1-t)y) ≥ t*f(x)+(1-t)*f(y)]</center>
<BR>sì come già detto dal gran geomètra ( <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> ). Soltanto, codesta <!-- BBCode Start --><I>non est</I><!-- BBCode End --> la <!-- BBCode Start --><I>definiciόn</I><!-- BBCode End --> de la convessitade, né d\'assumerla qual tale sarebbe \'n buono affare! Ne segue che, se il grafico di f(-) è lineare in I, allora f(-) è convessa in I. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>
<BR>Ora... nell\'ipotesi che f(-) sia derivabile quantomeno al secondo ordine in ogni punto dell\'intervallo ]a,b[, si dimostra che f(-) è convessa (risp., concava) in
<BR>]a,b[ se e soltanto se f\'\'(x) ≥ 0 (risp. f\'\'(x) < 0), per ogni x€]a,b[.
<BR>
<BR>Questa proposizone (che è condizione necessaria e sufficiente) fornisce un metodo particolarmente efficiente nello studio della convessità della massima parte delle funzioni (reali di una variabile reale) tipicamente \"affrontate\" nelle applicazioni scolastiche <!-- BBCode Start --><I>standard</I><!-- BBCode End -->, e ciò nonostante presenta il problema collaterale connesso alla risoluzione della disequazione: f\'\'(x) ≥ 0, onde stabilire gli \"intervalli di convessità e concavità\" nel dominio della f(-).
<BR>
<BR>Quando la risoluzione analitica di una tal disequazione non sia attuabile, dacché poco agevole, per ragioni di varia e molteplice natura riconducibili in ogni caso alla matrice comune di un\'espressione troppo complessa della f\'\'(-); oppure quando le ipotesi che garantiscono l\'applicabilità della proposizione sopra citata non sussistano, l\'unica via praticabile (almeno in generale) passa per l\'applicazione diretta della definizione!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
<BR>
<BR>In alcuni casi particolari, tuttavia, quando la f(-) sia derivabile in I ma la f\'\'(-) abbia un\'espressione troppo complicata da gestire, ci si può limitare allo studio della derivata prima della f(-) e alla determinazione dei suoi intervalli di crescenza e decrescenza in X, usando argomentazioni <!-- BBCode Start --><I>ad hoc</I><!-- BBCode End --> per descrivere approssimativamente l\'andamento della concavità del suo grafico! Tuttavia, per conoscere gli eventuali punti di inversione (flessi), è necessario (eccetto che in alcuni casi veramente fortunati) risolvere comunque l\'equazione f\'\'(x) = 0, eventualmente per mezzo di un qualche procedimento numerico piuttosto che analitico! Deludente, vero? <!-- BBCode Start --><I>Sorry</I><!-- BBCode End -->, ma più di questo... non so dirti!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
<BR>
<BR>EDIT: ecco!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 28-02-2004 00:26 ]
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massiminozippy
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Messaggio da massiminozippy » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-02-27 18:58, euler_25 wrote:
<BR>
<BR>Ora, si prova facilmente che f(-) è convessa (risp., concava) in I <!-- BBCode Start --><B>se</B><!-- BBCode End -->, comunque fissati x, y€I e per ogni t€[0,1], resta dimostrato che:
<BR>
<BR><center>f(tx+(1-t)y) ≤ t*f(x)+(1-t)*f(y)<font color=white>......</font>[risp., f(tx+(1-t)y) ≥ t*f(x)+(1-t)*f(y)]</center>
<BR>sì come detto dal gran geomètra ( <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> ). Soltanto, codesta <!-- BBCode Start --><I>non est</I><!-- BBCode End --> la <!-- BBCode Start --><I>definiciόn</I><!-- BBCode End --> de la convessitade, né d\'assumerla qual tale sarebbe \'n buono affare! Ché piuttosto essa costituisce una <!-- BBCode Start --><I>conditio</I><!-- BBCode End --> sufficiente per la convessità, non pur certo <!-- BBCode Start --><I>nécessaire</I><!-- BBCode End --> per garantirla (<!-- BBCode Start --><I>Paris, je t\'aime</I><!-- BBCode End -->!).
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Courant-Robbins pagina 641:
<BR>Dimostrare che la funzione u=f(x) è convessa SE, E SOLTANTO SE, [f(x_1)+f(x_2)]/2>=f([x_1+x_2]/2), che è equivalente a quella di antimateria e alla tua ponendo t=0.5.
<BR>Cosa mi (ti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> ) sfugge??

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Antimateria
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Messaggio da Antimateria » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-02-27 18:58, euler_25 wrote:
<BR>Soltanto, codesta <!-- BBCode Start --><I>non est</I><!-- BBCode End --> la <!-- BBCode Start --><I>definiciόn</I><!-- BBCode End --> de la convessitade, né d\'assumerla qual tale sarebbe \'n buono affare! Ché piuttosto essa costituisce una <!-- BBCode Start --><I>conditio</I><!-- BBCode End --> sufficiente per la convessità, non pur certo <!-- BBCode Start --><I>nécessaire</I><!-- BBCode End --> per garantirla
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Euler, a me le 2 definizioni sembrano proprio equivalenti, ed in modo piuttosto palese!!!
<BR>Quale sarebbe secondo te una funzione che rispetta la tua definizione, ma non la mia?[addsig]

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

@<!-- BBCode Start --><B>Antimateria</B><!-- BBCode End -->: niuna differenza, Mind!!! E\' soltanto che volevo essere IO a rispondere a Psion, uffi!!! Te mi hai anticipato sui tempi ed io... l\'ho presa male!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> Non mi vorrai mica picchiar per questo? <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
<BR>
<BR>
<BR>@<!-- BBCode Start --><B>Massimino</B><!-- BBCode End -->: in effetti, adesso che ci ho avuto una notte intera per rifletterci... riconosco che qualcosina ( <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> ) m\'era sfuggito per davvero!!! La condizione indicata è <!-- BBCode Start --><B>chiaramente</B><!-- BBCode End --> un \"se e solo se\", soltanto che, siccome mi sto rimbarbagiando a vista d\'occhio... <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
<BR>
<BR>E vabbé, Cristo santo!!! In tre giorni avrò dormito sì e no cinque ore! Se poi ci metti in mezzo i marmocchi della ripetizione pomeridiana ( <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif"> )... e le donne che mi tormentano l\'esistenza ( <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> )... e Febiz che m\'angustia sul chan delle Olimpiadi con le sue botte di legno ( <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> )... e Anti che prova in tutti i modi di sedurmi per farmi uscire allo scoperto ( <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> )... ed io che non so più che fare per nascondermi ( <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> )... e la fra_sca che mi stravolge la concentrazione testosteronica nel sangue ( <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> )... suvvia, puoi ben capire che il mio equilibrio mentale è quanto mai precario e destabilizzato! <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"><font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 28-02-2004 10:40 ]
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>

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massiminozippy
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Messaggio da massiminozippy » 01 gen 1970, 01:33

\"In effetti, adesso che ci ho avuto una notte intera per rifletterci... riconosco che qualcosina ( <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> ) m\'era sfuggito per davvero!!!\"
<BR>
<BR>Direi più che qualcosina....
<BR>
<BR>
<BR>\"E vabbé, Cristo santo!!! In tre giorni avrò dormito sì e no cinque ore\"
<BR>
<BR>Dicono tutti così...
<BR>
<BR>
<BR>\"Se poi ci metti in mezzo i marmocchi della ripetizione pomeridiana ( )... e le donne che mi tormentano l\'esistenza\"
<BR>
<BR>Fai ripetizioni ai ragazzini delle elementari....? Che pover uomo che è il nostro Euler....
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">

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Messaggio da fph » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Courant-Robbins pagina 641:
<BR>Dimostrare che la funzione u=f(x) è convessa SE, E SOLTANTO SE, [f(x_1)+f(x_2)]/2>=f([x_1+x_2]/2), che è equivalente a quella di antimateria e alla tua ponendo t=0.5.
<BR>Cosa mi (ti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> ) sfugge??
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>La defiizione giusta di convessita\' e\' quella con il t generico. Quella formula (la \"mid-point convexity\") vale sotto l\'ipotesi aggiuntiva che f sia continua, evidentemente il c.r. lo dice in un posto un po\' piu; oscuro (forse qlcs del tipo \"da questo momento in poi, tutte le funzioni di cui parliamo sono continue\", non so, non ce l\'ho sottomano).
<BR>
<BR>--federico
<BR>
<BR>
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-02-28 11:23, massiminozippy wrote:
<BR>\"In effetti, adesso che ci ho avuto una notte intera per rifletterci... riconosco che qualcosina ( <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> ) m\'era sfuggito per davvero!!!\"
<BR>
<BR>Direi più che qualcosina....
<BR>
<BR>
<BR>\"E vabbé, Cristo santo!!! In tre giorni avrò dormito sì e no cinque ore\"
<BR>
<BR>Dicono tutti così...
<BR>
<BR>\"Se poi ci metti in mezzo i marmocchi della ripetizione pomeridiana ( )... e le donne che mi tormentano l\'esistenza\"
<BR>
<BR>Fai ripetizioni ai ragazzini delle elementari....? Che pover uomo che è il nostro Euler....
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>O Massimino? o che t\'è preso? Ti ho reso qualche torto di cui non ci ho memoria? Baaaah, chi ti capisce!!! In ogni caso... il \"<!-- BBCode Start --><B>qualcosina</B><!-- BBCode End -->\", giusto per intederci, era assolutamente \"<!-- BBCode Start --><B>autoironico</B><!-- BBCode End -->\", figuriamoci!!! Quando si dicono stronzate, com\'io ho fatto là dove te l\'hai rilevato, è giusto darne evidenza, e magari esser pure dissacranti ed efferati, fintanto che si è fra adulti!!! Ma te capisci bene che un vanesio deve quantomeno cercar di ridimensionare il proprio dolo... è nel giusto ordine delle cose!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
<BR>
<BR>P.S.: no, disgraziato!!! Non trattasi di ragazzetti delle scuole elementari... grrrrrr!!! Cos\'è... stai prendendo informazioni perché avresti bisogno di un qualche ciclo di lezioni private? Campi di spezzamento, vero? Mi dispiace, ma i casi disperati come il tuo... non me li piglio a lavoro, neppure se mi pagano 100 € l\'ora!!! Ci ho un codice deontologico e una mia moralità, IIIIIOOO!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"><font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 28-02-2004 12:54 ]
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>

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Messaggio da psion_metacreativo » 01 gen 1970, 01:33

in teoria l\'ho capita la disequazione di convessità, ma in pratica come si dimostra su un data funzione?

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massiminozippy
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Messaggio da massiminozippy » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-02-28 12:52, euler_25 wrote:
<BR>
<BR>O Massimino? o che t\'è preso? Ti ho reso qualche torto di cui non ci ho memoria? Baaaah, chi ti capisce!!! In ogni caso... il \"<!-- BBCode Start --><B>qualcosina</B><!-- BBCode End -->\", giusto per intederci, era assolutamente \"<!-- BBCode Start --><B>autoironico</B><!-- BBCode End -->\", figuriamoci!!! Quando si dicono stronzate, com\'io ho fatto là dove te l\'hai rilevato, è giusto darne evidenza, e magari esser pure dissacranti ed efferati, fintanto che si è fra adulti!!! Ma te capisci bene che un vanesio deve quantomeno cercar di ridimensionare il proprio dolo... è nel giusto ordine delle cose!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
<BR>
<BR>P.S.: no, disgraziato!!! Non trattasi di ragazzetti delle scuole elementari... grrrrrr!!! Cos\'è... stai prendendo informazioni perché avresti bisogno di un qualche ciclo di lezioni private? Campi di spezzamento, vero? Mi dispiace, ma i casi disperati come il tuo... non me li piglio a lavoro, neppure se mi pagano 100 € l\'ora!!! Ci ho un codice deontologico e una mia moralità, IIIIIOOO!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"><font color=white>
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Nessun torto, anzi. Volevo solo farti provare in minima parte cosa si prova ad essere pizzicato in un veniale errore...Così la prossima volta, anzicchè cercare di battere sul tempo gli altri, ci si concentra un pochino di più....Come vedi gli errori possono farli tutti, ma non per questo ci si deve scagliare in maniera violenta contro chi li commette, anche se il motivo per cui tu lo fai è un altro. (Cmq non preoccuparti più di tanto, anche la mia prof di analisi, durante il mio esame orale, sosteneva che la proposizione era giusta solo con il SE...)
<BR>
<BR>No, non ho bisogno di lezioni private, quindi puoi anche evitare di sbattere la testa sui campi di spezzamento, che tanto ti risultano difficili. E se lo vuoi sapere non ho intenzione di uppare quel mio bel forum...e quel bel problema che ti fa ancora penare... Non preoccuparti, nessuno verrà mai a chiederteli, quindi dormi notti tranquille...
<BR>
<BR>Oggi sono un pò cattivello....Muahahhahahhahhah....

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