Problemi gara e a squadre

[Boll]

Piever, avevo sbagliato io a scrivere, guarda ora.

[Ale the punisher]

Salve gente! (Ke emozione, il primo post!!)

Qualcuno mi può dare un paio di drtitte sui problemi 17 e 19 della finale?
In quello della condanna non capisco cosa intenda di preciso per strettamente crescente...

Il 19 l'ho fatto io nella squadra, praticamente vedevi che piazzandone uno a caso (probabilità di 1\1 finora) sia che fosse davanti che fosse dietro l'altro doveva stare in altri 8 posti, quindi per ora 8\9, poi il terzo doveva stare ne davanti o dietro agli altri due che quindi rendevano inutilizzabili altri due posti, quindi finora 8\9*6\8, allora rimaneva l'ultimo che aveva a disposizione soltanto 4 posti di 7 (tre inservibili perché o davanti o dietro agli altri tre compagni), quindi in totale 8\9*6\8*4\7= 8\21

[edriv]

Pubblico 5 (ma anche gara ufficiale):


Ipotesi:
$ AC=CD=10\sqrt 5 $
$ BC=5\sqrt 5 $
$ CE=10 $

Trovare AB.
Io l'ho fatto così:
- prima trovo altri dati, come BE e ED con pitagora.
Sono, rispettivamente, $ 5 $ e $ 10 $, quindi BD=$ 15 $.

Provo a farmi un'idea di come è fatta la figura (i testi cercano sempre di fregarti): e così scopro che il triangolo BCD è rettangolo, quindi BD=15 è il diametro.
Allora, disegnando un altro diametro e ricordando che AC=CD, ottengo il seguente disegno che focalizza quello che cerco (le lettere sono cambiate):


So che $ BD=15,BC=AD=5\sqrt 5, CD=AB=5\sqrt 5 $ e devo trovare CA.
Chiamo x e y i segmenti CI e ID, ottengo il sistema:
$ x+y=10\sqrt 5 $
$ y^2-x^2=125 $

Da cui ottengo che
$ \frac xy = \frac 35 $. A cosa mi serve questo?
Per ottenere CA! Infatti i triangoli CIA e BID sono simili e quindi $ CA=\frac 35 15 = 9 $.

[Fede_Coach]

Uhm, a me DE viene 25 con Pitagora... controlla i conti!

Edit: inoltre

Ipotesi:
$ AC=CD=10\sqrt 5 $

[...]

$ CA=\frac 35 15 = 9 $

C'è qualcosa che non torna.

[edriv]

Sì, il diametro viene effettivamente 25 (edit, non 35 ) e quindi il risultato è 15 (se non ho ancora sbagliato.

Comunque nella seconda parte ho rifatto un nuovo problema praticamente e ho anche cambiato tutte le lettere...

Ora aggiungo il "problema del dodecagono" detto anche "problema di Poliwhirl"



Questo è il problema: i tre lati fanno parte di un dodecagono regolare, bisogna trovare il rapporto tra l'area del triangolo centrale e la somma dei tre triangolini.

Con un po' di angle chasing si trova:
$ \widehat{AOB} = \frac {180°} {12} = 15° $
$ \displaystyle \widehat{OAD} = \frac {180° - \frac 56 \cdot 180°} 2 = 15° $
Quindi ACO è isoscele e AC=OC
Inoltre si trova facilmente che ABC e CDO sono dei triangoli 30-60-90, per concludere, sono uguali.

Ma allora il triangolo centrale è esattamente la somma dei tre triangolini! Il risultato è 1 (nella gara era anche da moltiplicare per 1000, quindi 1000)

[Marco]

Soluzione per il problema del 12cagono, [quasi] senza parole:

Tassellate il dodecagono con sei triangoli equilateri, sei quadrati e un esagono regolare. Il traingolo centrale è "inscritto" nell'esagono centrale. The claim follows easily.

EDIT:

edriv: Ora aggiungo il "problema del dodecagono" detto anche "problema di Poliwhirl"

...e perché? Mica l'ha fatto lui...

[teppic]

Tassellate il dodecagono con sei triangoli equilateri, sei quadrati e un esagono regolare. Il traingolo centrale è "inscritto" nell'esagono centrale. The claim follows easily.

Ohhh

[edriv]

Soluzione per il problema del 12cagono, [quasi] senza parole:

Tassellate il dodecagono con sei triangoli equilateri, sei quadrati e un esagono regolare. Il traingolo centrale è "inscritto" nell'esagono centrale. The claim follows easily.

...e perché? Mica l'ha fatto lui...

No, ho detto così perchè nella gara del pubblico si è impuntato su quello...

[dalema]

quali sono secondo voi i probelmi piu difficili di semifinale e finale?gli ultimi?

[Marco]

Di gran lunga, le Pozioni, di cui si è già ampiamente parlato, e trovare il minimo di quella roba schifosa, che non ci ho cavato un ragno dal buco (ma sono io che non sono buono di diseguaglianze...)