Gara per il pubblico 2019

La competizione di matematica più spettacolare che ci sia!
Zar
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Gara per il pubblico 2019

Messaggio da Zar » 06 mag 2019, 21:58

Ciao, qualcuno ha le soluzioni della gara per il pubblico di Cesenatico 2019?

mr96
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Re: Gara per il pubblico 2019

Messaggio da mr96 » 07 mag 2019, 11:56

Ciao, le soluzioni scritte non credo ci siano (e non credo che qualcuno abbia voglia di farle), ti conviene chiedere i singoli esercizi e magari qualcuno li risolve, oppure che gli autori si facciano vivi :)

Zar
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Re: Gara per il pubblico 2019

Messaggio da Zar » 07 mag 2019, 16:31

Mi bastava anche l'elenco delle risposte, se fosse disponibile...

fph
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Re: Gara per il pubblico 2019

Messaggio da fph » 07 mag 2019, 19:01

Ciao! Dovrebbero essere queste:
C’era una volta
1729
Personaggi fantastici e dove trovarli
2937
Rana che salta [?]
5940
Emergenza in palude [?]
1300
Archi e cipolle
8016
Combattimento parimpari [?]
2480
Il ponte sulla lava
2625
Due catene per un drago [??]
1087
La casella di un altro colore [??]
2304
Codici a barre [? ? ?]
0043
Tovaglioli tricolore
2225
Questo polinomio non s’ha da fare
2663
--federico
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Re: Gara per il pubblico 2019

Messaggio da Zar » 07 mag 2019, 21:39

Ok, grazie.

Ora, una domanda specifica: per il problema 5, archi e cipolle, esiste un metodo furbo oppure bisogna farsi tutti i casi? Io avevo iniziato a costruire un albero con tutti i fattori, ma non mi pareva un Metodo Bello.

fph
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Re: Gara per il pubblico 2019

Messaggio da fph » 07 mag 2019, 21:52

Esiste un metodo semi-furbo (qualche conto comunque ti tocca farlo).
Hint 1:
Testo nascosto:
Quality-of-life improvement: pensa ad ogni fattore $2^a 5^b$ come una coppia $(a,b)$
Hint 2:
Testo nascosto:
Riesci a trovare una ricorsione che ti dica quante cipolle hanno numero più interno $(a,b)$
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Re: Gara per il pubblico 2019

Messaggio da Zar » 08 mag 2019, 22:24

Ah, grazie, sono riuscito a risolverlo compilando una tabella 5 per 6. Non ho scritto una formula ricorsiva vera e propria, ma una cosa del genere

$
$$\displaystyle
N(a,b) = \sum_{0\le h,k\le a\\(h,k)\ne (a,b)} N(h,k),
$$
$

dove $ N(a,b) $ è il numero di modi per arrivare allo strato contenente $ 2^a 5^b $. Non riesco a scrivere la formula in modo più elegante, ma ho capito come riempire in fretta la tabella con tutti i valori che servono.

Zar
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Re: Gara per il pubblico 2019

Messaggio da Zar » 09 mag 2019, 08:41

Ecco, credo di non poter fare meglio di così:

$
\displaystyle
N(a,b)=2N(a-1,b)+\sum_{k=0}^{b-1}N(a,k).
$

fph
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Re: Gara per il pubblico 2019

Messaggio da fph » 09 mag 2019, 14:06

Zar ha scritto:
08 mag 2019, 22:24
Ah, grazie, sono riuscito a risolverlo compilando una tabella 5 per 6. Non ho scritto una formula ricorsiva vera e propria, ma una cosa del genere
$
$$\displaystyle
N(a,b) = \sum_{0\le h,k\le a\\(h,k)\ne (a,b)} N(h,k),
$$
$
Ma quella è una formula ricorsiva (almeno secondo la mia definizione). :D

Tutto giusto comunque, non credo ci siano modi molto più furbi.
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Re: Gara per il pubblico 2019

Messaggio da Zar » 09 mag 2019, 22:01

Già che ci siamo, qualcuno ha voglia di dare qualche hint per risolvere il 4? Ho provato a completare la quarta potenza e poi il quadrato di binomio che rimane, ma non ho avuto molto successo.

MauPao
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Re: Gara per il pubblico 2019

Messaggio da MauPao » 11 mag 2019, 22:46

C'e' una soluzione velocissima... c'e' stato un problema simile parecchi anni fa nella gara a squadre di marzo... dove compariva una somma di radici quadrate

Zar
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Re: Gara per il pubblico 2019

Messaggio da Zar » 12 mag 2019, 11:10

Io conoscevo un metodo che aveva a che fare con la formula della distanza tra due punti, ma non si riesce a applicare a questo esercizio.

MauPao
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Re: Gara per il pubblico 2019

Messaggio da MauPao » 12 mag 2019, 15:42

Si, e' quello...
Testo nascosto:
Si tratta di riscrivere ciascun radice in modo da riconoscerla come distanza di (x,f(x)) da un certo punto... e' facile intuire che tipo di funzione deve essere f(x) e poi ricavarla (si puo' giocare con le traslazioni verticali in modo da, ad esempio, decidere che f(0)=0).

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Re: Gara per il pubblico 2019

Messaggio da Zar » 12 mag 2019, 19:26

Ok, trovato, grazie. Avevo dimenticato il suggerimento di $ f(0)=0 $, e quindi temo di aver fatto più fatica di quanta non fosse necessaria.

MauPao
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Re: Gara per il pubblico 2019

Messaggio da MauPao » 13 mag 2019, 16:01

Ottimo. Altri problemi sui problemi?

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