Siccome mi chiamate tutti in causa, eccomi qua!
Innanzi tutto, grazie per i vari complimenti...
Dopodichè, ecco a voi la mia personale soluzione del 22...
La cosa che mi ha subito rotto le scatole era che ci fossero quei maledetti $ m+1 $ ed $ n+1 $. Inutili formalismi.
Ho definito due numeri $ a $ e $ b $ interi positivi e ne ho fatto i loro degni sostituti.
Le
leggi diventavano allora:
$ 0*0 = 1 $
$ 0*a = 0 $
$ a*0 = a[(a-1)*0] $
$ a*b = a[a*(b-1) + (a-1)*b] $
che sono moolto meglio...
Esaminiamole ora una per una
La
prima non presenta grandi difficoltà
La
seconda nemmeno
La
terza un po' di più... c'è una simpatica autoreferenzialità...
Se sviluppiamo il tutto otteniamo:
$ a*0 $
$ a\cdot[(a-1)*0] $
$ a(a-1)\cdot[(a-2)*0] $
$ a(a-1)(a-2)\cdot[(a-3)*0] $
...
$ a(a-1)(a-2)(a-3)\,\dots\,\cdot 2\cdot 1\cdot[0*0] $
$ a(a-1)(a-2)(a-3)\,\dots\,\cdot 2\cdot 1\cdot 1 $
che a me ricorda tanto un fattoriale, e precisamente posso dire che:
$ a*0 = a! $
E la
quarta?
Qui entra in gioco la "geniale" idea, come dite voi
, di inserire tutto questo bailamme di roba in un grafico.
Costruite una griglia con un sistema di assi nel vertice in basso a sinistra, $ x $ le ascisse e $ y $ le ordinate.
Avrete un insieme di celle di coordinate $ (x,y) $ con $ x,y \geq 0 $ interi.
Assegnate ad ogni cella $ (x,y) $ il valore di $ x*y $...
Applicando le leggi trovate avrete che:
La cella $ (0,0) $ varrà $ 1 $ (prima cella)
Le celle del tipo $ (0,a) $ con $ a\geq 1 $ (prima colonna) varranno $ 0 $
Le celle del tipo $ (a,0) $ con $ a\geq 1 $ (prima riga) varranno $ a! $
Per tutte le altre celle $ (x,y) $, il contenuto $ |(x,y)| $ vale:
$ |(x,y)| = x\cdot |(x,y-1)|+|(x-1,y)| $.
Ooooh!
Ora, per calcolare il valore di $ x*y $ mi basta:
- trovare la cella $ (x,y) $
- moltiplicare la sua ascissa per la somma dei valori contenuti nella cella immediatamente inferiore e nella cella immediatamente a sinistra...
Et voilà! Les jeux sont faits!
Avendo la prima colonna e la prima riga posso calcolare man mano il valore di tutte le celle del grafico.
Per arrivare alla
(5,5) la strada più breve è:
- calcolare la seconda colonna da (1,1) a (1,5)
- calcolare la terza colonna da (2,1) a (2,5)
- calcolare la quarta colonna da (3,1) a (3,5)
- calcolare la quinta colonna da (4,1) a (4,5)
- calcolare la sesta colonna da (5,1) a
(5,5)
Non sto a riportare la tabella, magari in futuro provvederò.
I numeri crescono molto rapidamente, ma non scoraggiatevi!
Ricordatevi del /1000 alla fine!
Scusate il poco formalismo, le malvage visualizzazioni LateX e la fretta espositiva ma sono effettivamente moolto di fretta...
@Francutio: certo che uso il bianchetto, che domande! Mica potevo riscrivere da capo la griglia di questo problema!