Gli albori
Inviato: 01 apr 2005, 08:27
Ciao. Quella che segue è una chicca rara. Si tratta del primissimo invio dei problemi di allenamento dell'allora neonato Gruppo Tutor. Correva l'anno 1996. Enjoy.
M.
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1. Dimostrare che in un triangolo non ottusangolo, il perimetro è sempre maggiore del doppio del diametro della circonferenza circoscritta.
2. Un certo numero di scuole prende parte ad un torneo di tennis. Due giocatori della stessa scuola non giocano mai l'uno contro l'altro, mentre due partecipanti di scuole diverse giocano esattemente una partita. Una partita tra due ragazzi o due ragazze è detta un "singolo", e quella tra un ragazzo ed una ragazza è un "singolo misto". Il numero totale di ragazzi differisce dal totale delle ragazze al massimo di 1. Il numero totale dei singoli differisce dal numero dei singoli misti al massimo di 1. Qual è il massimo numero di scuole rappresentate al torneo da un numero dispari di giocatori?
3. Provare che la successione $ \mathrm{Im} z_n $, dove
$ z_n = (1+i)(2+i) \cdots (n+i) $
contiene infiniti numeri positivi ed infiniti numeri negativi.
4. E' data una circonferenza. Su di essa è fissato un punto A ed al suo interno è fissato il punto D. Consideriamo una corda arbitraria BC che contiene D. Sia M il baricentro di ABC. Qual è il luogo descritto da M al variare di BC?
5. Tutte le facce di un poliedro convesso sono parallelogrammi. Tale poliedro può avere 1992 facce?
6. Trovare tutte le funzioni $ f: \mathbb Z \rightarrow \mathbb Z $ tali che $ f(-1) = f(1) $ e
$ f(x) + f(y) = f(x + 2 xy) + f(y - 2xy) $
per ogni $ x,y $ in $ \mathbb Z $.
M.
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1. Dimostrare che in un triangolo non ottusangolo, il perimetro è sempre maggiore del doppio del diametro della circonferenza circoscritta.
2. Un certo numero di scuole prende parte ad un torneo di tennis. Due giocatori della stessa scuola non giocano mai l'uno contro l'altro, mentre due partecipanti di scuole diverse giocano esattemente una partita. Una partita tra due ragazzi o due ragazze è detta un "singolo", e quella tra un ragazzo ed una ragazza è un "singolo misto". Il numero totale di ragazzi differisce dal totale delle ragazze al massimo di 1. Il numero totale dei singoli differisce dal numero dei singoli misti al massimo di 1. Qual è il massimo numero di scuole rappresentate al torneo da un numero dispari di giocatori?
3. Provare che la successione $ \mathrm{Im} z_n $, dove
$ z_n = (1+i)(2+i) \cdots (n+i) $
contiene infiniti numeri positivi ed infiniti numeri negativi.
4. E' data una circonferenza. Su di essa è fissato un punto A ed al suo interno è fissato il punto D. Consideriamo una corda arbitraria BC che contiene D. Sia M il baricentro di ABC. Qual è il luogo descritto da M al variare di BC?
5. Tutte le facce di un poliedro convesso sono parallelogrammi. Tale poliedro può avere 1992 facce?
6. Trovare tutte le funzioni $ f: \mathbb Z \rightarrow \mathbb Z $ tali che $ f(-1) = f(1) $ e
$ f(x) + f(y) = f(x + 2 xy) + f(y - 2xy) $
per ogni $ x,y $ in $ \mathbb Z $.